无模型离散不变互换合约

这可能为相关性和协方差互换以及货币保护产品的研究开辟新的领域。更一般地说，我们可以研究基于其他股票指数或债券和商品指数未来的单变量和多变量分布的矩。进一步的实证研究也将对其他与Tomomation无关的差异产生兴趣，尤其是那些没有数值积分误差的差异，以及频率和日历互换，它们分别以已实现和隐含支腿的期限结构进行交易。关于以不规则频率监控的掉期的进一步实证工作可能包括从交易时间监控的已实现支付函数中得出差异风险溢价。只要标的资产的累计交易达到预先定义的水平，就可以对此类掉期进行监控。标准普尔500指数的“交易时间”方差风险溢价的波动性将远低于标准方差掉期利率，因此银行通过支付这些而非基于标准实现方差的掉期来承担的风险将小得多。最后，对冲基金和其他期限相对较短的投资者有兴趣构建最优投资组合，通过更高的动量互换分散方差风险。参考资料。Ait Sahalia、M.Karaman和L.Mancini。方差互换和风险溢价的期限结构。工作文件，2014年。C.亚历山大、J.卡普劳和D.科罗维拉斯。交易和投资波动性产品。《金融市场、机构和工具》，24（4）：313–347，2015年。M.安曼和R.布瑟。外汇市场的差异风险溢价。《经验金融杂志》，2013年第23期，第16-32页。G.Bakshi、N.Kapadia和D.Madan。股票收益率特征、倾斜定律和个人股权期权的差异定价。《金融研究回顾》，16（1）：101–143，2003年。C.伯纳德和Z.崔。

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（16） 此外，如果lim∏N→πEhP∏Nφ（^z）i=EhziφTAP也很有效。证明：如果（9）适用于任何分区，那么它必须适用于∏Nas，尤其是普通分区[0，T]。Nφ（^z）i=E[φ（zT- z） ]。取极限为∏N→ π表示等价。A.1定理1的证明让远期价格过程F遵循Q动态dFt=σTDWT，其中σ={σt}t∈Π∈Rd×dand W={Wt}t∈Π∈RDI是一个具有T的多元维纳过程-1hWit=I，身份矩阵。那么dhFit=σtσtdt是F.Let的二次协变量过程 := Fz∈Rn×dandΓ=F ∈Rn×d×d注意z w.r.t.F的第一和第二偏导数，其中F:=FFd. 然后，应用It^o引理和迹算子的循环性质，我们得到了dzt=tdFt+tr（Γtd hFit），（17），因此z的二次协变量过程遵循动态Hzit=tσtσttdt。（18） 由于我们希望所有可能的远期价格过程的离散监控误差为零，因此它必须特别适用于任何特定的鞅。因此，我们可以从（9）保持w.r.t.（φ，z）和z遵循（17）中规定的动力学的假设出发，推导出函数跨度fb的必要条件。用J（^z）表示φ的一阶偏导数的雅可比矢量：zφ（^z）∈r和φ的H（^z）二阶偏导数的Hessian矩阵：zJ（^z）∈Rn×N此处z:= ^z， ^zn. 然后它的引理得到φ（zT）- z） =^∏J（zt）- z） dzt+tr^∏H（zt- z） dhzit。（19） 类似地，X∏Nφ（^zi）=NXi=1^titi-1Jzt- zti-1.dzt+tr^titi-1小时zt- zti-1.dhzit=^∏Jzt- zm（t）dzt+tr^∏Hzt- zm（t）其中m（t）：=max{ti∈ πN|ti≤ t} 。取极限为∏N→ π产生φ-变量hziφT=^∏Jdzt+tr^∏Hdhzit，（21）二次协变量是多变量过程二次变量的直接推广，定义为hziT:=lim∏N→πP∏N^zi^zi=\'）dztdzt。

请注意，二次协变量hzi是一个矩阵，而φ-变量hziφ是一个标量。其中J:=J（0）和H:=H（0）。对于（19）和（21），条件（9）相当于前束^∏[J（zt）]- z）- J] dzt+tr^∏[H（zt- z）- H] dhzit= 0.（22）在（22）中替换（17）和（18），并使用[dFt]=0得出（9）等于^Π[J（zt]- z）- J] Γt+t[H（zt- z）- H]Tσtσtdt= 现在考虑谱分解[J（zt- z）- J] Γt+t[H（zt- z）- H]t=：Et∧tEt，（24），其中∧t=diag{λ1t，…，λdt}是特征值的对角矩阵，Eti是特征向量的正交矩阵。为了得到（9）的一个必要条件，我们选择了特殊的易失性过程：σt:=expξEt∧tEt,ξ在哪里∈Ris是一个任意常数。因为exp{E∧E-1} =E exp{∧}E-1对于∧，E∈Rd×dwe有σtσt=Etexp{ξ∧t}Et.（25）将（24）和（25）插入（23）并微分w.r.t.t，然后使用迹线yieldsE的循环性质[tr（λtexp{ξ∧t}）]=0。一次微分w.r.t.ξ，并在ξ=0时计算方程，得到条件Etrλt=dXi=1Ehλ它i=0，这意味着∧t中的所有特征值必须等于零。因此，我们知道（24）中的两个边都是零，考虑到这一点必须适用于所有Ftand z，我们有[J（^z）- J] Γ+[H（^z）- H] = 0，（26），其中F和^z是自变量。基于F遵循特定鞅微分的假设，我们导出了这个d×d偏微分方程组，soit代表了更一般情况下F可以是任意鞅微分的一个必要条件。这两个条件是等效的，因为（26）也足以保持（23）。定理2的证明当z=（F，x）我们有（F） =（I，diag（F）-1)∈R2d×dΓ（F）=（0，-诊断（F）-2)∈R2d×d×d，其中diag（F）表示一个三维张量，其中F元素位于对角线上，其他元素均为零。

我们将进一步使用以下分解：[J（^z）- J（0）]=JF（^z）Jx（^z）∈R2d和[H（^z）- H（0）]=HF（^z）G（^z）G（^z）Hx（^z）∈R2d×2d。然后（26）可以写成：-Jx（^z）diag（F）-2+HF（^z）+G（^z）diag（F）-1+diag（F）-1G（^z）+diag（F）-1Hx（^z）诊断（F）-1=0，从左到右乘以diag（F）（注意F>0）得到-diag（Jx（^z））+diag（F）HF（^z）diag（F）+diag（F）G（^z）+G（^z）diag（F）+Hx（^z）=0。由于所有鞅It^o过程F（特别是F=1）都必须满足这个条件，这意味着HF（^z）=0和G（^z）=0（后者是因为hessian矩阵的对称性）以及Hx（^z）=diag（Jx（^z））。因此，解的形式必须为φ（^z）=α^F+trOhm^F^F+ βe^x- 1.+ γ^x，通过将（19）和（20）代入产生相同溶液（26）的条件（5），可以类似地进行证明，这一次假设AP。这个版本不需要φ-变量的存在。此外，如果我们放松F服从微分的假设，并允许任何鞅，那么（26）仍然代表（23）的一个必要条件。其中α，β，γ∈RdandOhm= Ohm ∈Rd×dis是一个对称矩阵。自lim∏N起，与α相关的互换为DI→πP∏Nα^Fi=α（FT- F） 即使没有任何过程的预期。与γ相关的掉期交易也是如此。为那些与Ohm 我们可以申请lim∏N→πX∏NtrOhm^Fi^Fi=EtrOhm lim∏N→πX∏NFti- Fti-1.Fti- Fti-1.=EtrOhm lim∏N→πX∏nhfti- Fti-1Fti-1i=EtrOhmFTFT- FF=EtrOhm （英国《金融时报》- F） （英国《金融时报》- F）,其中唯一的要求是F遵循鞅（不一定是It^o过程）。最后，对于所有与β相关的掉期交易lim∏N→πX∏Nγ鄂xi- 1.=Eγ外景-十、- 1.= 因此，如果z=（F，x），必要条件（26）对所有鞅都有效。

注意：我们可以假设Ohm 是对称矩阵，因为trOhm^F^F是二次型。A.3定理3关于直接投资掉期合同公允价值过程的证明定义为vφt:=EtX∏Nφ（^z）- vφ，这个过程沿∏面的增量由^vφi=vφti给出- Vφti-1=EtiX∏Nφ（^z）-Eti-1.X∏Nφ（^z）=iXi=1φ（^zi）+EtiNXi=i+1φ（^zi）-我-1Xi=1φ（^zi）-Eti-1.NXi=iφ（^zi）= φ（^zi）+Eti[φ（zT]- zti）]-Eti-1.φzT- zti-1.= φ（^zi）+^vφi，其中^vφi=vφti- vφti-1和vφt=Et[φ（zT- zt）]。将上述结果与定理2结合，得到^vφi=Etiα（FT- Fti）+trOhm （英国《金融时报》- Fti（英国时报）- Fti）+ β外景-xti- 1.+ γ（xT）- （xti）-Eti-1hα英尺- Fti-1.+ trOhm英尺- Fti-1.英尺- Fti-1.+ β外景-xti-1.- 1.+γxT- xti-1.=EtitrOhmFTFT+ γxT- trOhmFTI- γxti-Eti-1.trOhmFTFT+ γxT+ trOhmFti-1Fti-1.+ γxti-1=trOhm^∑i+ γ^Xi- trOhmFTI+ trOhmFti-1Fti-1.- γ^xi，其中∑i=∑ti- ∑ti-1带∑t=EtFTFT和^Xi=Xti- Xti-1xt=Et[Xt]。因此^Vφi=α^Fi+trOhmFti- Fti-1.Fti- Fti-1.+ β鄂xi- 1.+ γ^xi+vφi=a^Fi+trOhmh∑i- 2Fti-1^Fii+ β鄂xi- 1.+ γ^Xiare z=（F，x）上离散不变（DI）互换的公允价值过程增量。A.4推论的证明公允价值互换率为φ=E[φ（zT- z） ]=Eα（FT- F） +trOhm （英国《金融时报》- F） （英国《金融时报》- F）+ β外景-十、- 1.+ γ（xT）- 十）=EtrOhm （英国《金融时报》- F） （英国《金融时报》- F）+ γ（xT）- 十）=EtrOhmFTFT- FF+ γ（xT）- 十）= trOhmΣ- FF+ γ（X）- x） 。A.5定理4从∑开始的证明- FF=X（2）- 二十、 。X（n）- XX（n）-1).........X（n）- XX（n）-1). . . X（2n）-2)- X（n）-1） X（n）-1),对一些人来说≥ 2，我们使用定理3如下：vφ=E[φ（zT- z） ]=trOhm（n）Σ- FF=N-1Xi=1ω（n）iX（i+1）- XX（一）= ω（n）n-1X（n）+n-1Xi=2ω（n）i-1.- ω（n）iXX（一）- ω（n）X=X（n）+n-1Xi=2镍(-十） n-九（一）+（一）- n）(-十） n=nXi=1镍(-十） n-九（一）＋(-十） n=E“nXi=0镍(-十） n-ixiT#=E[（xT）- 十） n]=v（n），其中我们使用了ω（n）n-1=1和ω（n）=(-十） n-2（n）- 1） 在第三行。