无模型离散不变互换合约

然而，即使F遵循鞅，第一项也不会在部分增量的预期下消失。事实上，它衡量的是回报和隐含方差变化之间的协方差。对于公允价值互换率，我们有e[ψ（zT- z） ]=E[τ（xT）- x） ]中，对于足够大的xT，由τ的高阶项控制- x、 因此，这种互换的浮动或固定部分与第三时刻的关联是有疑问的。Kozhan等人[2013]随后的实证研究表明，基于方差交换的偏度交换的P&L与方差交换的P&L具有很强的相关性。灵活定义各种各样的掉期合约，具有潜在的多样性损益表，以及独立于监控频率的无模型掉期利率，这激发了我们的研究。c、 Neuberger[2012]中的f.p.3435，通过将Neuberger[2012]中AP的定义限制为φ，证明命题6.2离散化不变掉期合同∈ cφ（0）=0，另外是一个多元随机过程z∈Rn只包含鞅远期价格F的确定函数∈对于套利自由市场中的RDD可交易资产或衍生品，我们可以将所有“离散不变”掉期合约描述为多变量二阶偏微分方程系统的解。在z=（F，x）的进一步限制下，存在一个具有解析支付φ（^z）的双交换的完整向量空间。有趣的是，正如附录所示，Bondarenko[2014]和Neuberger[2012]的AP也受到了同样的限制。这些直接投资掉期可以获得各种各样的风险溢价，包括与比简单时刻更复杂的交易策略相关的溢价。

特别是，与Neuberger[2012]中对已实现偏度的单一定义不同，我们获得了许多具有聚集特征的支付，因此可能会准确定价。这里使用的术语“互换”是一般意义上的，如下所示：给定支付φ：Rn→Rand z，φ-swap w.r.t.分区∏定义为asX∏Nφ（^z）：=NXi=1φzti- zti-1.. （6） 我们只考虑一个到期日T，但考虑∏的各种分割，标准分割为∏D:={0，1，…，T}。沿分区的增量用“克拉”表示。设{N}N=1,2，。。。表示一个分区序列，使得0=t<t<<tN=T。如果maxi∈{1，…，N}[ti- ti公司-1] → 0作为N→ ∞ 我们写∏N→ Π. 如果存在，我们将z的“φ-变化”定义为实现支腿的连续监测极限，即hziφT:=lim∏N→πX∏Nφ（^z）。（7） 例如，过程z可能包含期货价格和/或这些价格的日志。我们做最小无套利假设只是为了确保期货价格遵循多变量鞅。Neuberger[2012]称薪酬是一种“特征”，而Bondarenko[2014]只是指一种“功能”。由于φ（0）=0，可以存在一个有限的限制（7），但我们不需要假设这一点，因为它并不排除将“φ-掉期”定义为一个金融合同，以固定的掉期利率交换变现（6）。然而，如果φ-变化存在且确定，则分区∏N下φ-交换的离散监控误差可以写成δN（φ，z）：=EX∏Nφ（^z）- hziφT. （8） 注意，当z=x且φ（^x）=^x时，定义（7）对应于对数价格的QV，离散监测误差由（2）给出。我们的重点是那些离散监测误差δN（φ，z）为零的组合（φ，z），即X∏Nφ（^z）=EhziφT πN。

（9） 2.1 DI SwapsLet的特征描述 ∈Rn×dandΓ∈Rn×d×d注意z w.r.t.的第一和第二偏导数，用J（^z）表示∈rnjacobian向量与H（^z）∈Rn×φw.r.t.^z的倒立二阶偏导数的Hessian矩阵。我们的第一个结果给出了φ和基础动力学z的联合条件，以保持聚集性（AP）。具体地说，我们推导了一个二阶偏微分方程组，它代表了一个必要条件，当z是具有有限φ-变量的多变量微分时，它也有助于（φ，z）定义离散不变（di）交换。定理1：如果（φ，z）是（5）为真，或者z的φ-变化存在且（9）为真，那么下面的二阶偏微分方程组成立：[J（^z）- J（0）][H（^z）- H（0）] = 0.（10）φ-变化是一种理论构造，如果它存在，可以通过基于基础资产的某些假设过程获取其预期值来推导公允价值互换率。这是Jarrow等人[2013]和其他几篇分析方差互换离散监控误差的论文所采用的方法。此外，如果F随φ变化而变化，那么（9）、（5）和（10）是等效的。对于给定的z，上述系统可以通过数值求解得到所有可用的微分函数φ。然而，根据数值程序定义的薪酬很难监控；实际上，在实践中，我们只对（10）的真实解析解感兴趣。为此，我们提供了定理2，该定理在附录中通过求解特定z的（10），然后通过对（9）的直接计算，证明了必要条件是有效的。它为一般基础变量F定义了一个向量空间F二效函数。

例如，我们可以将对数合约Xt:=Et[Xt]、熵合约YT:=Et[FTxT]或任何其他或有权益的条件公允价值过程包含在F中。F的组成部分可以依赖于一个或多个基础资产，并且可以使用F的支付函数定义协方差掉期，以及依赖于多元分布的其他掉期合约。定理2：让F>0遵循一个d维鞅过程，并将z=（F，x）设为x:=lnf。然后（10）的解形成一个向量空间，定义为：F:=nφ：Rn→Rφ（^z）=α^F+trOhm^F^F+ βe^x- 1.+ γ^xo，其中α，β，γ∈RdandOhm = Ohm∈Rd×d.定理2包括在对数和百分比回报中F和linear的组成部分为线性和二次的报酬，即^x和e^x- 分别为1。当然，我们可以在F中包含任何鞅，之后我们将使用幂对数合同的公允价值过程来构造φ-互换，与实现的报酬对应，对应于更高的对数回报时刻。从更广泛的意义上讲，所有自我融资的投资组合都是DI，因为它们在anHere和下文中的预期收益都是矢量符号ln F以及exis从组件角度理解的。请注意，trOhm^F^F可以写成二次型^FOhm所以我们可以假设Ohm = Ohmw、 l.o.g。。请注意，通过F=（F，X），我们可以将Neuberger[2012]引入的方差支付函数与特定支付函数inF联系起来。例如，对数方差（LV）支付函数可以通过选择α=0获得，Ohm = 0，β=（2，0）和γ=(-2, 0).无套利市场为零，与交易频率无关。可以放宽φ的假设∈ C、 因此，Fc可以包括薪酬α（Ft-1） ^fta是增量和起始值的函数。这些代表F组分中的分段动态交易策略。

例如，百分比回报和二次支付对应于特定的动态交易策略。同样在这些宽松的假设下，Neuberger[2012]的第三时刻薪酬也将包含在inF中。否则，该薪酬提供了一个AP特征的示例，该特征不是一种差异薪酬。这是与Ohm, 要求交易不包含在F中的合同，我们关注以下内容。2.2定价和对冲直接投资掉期φ-掉期的固定部分对应于浮动部分的风险中性预期，直接投资掉期的公允价值掉期利率由vφ：=E[φ（zT）给出- z） ]。我们现在考虑条件公允价值过程Vφt:=EthP∏Nφ（^zi）i- vφ，从利润和损失（P&L）到市场，通常在每个交易日结束时进行。请注意，AP意味着Vφ=0，Vφ是掉期到期时的总损益。从现在起，为了便于解释，我们在文本中使用每日分割∏，而附录中的所有证明都是针对一般∏N。在对冲掉期时，我们寻求复制增量^Vφt:=Vφt- Vφt-1，对于这一点，以下是有用的：定理3：对于t∈ πd直接投资掉期价值过程中的增量可以写成^Vφt=φ（^zt）+^Vφt，（11），其中Vφt:=Et[φ（zt- zt）]表示剩余到期时间的公允价值互换率。它可以写成一种动态交易策略，用F=（F，X，Y）表示，其中X和Y分别是对数和熵合同，α（Ft-1) =-12F-1t-1.- 6F-2t-1Yt-1,6,6F-1t-1., Ohm = 0和β=γ=0。此外，当z=（F，x）如定理2中所示，我们有^Vφt=α^Ft+trOhmh∑t- 2Ft-1^Fti+ βe^xt- 1.+ γ^Xt，（12）式中∑t:=EtFTFT和Xt:=Et[Xt]。相应的公允价值互换率为vφ=trOhmΣ- FF+ γ（X）- x） 。定理3描述了直接投资掉期发行人的损益，该发行人支付现金并收到现金。

分解（11）将已实现薪酬的变化与隐含支腿的变化分开。虽然价值过程遵循aQ鞅，但根据定义，这两个分量通常不是Q鞅。掉期可以使用∑和X中的静态交易策略和F中的动态交易策略进行离散时间套期保值，动态套期保值沿着监控分区∏N进行。例如，基于LV的掉期损益为^Vλt=2e^xt- 1.-^Xt所以，对于t∈ πN，Vλt=Pti=1F-1i-1^Fi- 2（Xt）- 十） 。因此，可以通过在初始阶段购买两份原木合约并动态重新平衡原木合约中的头寸（即做空2F）来对冲该掉期-1t-1从时间t开始的未来合同- 1到t。第（12）条规定的对冲包含静态和动态增量元素。由于^F和^x对应于不随时间变化的投资组合中的价格变化，因此α和γ是静态对冲比率。然而，标的资产的持有量取决于之前的价格-1需要动态重新平衡，因此Ohm 而且隐含地是动态对冲的一部分。无论何时监控掉期，这些套期保值比率都可能发生变化，如果再平衡与掉期的监控划分一致，则套期保值是准确的。鉴于附录中证明的以下推论，DI掉期的定价很简单：定理3意味着，为了代表一种可投资的交易策略，必须根据掉期价值的变化而不是这两个组成部分分别进行恒常性增量的转换（如我们的实证研究所示）。

例如，在纽伯格方差交换的情况下，交换值的变化是实现的支付函数λ（^x）和交换率的变化之和。推论：DIφ交换的公允价值交换率isvφ=trOhmΣ- FF+ γ（X）- x） 。请注意，vφ与α和β无关，因为在风险中性度量下，相应的薪酬预期为零。在下一节中，我们将考虑n次幂对数合同，即X（n）t:=EtxnT.根据Carr和Madan[2001]的复制定理，这种条件期望可以用普通的现款（OTM）选项表示为：X（n）t=xnt+^R+γn（k）qt（k）dk，（13），其中γn（k）：=n（ln k）n-2k-2[n- 1.- ln k]和qt（k）表示行使k和到期t的vanillaOTM期权的时间t价格。下表显示了前四个power log合同的复制组合：合同变量定价公式log Xt=Xt-R+k-2qt（k）dk平方对数X（2）t=xt+2\'R+（1）- ln k）k-2qt（k）dk立方对数X（3）t=xt+3\'R+ln k（2- ln k）k-2qt（k）dk四次对数X（4）t=xt+4\'R+（ln k）（3）- ln k）k-2qt（k）DK表1：前四份power log合同及其复制组合。我们还可以考虑替代复制方案：X（n）t=xn+nxn-1.英尺-FF+^Fγn（k）Pt（k）dk+^∞Fγn（k）Ct（k）dk，我们假设它们是可在柜台交易的，但它们的复制组合并不精确，因此在实践中应该考虑交易成本。式中，Pt（k）和Ct（k）表示普通看跌期权和看涨期权的时间t远期价格，其中，k和t是指期限t。两种复制方案之间的区别在于（13）仅基于OTM期权，但由于随机分离，该投资组合需要在看跌期权和看涨期权之间持续重新平衡。

替代复制方案包括仅在一开始时属于OTM的选项，该组合描述了不需要动态再平衡的购买和持有策略。这两种表示形式是可交换的，使用哪种表示形式取决于应用程序。该领域的大多数作者采用Carr和Madan[2001]的复制定价；对于静态套期保值，另一种选择可能更可取。2.3矩交换对于下一个结果，我们假设F包含幂对数合约，其对应的复制组合可能来自（13）。让英国《金融时报》报道：=Xt，X（2）t，X（n）-1） t为了某个人≥ 2并考虑参数α=β=γ=0和Ohm = Ohm（n） :=ω（n）ω（n）。ω（n）n-1ω（n）0。0............ω（n）n-10 . . . 0,ω（n）n-1=1和ω（n）i=Xn-1.-inXj=i+1新泽西州(-1） n-j=-Xn-1.-iiXj=0新泽西州(-1） n-j、 因为我∈ {1，…，n-2}. 注意pnj=0新泽西州(-1） n-j=0，因此交换捕获了Fvφ=E[（xT）的对数收益分布的第n个（中心）时刻- 十） n]=nXi=1镍(-十） n-九（一）＋(-十） n:=v（n），利用定理3，我们可以推导出双矩掉期的以下套期保值规则：^v（n）t:=EtX∏NtrOhm（n） ^F^F- v（n）=n-1Xi=1ω（n）ih^X（i+1）t- Xt-1^X（i）t- X（i）t-1^Xti，在哪里Ohm(2)= 1, Ohm(3)=-2X, Ohm(4)=3倍-十、-X0 00 0,我们假设α=β=γ=0。然后，表2中报告了二阶、三阶和四阶矩DI高阶矩掉期的实现特征，以及使用推论计算的它们的RFAIR值。对于套期保值，我们建议采用表3所示的动态交易策略，即。

方差互换可以通过出售平方对数合约和动态持有2Xt进行对冲-1对数合约，第三时刻互换可以通过出售立方对数合约和动态持有h（3）2平方对数合约以及灰分（3）1对数合约进行套期保值，第四时刻互换可以通过出售四次对数合约和持有h（4）3立方对数合约、h（4）2平方对数合约和h（4）1对数合约进行套期保值- 1至t.力矩参数浮动支腿固定支腿秒Ohm = Ohm（2） P∏N^Xiv（2）第三Ohm = Ohm（3） P∏N^X（2）i^Xi- 2X^Xiv（3）第四Ohm = Ohm（4） P∏N^X（3）i^Xi- 3X^X（2）i^Xi+3X^Xiv（4）表2：公允价值为v（2）=X（2）的DI力矩掉期的实现特征- 十、 v（3）=X（3）- 3X（2）X+2x和v（4）=X（4）- 4X（3）X+6X（2）X- 3倍。力矩变量套期保值策略秒^V（2）t=^X（2）t- 2Xt-1^xtv（3）t=^X（3）t- h（3）2t^X（2）t- h（3）1t^xtv（4）t=^X（4）t- h（4）3t^X（3）t- h（4）2t^X（2）t- h（4）1t^Xt表3：双矩掉期合约无模型套期保值的交易策略，其中h（3）2t:=2X+Xt-1，h（3）1t:=X（2）t-1.- 4XXt-1，h（4）3t:=3X+Xt-1，h（4）2t:=-3倍- 3XXt-而h（4）1t:=X（3）t-1.- 3XX（2）t-1+6XXt-1.2.4跨盘掉期迄今为止考虑的所有DI掉期示例都需要在连续的罢工上进行整合，以对固定的交易段进行估值，但在实践中，期权被交易为数量相对较少的离散罢工。因此，本节介绍了一类DI掉期，它可以仅基于可用期权价格进行定价和复制。与所有其他直接投资互换一样，它们具有相同的公允价值互换率，独立于监控分区∏N，不存在离散监控和特定模型（如跳跃）错误。

此外，它们不依赖于电力日志合同等综合或有权益的复制，因此不存在数值积分误差。设F=（P，C），其中P:={Pt}t∈π和C:={Ct}t∈描述d香草看跌期权和d香草看涨期权的远期价格过程，具有相同的、已交易的行权k和到期日为T的基础期货，因此Pt:=Et（k）- FT1）+和Ct:=Et（FT1- （k）+其中1:=（1，…，1）∈Rd.假设WLOG.交易的罢工k:=（k，…，kd）∈Rd的排列顺序应确保k<k<…<kd，并分别用^P和^C表示P和C的增量。让我们Ohm ∈Rd×dbe是一个下三角矩阵，集α=β=γ=0，Ohm = OhmS:=~Ohm~Ohm∈R2d×2d由于罢工是按升序进行的，所以看跌期权或看涨期权均为零trOhmSFTFT=EhPT√OhmCTi=Eh（k- FT）+Ohm （FT1- k） +i=0，因此公允价值互换率为trOhmS（英尺）- F） （英国《金融时报》- F）=EtrOhmSFTFT- trOhmSFF= -P√OhmC.（14）也就是说，不使用卡尔和马丹[2001]的复制定理，固定航段只能从当前价格和带有罢工k的Vanilla期权中得出。现在考虑d=1和√Ohm = 1.那么F=（P，C）是aput和具有相同行使k的看涨期权的联合远期价格过程，支付函数变成φ（^z）=^P^C。公允价值互换率isE[（PT- P） （CT）- C） ]=-这种互换可以通过动态持有Pt进行套期保值-1呼叫和Ct-1从时间t开始-1到t，对应于跨坐姿势。2.5频率掉期DI掉期合约允许买方和卖方在监控掉期时，通过交易标的资产F来完美对冲其风险敞口。然而，考虑到交易成本，他们可能更实际地以较低的频率进行对冲。当监控分区为∏m时，套期保值可以基于某个分区∏h πh。