无模型离散不变互换合约

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英文标题：
《Model-Free Discretisation-Invariant Swap Contracts》
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作者：
Carol Alexander and Johannes Rauch
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Realised pay-offs for discretisation-invariant swaps are those which satisfy a restricted `aggregation property\' of Neuberger [2012] for twice continuously differentiable deterministic functions of a multivariate martingale. They are initially characterised as solutions to a second-order system of PDEs, then those pay-offs based on martingale and log-martingale processes alone form a vector space. Hence there exist an infinite variety of other variance and higher-moment risk premia that are less prone to bias than standard variance swaps because their option replication portfolios have no discrete-monitoring or jump errors. Their fair values are also independent of the monitoring partition. A sub-class consists of pay-offs with fair values that are further free from numerical integration errors over option strikes. Here exact pricing and hedging is possible via dynamic trading strategies on a few vanilla puts and calls. An S&P 500 empirical study on higher-moment and other DI swaps concludes.
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中文摘要：
离散不变交换的实际回报是满足Neuberger[2012]关于多元鞅的两次连续可微确定性函数的受限“聚合性质”的交换。它们最初被描述为一个二阶偏微分方程组的解，然后这些基于鞅和对数鞅过程的解形成一个向量空间。因此，存在各种各样的其他方差和更高的时刻风险溢价，它们比标准方差互换更不容易出现偏差，因为它们的期权复制投资组合没有离散的监控或跳跃误差。其公允价值也独立于监控分区。子类由公允价值的支付组成，这些公允价值在期权行使期间不存在数值积分误差。在这里，通过几个普通看跌期权和看涨期权的动态交易策略，可以实现精确的定价和套期保值。标准普尔500指数（S&P500）对更高时刻和其他直接投资掉期的实证研究得出结论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Model-Free_Discretisation-Invariant_Swap_Contracts.pdf (608.31 KB)

2022-5-10 17:15:42 上传

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关键词：互换合约 Mathematical Multivariate Quantitative mathematica

Scarol Alexander和Johannes Rauch提出的无模型离散化方法*该版本：2016年4月离散不变掉期的实际支付是指满足Neuberger[2012]关于多元鞅的两次连续可微确定性函数的受限“聚合性质”的支付。它们最初被描述为一个二阶偏微分方程组的解，然后这些基于鞅和对数鞅过程的解形成一个向量空间。因此，存在多种多样的其他方差和更高的矩风险溢价，这些方差和矩风险溢价比标准方差互换更不容易出现偏差，因为投资组合没有离散的监控或跳跃误差。它们的rfair值也独立于监控分区。一个子类由公允价值构成，公允价值不受期权打击后数值积分误差的影响。在这里，通过几个普通看跌期权和看涨期权的动态交易策略，可以实现精确的定价和套期保值。标准普尔500指数（S&P500）对更高时刻和其他直接投资掉期的实证研究得出结论。*英国苏塞克斯大学商业、管理和经济学院。卡罗尔·亚历山大：c。alexander@sussex.ac.uk; 约翰内斯·劳赫：j。rauch@sussex.ac.uk.Variance波动性掉期、期货和期权是分散投资组合和转移波动性风险的常用工具。例如，传统方差掉期的条款和条件将波动段（已实现方差）定义为在掉期有效期内某些基础（通常是股票指数）的平均每日对数收益平方。发行人通常使用CBOE波动指数（VIX）的基础公式来确定其掉期利率，但这样一来，理论公允价值差异只能近似计算。

因此，市场利率可能远远偏离无套利范围，尤其是在危机期间，即波动性产品交易增加时。这些偏差可归因于各种离散化和模型相关错误，其共同影响是方差互换的理论价格可能不公平，甚至具有误导性。对于具有复杂报酬的衍生工具合同，合理的理论价格非常重要，因为它们有助于排除套利机会，因此关于方差互换率近似误差的文献越来越多，稍后将进行回顾。采用完全不同的方法，Neuberger[2012]和Bondarenko[2014]重新定义了已实现的差异，在无套利的最小假设下，存在一个精确的、无模型的公允价值差异互换率。此外，Neuberger[2012]证明，如果他的“聚合属性”（AP）适用于支付功能，则该比率适用于不考虑浮动段的监测频率。他定义了AP持有的一个已实现的三分之一时刻，并且存在一个准确的公允价值三分之一时刻掉期利率，该利率独立于浮动段的监控频率。这同样适用于Neuberger[2012]和Bondarenko[2014]中新实现的差异定义。方差掉期在20世纪90年代引入场外交易[Demeter Fi等人，1999]，其期货、期权、票据、基金和其他衍生品现在正在交易所积极交易，需求源于其作为多元化工具、对冲工具或纯粹为了投机的作用，如Alexander等人[2015]所述。目前，CBOE数据显示，仅在VIX期货合约和全球证券交易所，就有30亿至60亿美元的名义交易量，即使是小投资者也可以买卖100多种与波动性期货相关的上市产品。

其中最受欢迎的是巴克莱的VXX票据，截至2013年12月31日，其市值约为1万亿美元。例如，在2008年金融危机期间，标准普尔500指数（S&P 500）的市场差异互换率通常比波动率指数高出5%或更多——参见Ait Sahalia等人[2014]和Konstantinidi and Skiadopoulos[2016]。他最后说，“[……]如果能够将分析扩展到更高的层次，那也很好。根据这些想法，我们将AP限制为仅包含鞅远期价格确定性函数的两次连续可微分支付适应过程，从而定义离散不变（di）互换合同的类别。通过这种方式，我们可以为DI掉期提供一个全面的理论，该理论是在多个资产上编写的，这些资产具有精确的公允价值，独立于监控分区，前提是市场没有任何不公平的机会。我们的理论涵盖了各种不同的报酬，包括与对数收益分布的高阶矩相对应的报酬，以及普通期权价格的双线性函数。我们还描述了少量普通风格的或有权益中的动态交易策略，这些策略允许人们以无模型的方式对冲DI掉期，我们的实证研究将这些策略应用于标准普尔500指数。在以下内容中：第1节在相关文献的背景下设定我们的工作，并定义我们的符号；第2节介绍了我们的理论结果，并描述了差价的定价和对冲；第三部分给出了实证结果；第4节总结。

主要证据见附录。1背景传统的到期日方差掉期将已实现方差（RV）定义为掉期期内某些基础资产的平均每日对数收益率：RV:=TXt=1（xt）- xt-1） ，（1）式中，xt:=ln fta，Ft>0表示时间t的基础远期价格。公允价值差异互换率的计算是在假设定价度量为瞬时值的情况下进行的。这并不简单；[...] 具有聚集特性的函数集非常有限；未来的发展方向可能是，除了那些关于分布差异的索赔外，还包括其他交易索赔。”它们是“精确”的，因为它们没有跳跃或离散化偏差，因此市场掉期利率应该保持在无套利范围内，即使是在金融危机时期，也就是标准方差掉期利率的误差相当大的时候。在实践中，方差掉期的浮动段设置为等于掉期有效期内所有交易日的平均实现方差，而不是（1）中的总方差。然而，包含这种详细程度只会给我们的分析增加不必要的复杂性。独特的，并且：（a）持续监测浮腿；（b） 标的证券的远期价格遵循一个纯粹的差异化过程；（c） 与掉期到期日相同的标的证券的普通期权以连续的价格进行交易。然后，从这些期权的市场价格中推导出一个唯一且精确的公允价值互换率——在假设（a）下，它成为原木价格的预期二次变量。然而，在现实世界中，这些假设都不成立。Carr和Wu[2009]讨论了理想情况（a），在这种情况下，连续监测是可能的，用对数回报的二次变化（QV）代替（1）。

然后，他们应用Carr和Madan[2001]的复制定理证明，对于一般的跳跃扩散过程：E[QV]=2^R+k-2q（k）dk+ι，其中eDenote表示定价措施下的预期，q（k）表示行使k和到期T的avanilla现金外期权（OTM）的价格。当基础价格遵循（b）中的纯微分时，跳跃误差ι为零。关于假设（c），实际上（3）中的积分必须使用实际交易的Vanilla期权价格进行数值计算。蒋和田[2005]提出了与该假设相关的问题，并推导了所谓的“截断误差”的上界。Davis等人[2014]还基于一定数量的交易罢工，推导出了连续监控的方差掉期利率的无模型套利边界，并声称市场利率惊人地下降到了下限。公允价值互换率中的一个主要误差来源于假设（A），因为必须在离散时间内对浮动段进行监控。这种“离散监测”误差可以写成δ：=E[RV- QV]。（2） 在无套利市场中，如Harrison和Kreps[1979]中所述，预期报酬可以用arisk中性度量进行计算。在一个完整的市场中，代表性投资者的风险中性度量对应于一个独特的市场隐含度量，见Breeden和Litzenberger[1978]。当k≤ F期权是看跌期权，k>F期权是看涨期权。这种分离的选择在方差交换文献中是标准的，例如在Bakshi等人[2003]中。然后，在Carr和Wu[2009]的一般跳跃差异设置中，已实现差异（1）的公允价值互换率可能为writene[RV]=2^R+k-2q（k）dk+ι+δ。

（3） 关于这些定价误差有大量研究：Carr和Lee[2009]证明离散监控误差δ与收益的第三时刻有关；Jarrow等人[2013]研究了离散监控掉期利率与其持续监控掉期利率的收敛性，并得出了δ的界限，该界限随着监控频率的增加而变得更紧；Bernard等人[2014]概括了这些结果，并提供了签署δ的条件；Hobson和Klimek[2012]推导了δ的无模型界；Broadie和Jain[2008]推导了各种随机波动率扩散和跳跃模型下离散监控的方差互换的公允价值互换率，声称对于最现实的合同规格，δ小于因违反假设（b）而产生的误差；Bernard和Cui[2014]通过考虑δ的渐近展开，将其分析扩展到了更广泛的过程。最后，Rompolis和Tzavalis[2013]推导了跳跃误差ι的界限，并通过模拟和实证研究证明，价格跳跃会导致系统性的负偏差，这在出现大幅下降跳跃时尤为明显。Neuberger[2012]找到了一种避免假设（a）和（b）产生误差的方法：放弃对已实现方差的传统定义，使用对数方差函数λ（^x）：=2e^x- 1.- ^x其中^x表示日志返回。最重要的一点是，对数方差（LV）也可以写为基础远期价格增量的起始值F和终止值F+^F的函数，即λ*F、 F+^F:= 2h^FF- 自然对数F+^FFi、 λ在哪里*F、 F+^F= λ（^x）。

泰勒展开表明，LV可能与^x分布的二阶矩有关，因为lim^x→0λ（^x）/^x=1。纽伯格的对数方差交换定义为：LV:=TXt=1λ（^xt）=TXt=1λ（xt- xt-1) .有了这一定义，并且在最小假设下，即F=Ex遵循风险中性度量下的鞅（即市场无套利），公允价值互换利率不存在跳跃和离散监控误差。它由[LV]=2^R+k给出-2q（k）dk。在风险中性度量下，投资该差异掉期的预期收益和损失（P&L）为零，且相同的掉期利率适用于所有监控频率。事实上，用于确定实际对数方差的监测分区∏甚至不必是常规的X∏Nλ（^X）=E[λ（xT）- x） ] 其中∏N={0=t<t<…<tN=t}是区间∏：=[0，t]的一个划分。从今往后，我们写A:={At}t∈π表示在∏上监视的单变量过程，对于多变量过程，我们写A:={At}t∈Π. 阿尔索特[.]：=E[.| Ft]表示在时间t的过滤条件下的预期，其中E[.]：=E[.]。Neuberger[2012]介绍了他的“聚合属性”（AP）如下：给定φ：Rn→其他作者探讨了已实现方差的不同定义，这些定义给出了比标准方差互换利率更容易定价和对冲的公允价值。Martin[2013]提倡使用平方“简单”回报的总和，而不是对数回报，认为通过这种修改，跳跃和离散误差都被最小化。同样地，Lee[2010]描述的伽马掉期加权了已实现的方差，在连续半鞅假设下，复制和估值相对简单。

Bondarenko[2014]推导出的广义方差报酬也基于加权函数。这些方法的一个共同特点是，它们都仅基于有关基础价格的信息来定义浮动段。Neuberger[2012]考虑了（5）的衡量标准是定价衡量标准的情况。参见Neuberger[2012]第7页：“如果该措施是一种定价措施，则表示每日计算的一个月差异掉期（一种在一个月内支付已实现的每日差异的掉期）的公平价格与支付（ST- S） 。事实上，由于这种关系在任何定价措施下都成立（因为这一过程在任何定价措施下都是鞅），这也意味着，如果存在或有权益（或可以从其他或有权益中综合），并且交易标的资产，则方差互换可以完全复制。”对一个经过调整的过程进行Rand∈Rn，对（φ，z）满足聚集性（AP）if且仅当：X∏Nφ（^z）=E[φ（zT- z） ] πN.（5）两种常见情况是：（a）如果φ是线性的，那么对于某些α，φ（^z）=α^z∈Rn，则（5）对任何过程z保持不变，因为∏N^z=zT- Z（b） 如果z只包含常数过程，则^zi=0我∈ {1，…，N}，所以（5）适用于φ（0）=0的任何函数。注意，（9）也适用于情况（a），因为hziφT=zT- 因为hziφT=0，假设φ（0）=0。（5）和（4）之间的类比是显而易见的，很容易看出，AP并不适用于φ（^x）=^x，即传统的方差报酬。然而，如果AP确实成立，则（5）的r.h.s.表明，对流动分支的预期是路径独立的，即使投资者对不完整市场中的跳跃风险有不同的看法，他们仍然会同意离岸价值互换利率。

此外，如果z的组成部分仅取决于具有远期价格过程F的单一标的资产的分配，则公允价值互换率可以通过应用卡尔和马丹[2001]的ReplicationTherem，以该资产上的普通OTM期权来表示。Bondarenko[2014]给出了AP（5）的另一种定义，附录的表1给出了两种定义等效的过程的简单描述。有趣的是，我们对定理2和定理3的分析结果也要求相同的限制特征，即，适应过程由z=（F，x）给出，其中x:=ln F，F>0表示鞅远期价格向量。在Lebondarenko[2014]研究单变量情况的同时，Neuberger[2012]采取了最初的步骤，在z中包含了香草式或有权益的有条件公允价值过程，允许互换的初始阶段包含有关序列依赖性的信息。然后，他考虑了所有满足（5）z=（x，v）的支付函数，其中xt:=ln Ft，v表示附录B中的一个简单引理，表明（5）对于不存在离散监测误差是必要的。事实上，AP不适用于任何φ（^x）=^xn，n≥ 2.广义方差过程vt:=Et[σ（xT）- xt）]，带σ：R→兰德林克斯→0σ（^x）/^x=1:G：=ν：R→R^（^z）=h^x+he^x- 1.+ h^v+h（^v）- 2^x）+h（^v+2^x）e^x,如果h6=0，则受限制条件σ=λ，如果h6=0，则受限制条件σ=η，其中η（^x）：=2^xe^x- e^x+1表示“熵方差”。LV薪酬与h=-2，h=2，h=h=h=0。在setVof pay-o OFF函数中，纽伯格进一步确定了pay-o OFFψ（^z）：=3^ve^x- 1.+ τ（^x），其中τ（^x）：=6^xe^x- 2e^x+^x+2, 对应于h=6，h=-12，h=-3，h=0和h=3，并认为它近似于对数返回sincelim^x的三阶矩→0τ（^x）/^x=1。