无模型离散不变互换合约

例如，每月购买一次每日监控的掉期和套期保值可能比较方便。在这种情况下，剩余暴露对应于流动legX∏mφ（^z）的频率交换-X∏hφ（^z）。要了解这一点，请考虑跨盘掉期的每日增值：EthP∏D^P^Ci-Et-1hP∏D^P^Ci=^Pt^Ct+Et[（Pt- Pt）（CT- [Ct]-Et-1[（PT- Pt-1） （CT）- 计算机断层扫描-1)] = -Pt-1^Ct- 计算机断层扫描-1^Pt，所有的薪酬和时间- 1取消，第（14）条的论点适用于预期。美联社暗示P∏mφ（^z）=EP∏hφ（^z）= vφ和，由于两个流动成分的相应掉期抵消，该频率掉期的公允价值掉期率在开始时为零。然而，对于t>0，在存在边缘误差的情况下，P&L不必为零。事实上，对于t∈ πH直接调频掉期的按市值计价损益为“X∏mφ（^z）-X∏hφ（^z）#=X∏m∩[0，t]φ（^z）-X∏h∩[0，t]φ（^z）。只要频率互换的浮动部分仅取决于交易合约的价格，例如，对于z=x和φ=λ，该频率互换的定价和对冲是准确的。3实证研究我们分析了1996年1月至2013年12月18年期间标准普尔500指数（S&P 500）掉期合约的历史表现，使用不同固定期限的期限结构收益和损失（P&L）时间序列。这些“未实现”损益表是我们对不同掉期合约价格过程的价值增量的经验观察。与大多数以前的研究不同，除了Kozhan等人[2013]的研究外，我们研究了基于离散不变（DI）支付效应的具有已实现支腿的掉期。对于力矩掉期的定价，即确定其公允价值掉期利率，我们不需要依赖目前在任何情况下都不可用的市场报价。

更确切地说，我们的固定资产来源于货币外期权（OTM）价格，在跨期掉期的情况下，公允价值可以根据可用的交易标准计算。3.1数据和方法继Carr和Wu[2009]、Todorov[2010]和其他人之后，我们生成P&L，作为实物计量下观察到的浮动薪酬与其风险中性计量下的综合公允价值之间的差异。我们获得了1996年1月至2013年12月期间标准普尔500指数所有交易的每日收盘价PTA和CTO，并遵循劳赫和亚历山大[2016]中描述的数据过滤方法和时间标准化。通过这种方式，我们消除了不可靠的价格，排除了跨越罢工和到期的静态套利，并采用了可投资的、固定到期的损益数据。3.2标准普尔500指数掉期的风险溢价本节中的数据描述了整个样本期内固定到期时间掉期的累积风险溢价。我们研究了它们对Swap成熟度和已实现分支的监控频率的依赖性，这与隐含分支的再平衡是一样的。在每种情况下，使用定理3，总溢价被分解为实现成分和隐含成分。首先，我们研究了高阶矩风险溢价的期限结构。定理3适用于第2.3节“日常监控”中列出的30天、90天和180天双力矩互换示例。也就是说，我们将总损益分解为标准普尔500指数期限结构的已实现和隐含组成部分。图1显示了使用黑线表示P&Lon 30天DI即时掉期的结果，蓝色表示90天掉期，绿色表示180天到期的DI掉期。请注意，实现的组成部分取决于到期日，因为这些特征包括该到期日期权的合同。

偏度和峰度风险溢价在其隐含成分和实现成分中表现出相似但相反的影响，随着成熟度的增加，这两个成分的规模都变小，并且隐含成分主导着总体风险溢价。30天的倾斜溢价（黑线）往往是正的，但在动荡的市场危机时期除外。90天（蓝色）的倾斜溢价要小得多，接近于零，180天（绿色）的倾斜溢价趋于负值。峰度溢价具有相似的特征，但有相反的迹象：它通常是负的。标准化遵循Kozhan等人[2013]。关于方差风险溢价的掉期方法的许多其他实证研究（Eglo off等人[2010]的显著例外）在这些属性中失败。要么构建系统性变化的到期数据，从持有一笔掉期直到到期前，再滚动到另一笔具有相同初始到期日的掉期，跟踪对已实现支付和掉期利率的观察。另一种方法是对合成固定到期掉期利率进行线性插值，并计算每个监控期的相应实际支付效果。但当以高于掉期到期日的频率对损益进行采样时，这种做法引入了人为自相关。此外，Carr和Wu[2009]以及Amman和Buesser[2013]研究了不可投资的风险溢价。图1：每日监测的30天（黑色）、90天（蓝色）和180天（绿色）累积时刻风险溢价的时间序列。右边的次轴指的是以灰色绘制的30天标普500远期合约。这些图表根据方程式（11）将总累积风险溢价分解为实现和隐含成分。在30天内，但在导致市场危机的时期急剧增加。

正如预期的那样，在较长的到期日，峰度溢价接近于零。图2显示了在不同频率下监测已实现特征时累积的30天高阶矩风险溢价。方差风险溢价的隐含成分不取决于监控频率。非常小的变化表明，当期权复制篮子每天重新平衡到恒定的30天到期日，并通过按市价计价（即黑线）进行估值时，隐含成分的累积变化大致如图2所示：累积30天方差、三阶矩和四阶矩风险溢价的时间序列基于每日（黑色），每周（紫色）和每月（红色）监测。右边的次轴指的是标普500指数30天远期合约，以灰色绘制。这些图表根据方程式（11）将总累积风险溢价分解为已实现和隐含的成分。在上中图中，这是由于复制产品组合的分离趋势发生了变化。正是实现的航段驱动了方差溢价对监控频率的依赖性。总的来说，随着监测频率的增加，它变得更小，变化也更小。与每周（紫色）或每月（红色）重新平衡和估值相同。支持这些观察的理论结果取决于模型。例如，当dSt=uSt+σstdwt，其中wt是布朗运动时，可以直接证明与[0，T]常规划分为N个元素的常规实现方差相关的风险溢价为uu - σTN-1且该已实现方差的方差为2σTN-1+4σTN-2.

进一步的模型相关结果，可根据要求从作者处获得，证实了一些其他过程和DI方差特征的陈述。它通常是负面的，但在2008年9月雷曼兄弟（Lehman Brothers）倒闭和2011年欧洲主权债务危机爆发时，它是高度正面的。相比之下，第三时刻溢价通常为正，但在危机期间，当股票实际回报的负偏差变得特别明显时，溢价会急剧下降。这是由2008年9月期间实现的组件的大幅下降（第二行的左手图）推动的。更普遍地说，这种溢价主要由中间图表中所示的隐含成分决定。与隐含的差异相比，重新平衡分离走向的效果在这里更加明显。例如，在月度监控（红色）时间序列中，未能每天重新平衡分离罢工意味着在向上的市场中，在复制投资组合中使用更高价格的现金买入，或在向下的市场中，在复制投资组合中使用更高价格的现金买入。类似但相反的影响在第四时刻风险溢价的隐含成分中很明显。

正如预期的那样，考虑到第四时刻捕捉到了分布中的异常值，该溢价主要由指数的跳跃所决定，并且在危机期间为正。3.3日历、频率和跨期掉期的风险溢价鉴于风险溢价可能表现出强劲的期限结构模式，如图1所示，系统性风险溢价可以通过进入浮动“日历掉期”进行交易，该“日历掉期”交换两个实现的特征，以相同的频率进行监控，但到期日不同。例如，180/30天日历差异掉期将支付远期实现的差异，从合同开始后30天到180天，以换取相应的公允价值掉期利率，该利率等于180天和30天掉期利率之间的差异。表4总结了一些融资掉期的风险溢价。为了便于比较，每个保费都通过除以其标准差和年化来标准化。顶部面板展示了在三种不同频率下监测的30天180日历掉期交易中获得的标准化风险溢价。

正如图1中显示的偏度和峰度风险溢价的不同特征所预期的，偏度（峰度）日历互换在每日和每周监测频率下表现出较大的负（正）溢价。（k）k[k[k]V[k[k[k]V[k[k]V[k]V[k[k]V[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k]V[k[k[k]V[k[k]V[k[k]V[k[k]V[k[k]V[k]V[k[k[k[k]k[k[k[k[k[k[k[k[k]k]k[k[k[k[k[k[k[k[k[k]k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k[k]-0.41 0.59 0.27 0.16 0.45τ=90∏M- ∏D-0.52 0.53 0.31-0.54-0.11 0.37 0.30 0.28τ=180-0.46 0.48 1.60-0.61-1.77-0.09-0.04 0.07表4:1996年1月至2013年12月期间每日、每周和每月监测的180-for-30天日历掉期（上图）和30天、90天和180天固定到期的每月每日频率掉期（下图）的标准化风险溢价，互换率交换为：对数价格V（n）上的力矩互换、偏度互换V（\'3）、峰度互换V（\'4）以及具有k=1000、k=1100和k=1200的关联互换。没有其他日历掉期显示出显著的结果。表4中的下面板报告了“频率互换”的标准化风险溢价，这两种互换以不同频率监控的相同到期日的两个已实现分支。例如，月-日差异频率互换会收到月-日差异。根据定义，AP意味着此类资产的公允价值率为零，但风险溢价可能为正，也可能为负，具体取决于样本期和基本特征。

这些频率互换通常会产生更大的风险溢价，而偏度和峰度频率互换尤其具有更大的风险溢价（1.60和-180天到期时，分别为1.77）。图3:30天固定到期跨期掉期累积风险溢价的时间序列，k=1000、k=1100和k=1200，用V[k]、V[k]和V[k]表示，并在上一节中定义。黑线、紫线和红线是指具有已实现特征的掉期，分别每天、每周和每月进行监控。由于astraddle掉期的隐含部分始终为零，因此风险溢价完全由已实现部分驱动。图3描述了在不同频率下监测的k=1000、k=1100和k=1200的跨座掉期风险溢价的时间序列。在危机期间，例如2008年9月和2011年8月，这些掉期的风险溢价可能很大且为负。否则，风险溢价较小且为正，每周或每月监测的跨式掉期交易的风险溢价大于每天监测的跨式掉期交易的风险溢价。4结论由于离散监测、跳跃和数值积分误差，传统方差互换的SFAIR价值率存在偏差。因此，市场利率可能会严重偏离其公允价值，尤其是在动荡时期。这是对这些错误的套利界限进行大量深入研究的催化剂。另一项由Neuberger[2012]首创、Bondarenko[2014]开发的非常原始的strandof研究提出了不同的已实现方差定义，可以获得更精确的公允价值。

我们的研究发展了这第二条，以推导方差、高阶矩和其他所谓的离散化不变（DI）支付的一般理论，在完全无模型的环境中推导出精确的公平值。通过将聚合特性限制在统一Neuberger[2012]和Bondarenko[2014]两个定义的特征和过程中，我们遵循Neuberger[2012]的总结意见，描述了我们现在所称的“离散不变”支付函数的向量空间。定理1描述了所有两个连续不同的支付函数φ作为二阶偏微分方程组的解具有这个性质。定理2关注的是一个特定的子类，即那些薪酬是分析性的。定理3展示了如何通过动态地重新平衡基础合约和某些基本合约的投资组合来复制这些掉期的价值，然后我们考虑一些特殊的报酬效应，它们对应于单变量分布的高阶矩，和浮动——与不同监控相关的浮动掉期。此处的期权选择允许我们调查18年样本期内的掉期行为，因为这些期权的看涨期权和看跌期权大部分时间都是交易的。我们将扼杀掉期排除在本分析之外，因为由于流动性集中在货币上，它们的交易成本更高，但可根据要求从作者处获得结果。分区，其公允价值为零。

当复制投资组合以监控频率以外的频率重新平衡时，这些DI掉期还可以识别剩余的对冲风险。与传统的方差互换相比，DI方差互换有几个优点：（i）其理论公允价值互换率没有跳跃或其他模型依赖误差；因此（ii）发行人将面临较小的剩余对冲风险；以及（iii）由于数值积分产生唯一的近似误差，因此没有套利应产生在公允价值买卖价差内的市场价格；（iv）发行人将有更大的灵活性来选择已实现分支的监控频率，因为所有频率的公允价值互换率相同，监控甚至不需要定期。所有这些优点也适用于高阶矩风险溢价。双力矩掉期的公允价值计算仍然存在计算误差，因为复制双力矩掉期需要对交易标的期权价格进行数值积分，以近似得出一个积分公式。然而，即使误差为零，也可以定义一个子空间。这些掉期具有由交易买入和卖出价格的双线性形式定义的支付函数。同样，各种各样的SDI薪酬存在性别歧视，我们只对所谓的“跨部门互换”进行了实证研究。它们的公允价值率来自于当前卖出和买入价格与同一执行价的乘积。我们相信，本文中提出的概念和实证工作将为研究新的风险源奠定基础，这些风险源可以通过不同的支付方式进行交易。进一步的实证研究可能会考虑这些掉期交易的多变量基础（例如，swapson实现了标普500指数和VIX期货的联合支付，以及外汇汇率的增加）。