金融市场中使用稳定分布的一些相反观点

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英文标题：
《Some Contra-Arguments for the Use of Stable Distributions in Financial
  Modeling》
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作者：
Lev B. Klebanov, Greg Temnov, Ashot V. Kakosyan
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In the present paper, we discuss contra-arguments concerning the use of Pareto-Lev\\\'y distributions for modeling in Finance. It appears that such probability laws do not provide sufficient number of outliers observed in real data. Connection with the classical limit theorem for heavy-tailed distributions with such type of models is also questionable. The idea of alternative modeling is given.
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中文摘要：
在本文中，我们讨论了有关使用帕累托-列维分布进行金融建模的相反观点。这样的概率定律似乎不能提供足够数量的实际数据中观察到的异常值。与这类模型的重尾分布的经典极限定理的联系也值得怀疑。给出了替代建模的思想。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Some_Contra-Arguments_for_the_Use_of_Stable_Distributions_in_Financial_Modeling.pdf (3.27 MB)

2022-5-10 17:21:56 上传

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关键词：金融市场 稳定分布 distribution Mathematical Applications

关于在金融建模中使用稳定分布的一些相反观点Lev B Klebanov*, Gregory Temnov+，Ashot V.Kakosyan摘要在本文中，我们讨论了有关使用帕累托-列维分布进行金融建模的相反论点。看来，这样的概率定律并不能提供足够数量的实际数据中的异常值。重尾分布的经典极限定理与这类模型的联系也值得怀疑。给出了替代建模的思想。关键词：异常值；财务指标；浓重的尾巴；稳定分布1简介在最近几十年里，我们看到了大量关于帕累托-列维分布和其他重尾分布在金融中的使用的出版物（例如，参见[12]、[11]和参考文献）。发起这项研究的关键作者之一是曼德布罗特。他提到，高斯分布不能为观察到的大量“异常值”提供可靠的解释，换句话说，与经验平均值的偏差绝对值大于ks的观察值的数量，其中sis为经验方差。Mandelbrot根据独立变量的经典极限定理，认为稳定分布是高斯族的唯一替代*捷克共和国布拉格查尔斯大学概率与统计系，MFF，邮编：18675，电子邮件：levbkl@gmail.com+捷克共和国布拉格查尔斯大学MFF概率与统计系，邮编：18675，电子邮件：levbkl@gmail.com——埃里温州立大学独立分布（i.i.d.）随机变量，或同等地，稳定属性。在本文的剩余部分，我们证明了稳定分布也不能解释如此多的异常值。与非随机数随机和的经典极限定理的联系似乎是有问题的。

一个更自然的观点来自于对随机数随机变量使用极限定理。2大样本的离群值概率在本节中，我们研究在属于严格稳定分布吸引域的分布中观察离群值的概率。具体来说，假设X，X，Xnis是一系列i.i.d.随机变量。表示为“xn=nnXj=1Xj，sn=nnXj=1（Xj- 其经验平均值和经验方差相应。设k>0为固定数。我们对以下概率n=IP{| X感兴趣- \'xn |>ksn}。（2.1）我们的目的是证明以下定理。定理2.1。假设X，X，Xnis是一个i.i.d.随机变量序列，属于具有稳定指数α的严格稳定随机变量的吸引域∈ (0, 2). 德林→∞pn=0。（2.2）证据。因为Xj，j=1，n属于指数α<2的严格可解随机变量的吸引域，X，Xnbelong到指数为α/2的单侧稳定分布的吸引域。关于稳定分布吸引域的定义和描述，请参见[3]1）首先考虑情况1<α<2。在这种情况下，`xn-→N→∞a=iex和sn-→N→∞∞. 我们有IP{|X- \'xn |>ksn}=IP{X>ksn+\'xn}+IP{X<-ksn+`xn}==IP{X>ksn+a+o（1）}+IP{X<-ksn+a+o（1）}-→N→∞0.2）现在假设0<a<1。在这种情况下，我们有“xn”~ n1/α-1Yas n→ ∞. 这里Y是α稳定的随机变量，符号~ 用于交感等值。类似地，sn=nnXj=1Xj- \'\'xn~ n2/α-1Z（1+o（1）），其中Z具有指数α/2的单侧正稳定分布。我们有IP{|X- \'-xn |>ksn}=IP{（X）- \'-xn）>ksn}==IP{X>n2/α-1Z（1+o（1））}-→N→∞0.3）在α=1的情况下，我们处理柯西分布。这个案例的证据与案例2）非常相似。

我们省略了细节。让我们注意到，对于具有有限第二动量和非紧支撑的分布，概率（2.1）有一个正极限n→∞. 事实上，如果二阶矩是有限的，那么“x”和“sn”都有有限的a=IEX和σ=IEX- （IEX）。概率（2.1）收敛于p{X- a |>kσ}>0作为n→ ∞ 由于分布的非紧性。因此，很明显，尾巴的重量无法解释大量异常值的存在。3模拟研究虽然第2节的结果表明，大量异常值出现的概率可以忽略不计，但我们可能仍然怀疑样本是否过大。然而，实践中的样本并不太小。因此，根据实际观测数据，我们可以将5万阶的样本量n视为典型样本量。1.我们模拟了大小为n的m=1500个样本（n在步骤2000中从1000增长到25000），并计算了k=3的概率pngivenby（2.1）的估计值。该概率作为n函数的行为如图1所示。蓝线对应于α=1.2的对称稳定分布；红线-标准高斯分布。我们看到α=1.2稳定对称分布的概率Pn比高斯分布的概率Pn小，从n=18000开始。因此，对于典型的样本量，对于这样的稳定分布，我们无法预测许多异常值。0.0020.0040.0060.008图1:Pnk=3的概率。蓝线对应于α=1.2的对称稳定分布；红线-标准高斯分布2。同样，我们模拟了大小为n的m=1500个样本（n在2000步中再次从1000增长到25000），并计算了k=2.5时（2.1）给出的概率Pn估计值。这种概率作为n函数的行为如图2所示。

蓝线对应于对称稳定分布，α=1.8；红线-标准高斯分布。我们看到，从n=4000开始，α=1.8稳定对称分布的概率比高斯分布的概率小。在k=3的情况下，Pn的下降要慢得多。例如，对于α=1.8的稳定对称分布，p=0.00591093，而US0。0026998表示高斯分布。在这种情况下，我们不能说稳定分布提供的异常值比高斯定律少。但是，对于预测数据与观测数据不一致的情况，相应数量的异常值是否足够？不幸的是，只有几篇论文给出了观测到的异常值数量，即概率pnfork=3的估计值。在[1]表3中可以找到此类数据。对应的概率| X- 即使在0.009到0之间也有变化。013.对于α=1.8的对称稳定分布，该概率isp=0.00591093。我们发现，它太小，无法从[1]中解释表3中的剩余数量。让我们注意到[6]中给出了不同参数值和样本大小的类似模拟。我们不在这里讨论它们。0.0020.0040.0060.0080.0100.0120.014图2:Pnk=2.5的概率。蓝线对应于对称稳定分布，α=1.8；红线-标准高斯分布4缓和稳定分布最近，缓和稳定分布越来越流行。这种分布的思想在于从分布的某个支撑点开始，通过指数尾来改变稳定定律的尾。

当然，在这种情况下，概率不再收敛到零。然而，如果尾巴的变化点远离原点，人们可能会认为这种可能性很小，因为在这种情况下，回火分布将趋于稳定。模拟结果支持这一观点。让我们只考虑具有特征函数SF（u，α，λ）=exp{A的对称回火稳定分布的情况(λ - iu）α+（λ+iu）α- 2λα} （4.1）对于α∈ （1,2），A>0，λ>0。在图3中，极限概率p（α，λ）=limn的曲线图→∞对于分布（4.1），Pn是a=1时参数α和λ的函数。这幅图表明，概率太小，无法解释大量异常值的存在。1.21.41.61.80.0020.0040.0060.008图3：概率Pn作为参数α的函数∈ （1.1,1.9）和λ∈ （0.2,4）。5如何获得更多的异常值？在这里，我们讨论了一种从一个分布构造另一个具有更高概率观察异常值的分布的方法。我们称这个过程为“放下尾巴”。设F（x）是随机变量x具有有限二阶矩σ的概率分布函数(-x） =1- F（x）表示所有x∈ IR。取一个参数p∈ （0,1）并将其固定。定义一个新函数fp（x）=（1- p） F（x）+pH（x），其中H（x）=0表示x<0，H（x）=1表示x>0。很明显，fp（x）是任意p的概率分布函数∈ (0, 1). 当然，Fp也有有限的二阶矩σp和Fp(-x） =1- Fp（x）。然而，σp=（1- p） σ，σ。设Yp为概率分布函数Fp的随机变量。然后是kp1- pσ}=2IP{Yp>kp1- pσ}=2（1）- p）1.- F（kp1）- pσ）.表示“F（x）=1- F（x）重写formIP{| Yp |>kp1中以前的等式- pσ}=2（1）- p） \'F（kp1- pσ）。（5.1）对于Ypto，其异常值比X多，因此（1- p） \'F（kp1- pσ）>F（kσ）。

（5.2）在许多情况下，不等式（5.2）对于k的极大值是正确的。让我们提到其中两个。1.随机变量X具有指数尾。更准确地说，F（x）~ 总工程师-斧头→ ∞,对于一些正常数C和a，在这种情况下，不等式（5.2）对于足够大的k到（1）是等价的- p） >经验{-a·k·σ·（1）-p1- p） }，这显然适用于大型k.2。F有幂尾，也就是F（x）~ C/xα，考虑到有限二阶矩的存在，其中α>2。简单计算表明（5.2）与k等价→ ∞ 至（1）- p） 一,-α/2< 1.最后一个不等式适用于α>2。让我们注意函数fp在零处有一个跳跃。然而，通过使用平滑程序，即通过平滑函数逼近FP，可以在没有这种跳跃的情况下获得类似的效果。”“放下尾巴”程序允许我们根据两个元素获得更多的异常值。第一个要素是将尾部变小，但与之前的系数1成比例- p、 第二个元素是将质量的一部分移动到原点（或它的一个小邻域），这减少了方差。6随机变量之和的极限定理支持稳定分布在金融中使用的一个论据是，观测值可以被视为大量随机变量之和。然而，为了收敛到稳定分布，总和本身必须有重尾，这似乎是不自然的。此外，正如我们在第2、3节中看到的，观测到大量异常值的概率与实际数据不一致。然而，高斯分布的替代方案不受稳定分布的限制。i.i.d.随机变量之和对于随机数之和有极限定律。Robbins、Dobrushin、Gnedenko等人发展了这种极限分布的理论。

这一理论的描述可以在书[5]中找到。有关一些新结果，请参见[4]。如这些出版物所示，i.i.d.随机变量的随机数之和收敛于所谓的ν-正态分布。这种分布的形式取决于求和数定律。在求和数的几何分布的情况下，极限定律是拉普拉斯分布而不是高斯分布。对于求和数的变换负二项分布的情况，高斯定律的作用由对称伽马分布显示。[4]中给出了许多其他例子。所有这些分布都有有限的二阶矩。对其中许多人来说，概率（2.2）基本上高于高斯定律。例如，拉普拉斯分布给出了概率Pnk=3的极限值，等于0.0143696，而高斯分布为0.002698。我们的建议是，这种分布很好地替代了高斯和稳定定律。参考文献[1]Ernst Eberlein和Ulrich Keller（1995）。《金融中的双曲线分布》，伯努利1（3），281-299。[2] 埃夫隆，B.（1969）。学生t-对称条件下的测试。J.艾默尔。统计学家。助理律师6412781302。[3] Ibragimov和Yu。V.Linnik（1971）随机变量的独立和平稳序列。Wolters–Noordho Off出版荷兰格罗宁根（英文译本）[4]L.B.Klebanov，A.V.Kakosyan，S.T.Rachev，G.Temnov（2012年），关于随机求和下稳定的分布类别。J.阿普尔。问题。49, 303-318.[5] L.Klebanov，T.J.Kozubowski，S.T.Rachev（2006）随机和的概率和稳定性的不适定问题。诺瓦科学出版社，纽约。[6] Lev B Klebanov（2016）请不要在金融领域进行稳定的分配。arXiv:1601.00566v2，1-9。[7] Lev B Klebanov和Irina Volchenkova（2015）金融中的重尾分布：现实还是神话？业余爱好者的观点。

ArXiv:1507.07735 v.1，1-17。[8] 洛根，B.F.，Mallows，C.L.，里德斯，S.O.和谢普，L.A.（1973）。自规范化和的极限分布。安。Probab。1 788809.[9] T.J.Kozubowski和A.K.Panorska（1999年）。金融应用中的多元几何稳定分布，数学和计算机建模29，83-92[10]Benoit Mandelbrot（1963）某些投机价格的变化，《商业杂志》，第36卷，第4期，第394-419页[11]S.T Rachev（编辑）（2003年）。金融中的重尾分布手册，第1卷：金融手册，第1卷第1版，爱思唯尔银行。V.[12]斯维特洛扎·T·拉切夫，斯特凡·米特尼克（2000）。金融中的稳定帕累托模型，威利