考虑到债务期限，总债务的临界值

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英文标题：
《Critical value of the total debt in view of the debts durations》
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作者：
I.A. Molotkov and N.A. Ryabova
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Parastatistic distribution of a total debt owed to a large number of creditors considered in relation to the duration of these debts. The process of debt calculation depends on the fractal dimension of economic system in which this process takes place. Two actual variants of these dimensions are investigated. Critical values for these variants are determined. These critical values represent the levels after that borrower bankruptcy occurs. The calculation of the critical value is performed by two independent methods: as the point where the entropy of the system reaches its maximum value, and as the point where the chemical potential is zero, which corresponds to the termination of payments on the debt. Both methods lead to the same critical value. When the velocity of money circulation decrease, it is found for what dimensions critical debt value is increased and for what it is decreased in the case when the velocity of money circulation is increased.
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中文摘要：
与债务期限相关的欠大量债权人的债务总额的准静态分布。债务计算的过程取决于发生这一过程的经济系统的分形维数。研究了这些尺寸的两种实际变化。确定了这些变量的临界值。这些临界值代表借款人破产后的水平。临界值的计算通过两种独立的方法进行：系统熵达到其最大值的点，以及化学势为零的点，这对应于债务付款的终止。两种方法得出的临界值相同。当货币流通速度降低时，发现临界债务价值增加了哪些维度，当货币流通速度增加时，临界债务价值减少了哪些维度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：临界值 Econophysics distribution Quantitative Applications

考虑到债务期限，总债务的临界值。A.莫洛特科夫，N.A.里亚博万。V.俄罗斯科学院普什科夫地磁、电离层和无线电波传播研究所，莫斯科伊兹米兰，特洛伊茨克142190，卡鲁日斯科伊-肖塞，4，俄罗斯电子邮件：iamolotkov@yandex.ru, ryabova@izmiran.ruYanuary2016年12月29日，考虑到与债务期限相关的大量债权人所欠债务总额的抽象准静态分布。债务计算的过程取决于发生这一过程的经济系统的分形维数。研究了这两个维度的两个实际变量。确定了这些变量的临界值。这些临界值代表借款人破产后的水平。临界值的计算通过两种独立的方法进行：系统熵达到其最大值的点，以及化学势为零的点，这对应于债务支付的终止。两种方法得出的临界值相同。当货币流通速度降低时，临界债务价值增加的维度是什么，当货币流通速度增加时，临界债务价值减少的维度是什么。关键词：关键债务；期间·寄生分布；熵；化学势；货币流通速度讨论了债务（贷款）在其存续期间的分配经济问题。计算总债务的临界（阈值）值。该值描述了定义经济安全漏洞的系统中质变的边界。

马斯洛夫[1]提出了计算这些临界值的方法。物理粒子系统和经济系统的统计和热力学性质之间的相似性[2，3]在这项工作中起着重要作用。和物理学一样，熵的概念在经济学中也很重要。我们指的是哈特利熵[4]，其中债务计算的所有可能选项都具有相同的概率。接下来，我们处理单个债务的值（1,2，…jk=）。据推测债务的数量很大。每项债务的价值以其到期日或期限l为特征。该比率是借款人（债务人）债务的主要特征；它决定了借款人为偿还债务所做的努力。考虑债务分配时应考虑以下限制：我们不会考虑债务产生的利息和衍生工具，也不会考虑过期（“有毒”）债务。本文的主要目的是计算关键债务的价值。本文最后对长期贷款和短期贷款的使用进行了分析。假设债务有期限。我们将按期限按顺序安排债务，其中。。。kl l<<，并考虑标准化反向持续时间sk jl l（1,2，…j k=）。在标准化和任意添加virtualdurations（其值为debtsjs=）之后，我们会收到一系列的normalizedreverse持续时间。显然，可以假设这样的序列是整数：，。。。，1.1k kj kl lk jl l=+- =.让我们考虑一下债务总额。处理不依赖于货币单位选择的无量纲压力是很方便的。

让我们介绍债务算术平均值（^s）的值，然后考虑每个债务j除以^s的值。考虑无量纲债务总额：kjjsσ==∑.                                                        （1） 同样地，我们引入了无量纲货币量（）1111，kkkj jj jlE s ke j slσ===+- =∑ ∑,                         （2） 考虑到债务的持续时间，它被要求偿还所有债务。为了确定关键债务的价值，有必要选择适当的统计数据。在物理学中，K指定了单个量子级别上相同粒子的数量。与玻色-爱因斯坦统计相反，其中k=∞, 费米-狄拉克统计量，其中k=，副统计量的特征是k的有限值，可以是非常大且可变的。由于债务结算期间债权人（和债务）的数量可能会有所不同，与债务期限相关的债务分配应被视为相同要素的非均衡分配（见[5]）。在[6]中对寄生公式进行了数学证明。在分析物理系统时，指出所考虑系统的分形维数非常重要[7]。进行债务计算的经济体系也有一定的维度，货币流通速度依赖于该维度。然而，经济系统维度的计算存在一定的困难。关于货币时间序列维度的信息给出了关于经济系统维度的某些想法。赫斯特方法[7，第8章]允许估计这些序列的维数。

对于拥有稳定货币的发达国家，货币序列的维度被发现是分数的，范围不确定性为1。5d=[8,9]。在这种情况下，当经济系统的维度等于tod=，（3）是最简单的分析方法。货币序列的例子表明，分数维1 2d<<的变量是有趣的。因此，我们从案件（3）的详细审查开始。然后我们将考虑方差12，0 1dδδ<≤ - < <<.                                             （4） 变量（4）的调查得出了债务计算的结果，这与案例（3）的结果基本不同。与案例（3）类似，对另一个值（包括分数ld）进行了调查。因此，我们假设D=2。根据寄生分布[1]：（）（），exp 1 exp 1kjb j= = - + - + -  （5） exp 1 exp 1kjE jb j= = - + - + -  .                 （6） 其中带κ是由（5）和（6）定义的正寄生参数。参数是指系统中货币流通的反向速度（见[1,3]）。参数κ考虑了结算期间债务数量的可能变化：在热力学中，它对应于相反符号的化学势。债务数量的波动性使得有必要考虑总体准静态分布。让我们进一步假设，数量σ，eandk很大，且债务的顺序相同。然后，恒温器将变小[1,10]。我们的下一个目标是推导数量e、σ、k、b和κ之间的无符号关系。

最终目标是确定债务总额和偿还期限内债务所需资金总额的临界值。我们寻求的方程基本上取决于b bσ=和bk的乘法结果。可以看出，对于较小的B值，σ没有相关性。因此，我们将进一步假设该乘积大于或接近于：Bσ≡ ≥（7） 考虑到级数（5）的项的行为，我们可以看到，随着j的增加，级数中的项随着jκσ+≥并且对总和σ的值没有显著影响。这一事实证明了替换差异（）exp 1b j+-  （8） 通过级数展开式的第一项（）bjκ+。条件（7）表示我们考虑系统中货币周转与总债务价值相同或更低的时间段。条件（7）和差分（8）的近似为我们提供了转换和（5）和（6）的机会。结果，我们得到：（）。B jkB jje B jbe jκ∑κ++=- + -= - +  ∑（9） 我们将用Euler–Maclaurin公式求和，然后用exp B xκ除以被积函数的分子和分母+  :()( )( )( ).B xkB xB xkB xe B xdxbe xB x e edxb xeκκκ∑κκ++- + - +- +- + - = - +   - + -  =+-∫∫（10） 考虑到，鉴于（7），exp B xκ的值- +  与1相比很小，我们可以去掉分母：（）（）1 exp1 expB xB xκκ+- +  - - +  .

（11） 在部署（11）并用一个新的整合变量替换sumxκ+后，我们得到：11LN1。kBx Bx Bdx kBx e Bx e eb x bκ+- - -   - - + -      （12） 与（12）类似：（）kBx BxkBxE Bx e Bx e dxκ∑+- -+- （13） 前导项积分的求值1 1B BE k e eb Bκκσ- - = - - -  .最后一个表达式与等式（2）和（12）一起确定偿还债务所需的金额：（）1 ln 1B BkE k ebκκκ- -   = + + + - - +      .                （14） 方程（12）中的前导项产生了方程Ln 1BkB eκκ- + -  （15） 在b和k之间，右边的第二个术语用于纠正目的。等式（15）简化了所需量的表达式：（）bκ  S.视为σ函数的最大熵点决定了σ的临界值，见[1]。熵的计算可以通过考虑寄生分布的性质来进行，正如在[10]中所做的那样。我们将使用物理变量和经济变量的类比，并通过公式（）Eb确定，而不是这种繁琐的方式,                                                   （17） 这是在[10,11]中为具有分形维数的物理系统建立的≥.这里，Kis是比例因子，它只取决于系统的维度。它显示的维度值=2 6K=，（18）参见[10]。下一节介绍了另一种计算σ的独立方法。这两种计算的一致性证明了公式（17）在物理学中的使用是合理的，从而为上述类比提供了额外的证实。让我们根据方程式（16）和（17）来计算熵。

我们确定导数（）  =  （V）b-=-  系统中的货币流通速度）。这个导数是为固定的σ和k计算的，考虑到κonV的依赖性。这种依赖性由（15）决定，从中我们可以得到（）lnk BVV Vκ′（）1 expE k kV VVσκσκ = + + - + -  .                       （20） 区分（20）关于依赖性（）Vκ的观点，我们发现（）2 Vκκκκκ2 Vκκ  σ是将导数σ设置为零 （或相当于S B ). 分化是针对固定的K进行的，但考虑到κ对B的依赖性，（）Bκκ′=-.  假设导数为B 等于2 2BB eκκ=+-.通过方程（15）的高阶变换，我们发现kσ=-Sis达到atlnV kbσvm表示系统中的货币流通速度。如果货币流通速度未知，那么使用公式（12）和（14）可以通过债务参数of和σ来表示σ的临界值：（）lnkkσE kVb kσ-（26）5计算σ临界值的另一种方法[1]中提出了计算σ临界值的另一种方法。总债务的临界值对应于债务结算的时刻，在此期间债务数量不再发生变化。在这个计算点上，κ的值等于零。考虑到表达式（12），可以确定（）kBx BxdxBx e O eb x- -= = - + ,                    （27）式中0 0Bσ==。通过（27）和（15）我们得到了1ln k Ob kkσ  = - +    ,                                    （28）与公式（23）一致。从公式（23）和（28）获得的匹配结果证明了公式（17）的使用以及熵概念作为一个整体在经济问题中的适用性。

在（28）中，参数B V-=公司规模很小，但并不取决于大量债权人的数量。因此，对于大量债权人而言，在维度（3）的情况下，关键债务的价值由表达式（23）或（28）确定。公式（23）和（28）表明，当σσ>时，借款人被迫宣布破产，但当σσ<时，借款人能够偿还债务。6还款过程中债务参数的变化让我们在关键点考虑债务参数。在下面的公式中，该点的所有参数都标记为零。已经注意到，临界总σ通过公式（23）和（28）确定。由这些公式可知，临界债务数由n kVσ=确定。（29）化学势的临界值为κ=。（30）在临界点，方程（15）转化为以下方程：（）0 00 0 0 0ln ln expV k VVκ∑σκ = - - -  .                      （31）对（29）和（31）的联合考虑表明，只有在参数和1 lnk的临界点处同时接近零，才能满足这些方程。我们确定，当接近临界点时，三个值κ、V和1 lnkT朝着零结束。EqualityV=意味着与还债相关的货币流通在临界点停止，这与等式一致（30）。因此，在还款过程中，价值v和κ降低到零，债务总额和债权人数量分别降低到σ和k。7.维度（4）总债务的临界值现在，我们开始研究维度情况下的总债务动态，满足条件（4）。

取代（5）的寄生方程现在有以下形式（）（）111kb kkb kjje eα∑∑∑∑α-+ += = - - - ∑,              （32）式中α=。我们执行了一组转换，这些转换与Case=上的转换类似。忽略小项，我们有：（）（）（）1 expkB x B x dxbxκακασκκκ+-+ = - + - + +∫,和之前一样bσ≡ ≥.如上所述，为了确定临界债务σ，我们将κ=的值σ写成以下形式：（）（）（）0 0 0 01 021 expkB x B x dxb bxαασ-= - - = +∫,           （33）0Bσ=。（33）中的主项等于1kασα- = - - .前导顺序中的校正项是（）02 01 1exp 2 1Bα∑α  - - = - - 和11 exp1 Obkαασα-    = + + -    - -    .因此，我们没有使用公式（24）而是：。Vασα-（34）右边的因素不是独立的。尺寸的减小对应于速度的增加[12]。由能量守恒定律（）E f Vα+=，（35）连接的量α和变量，其中函数（）（）（）1fααζα=Γ+（Γ是伽马函数，ζ是塞里曼-泽塔函数）对所有1单调增加。7α<[10,12]. 由此可知，因子vα+α+生长。函数（）Vα的降幅更大。同时α因子-在（34）中，间隔（4）正在迅速增加（从1增加到∞).  因此，（34）中的表达σ与α一起增长，但与v一起减少。因此，情况（4）中σ的依赖性与情况（3）中σ的依赖性完全不同。同时，σ对信用证数量的依赖性在案例（4）中被发现是不重要的。8短期和长期债务假设我们有持续时间短的债务和持续时间长的债务。显然，mnk+=，12^ks ms ns=+。