随机变量最优投资影子价格的存在性

这里，λ（1）可以是[12]中定义的一组可接受的交易策略，没有卖空约束。命题4.4的证明。设φ=（φt，φt）0≤T≤t是λ（1）中的另一种交易策略。由于股票价格过程是连续的，且可预测的交易策略是路径有限变化的，因此我们只能考虑具有正确连续路径的交易策略（参见[15]）。此外，我们假设代理人在时间T/2之后不再购买股票。在以下内容中，我们将在两种情况下讨论交易策略，此外，我们将证明以下陈述不能支持交易策略≥ b~nT=（1）- λ） ST/2，a.s.与P[~nT>b~nT]>0，（4.2），因此b~n是λ（1）中的最大交易策略。案例一：假设存在一个γ>0和一个集合B∈ P（B）>0时，对于ω∈ B、 νt（ω）≤ 1.- γ, 0 ≤ T≤ T/2，P-a.s.（即，库存量从不超过1- γ).我们的目标是建立一个挫折∈ P（B）>0时的FT/2，对于ω∈ B、 ДT（ω）<BДT（ω）。对于β>0，定义τβ：=inf{t>0:St≥ 1+β}∧T/2。然后，通过选择β λsu efficientlysmall，我们可以找到一个由b定义的Fτβ-可测集：={ω：τβ（ω）<T/2}∩ {ω : 1 - λ/3 ≤ St（ω）≤ 1 + β, 0 ≤ T≤ τβ（ω）}，使得P（B）>1-P（B）。很明显，P（B）∩B） 对于ω>0和∈ B、 Sτβ（ω）（ω）=1+β。此外，我们定义B:=B∩ {ω：ηt（ω）≤ 1.- γ, 0 ≤ T≤ τβ(ω)}  B∩ B.来自P（B）∩ B） >0，我们有P（eB）>0。现在，我们在宽度为β的时间间隔Jτβ，T/2K上构建股票价格的走廊K（见图1）。τβ处的走廊中心点为1+β，而T/2处的走廊中心点为一个足够大的数字C。显然，股票价格过程具有条件完全支持（参见，例如[28]），这意味着挫折：=eB∩ {S停留在Jτβ，T/2K上的走廊K中,具有严格的正度量，即P（B）>0。

对于ω∈ B、 最明智的交易策略是购买1- γ以最低价格出售股票，价格至少应为1- λ/3，并保持到T/2。因此，ηT（ω）=VliqT/2（η）（ω）<（1）- λ)C+β(1 - γ) + 1.另一方面，bаT（ω）=bаT/2（ω）>（1）- λ)C-β.通过正确选择C>γ（1）-λ)+β(2-γ） 2γ，我们可以确保φT（ω）<bφT（ω）。案例二。假设这种情况我不可能发生，那么对于几乎每一个ω∈ Ohm, 以下停止时间取[0，T/2]中的值：σ：=inf{T>0:~nT≥ 1或φt-≥ 1}.图1：情况1对于任何停车时间τ和ρ，取[0，T/2]中的值，ρ≥ τ、 我们有：Vliqρ（k）=аτ+аτSτ+ZρτаtdSt- λZρτStd~n1，↓T- λSρ（Пρ）+=Пτ+ПττSτ+ZρτρtdSt- λZρτStd~n1，↓T- λSρ（ρρ）+λZρτ洎tdSt- λZρτ~ntdSt=аτ+（1）- λ） ψτSτ+（1）- λ） Zρτ~ntdSt- λSρ（νρ）-- λZρτStd~n1，↑t、 （4.3）在续集中，我们将考虑两种情况，即（i）几乎每个ω∈ Ohm,φσ(ω) + (1 - λ） νσ（ω）Sσ（ω）≥ b~nσ（ω）+（1）- λ） bИσ（ω）Sσ（ω）；（ii）ω存在一个Fσ-可测集D，P（D）>0∈ D、 νσ（ω）+（1）- λ） ~nσ（ω）Sσ（ω）<b~nσ（ω）+（1）- λ） b~nσ（ω）Sσ（ω）。假设（i）成立，那么我们观察到几乎每一个ω∈ Ohm,φσ(ω) + (1 - λ） Пσ（ω）Sσ（ω）=bПσ（ω）+（1）- λ） b~nσ（ω）Sσ（ω）。（4.4）如果σ（ω）（ω）≥ 1，然后是σ（ω）+（1- λ） νσ（ω）Sσ（ω）=Vliqσ（ω）（ν）（ω）≤ Vliqσ（ω）-(φ)(ω);如果ψσ（ω）（ω）<1，则为ψσ（ω）-(ω) ≥ 1，因此从自我融资约束来看，是σ（ω）+（1）- λ） νσ（ω）Sσ（ω）≤ φσ-(ω) + (1 - λ)φσ-（ω） Sσ（ω）=Vliqσ（ω）-(φ)(ω).考虑一个无摩擦的市场，在这个市场中，代理交易（1）- λ） 在S中，代理人的收益比在有交易成本的市场上交易要好。然后，我们可以推导出b~n+b~nS+（1- λ） Zσb k tdSt=bаσ+（1）- λ） bσSσ≤ φσ+ (1 - λ） σSσ≤ Vliqσ-(φ) ≤ ν+νS+（1）- λ） Zσ~ntdSt。自+（1）- λ） S=bа+bа（1- λ） S=1和1是（1）交易时的最大交易策略- λ） 我们可以证明（4.4）。现在我们计算VliqT（ψ）。

从（4.3）中，我们得到了Vliqt（ν）≤ φσ+ (1 - λ） ψσSσ+（1）- λ） ZTσаtdSt=bа+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） Zσb k tdSt+（1）- λ） ZTσаtdSt=bа+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） ZTbtJ0，σK（t）+tJσ，TK（t）dSt。（4.5）很明显- λ） S，（（b~n·J0，σK（·）+~n·Jσ，TK（·））o（1）- λ） S）从下方统一边界，因此可接受。将（4.5）与Vliqt（bа）=bа+（1）进行比较- λ） b~nS+（1）- λ） ZTb~ntdSt，我们可以从（1）的最大值得出结论- λ） RT1DST（4.2）不可能发生。另一方面，如果（ii）成立，那么通过类似的推理，我们得到ω∈ D、 VliqT（ν）<b+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） ZσbИtdSt+（1- λ） ZTσаtdSt=bа+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） ZTbtJ0，σK（t）+tDJσ，TK（t）dSt。（4.6）同样地，（（b K J0，σK+K DJσ，TK）o（1）-λ） S）在进行（1）交易时从下方均匀有界- λ） 是的，因此是可以接受的。比较（b~nJ0，σK+~nDJσ，TK）o（1）- λ） STwith（1o（1）- λ） S）T，我们可以得出结论，对于几乎每个ω∈ D（b~nJ0，σK+~nDJσ，TK）o（1）- λ） ST=（1o（1）- λ） S）T，或者存在一个子集D D、 D∈ FT/2，对于ω∈ D（b~nJ0，σK+~nDJσ，TK）o（1）- λ） ST<（1o（1）- λ） 特别是，我们通过回顾（4.6）排除（4.2）。5附录在附录中，我们证明了技术引理，该引理用于证明第3节的主要结果。引理5.1。假设{fn}n∈Nis是L中的一个序列，fn→ F∈ 五十、 几乎可以肯定。此外，林→∞E[fn]是有限的，f+是可积的。我们表示α：=limn→∞E[fn]- E[f]。特别是，如果E[f]=-∞, 我们注意到α：=∞. 那么，对于任何M>0，我们都有→∞Efn{fn≥M}≥ α. （5.1）证据。我们假设，与我们的主张（5.1）相反，存在M>0，因此lim supn→∞Efn{fn≥M}=: β<α，（5.2），这意味着{E[fn{fn]的有界性≥M} ]n∈N.假设E[f]=-∞, 然后我们有了f{f<M}≤ E[f]=-∞.因此，林爽→∞Efn{fn<M}≤ Ef{f<M}= -∞. （5.3）从（5.3）和（5.2）中，我们可以得出limn→∞{E[fn]}n∈N=-∞, 这与假设相矛盾。因此，E[f]∈ R

在这种情况下，我们有f{f<M}≥ 林尚→∞Efn{fn<M}= 画→∞E[fn]- 林恩芬→∞Efn{fn≥M}≥ E[f]+α- β、 （5.4）其中等式是从{E[fn]}n的收敛性推导出来的∈与{E[fn{fn]的有界性≥M} ]n∈显然，（5.4）是一个矛盾。备注5.2。这个引理的一个广义版本也成立，类似于[43，引理3.16]（ii）（详细证明见顾[25]）。精确地说，如果我们假设与上述引理相同，那么对于任何α<α且M>0，都存在一个子序列{fnk}k∈不交集序列（Ak）k∈N、 这样每k∈ N、 fnk≥ 我在安第斯山脉的阿克fnkAk≥ α.致谢：作者感谢奥地利科学基金（FWF）在P25815拨款项下以及欧洲研究理事会在ERC高级拨款321111项下提供的财政支持。这项工作的一部分是在L.Guand J.Yang的访问期间完成的，该访问由N.Touzi教授主持，在芝加哥理工学院的CMAP，这是非常受欢迎的。作者感谢W.Schachermayer教授对附录的建议，并感谢匿名评论者的善意评论。参考文献[1]E.Bayraktar和X.Yu。具有随机禀赋和交易成本的最优投资：对偶理论和影子价格。预印本，2015年。[2] G.Benedetti、L.Campi、J.Kallsen和J.Muhle Karbe。关于影子价格的存在。《金融与随机》，17（4）：801–81818，2013年。[3] B.布查德。比例交易成本下实线效用最大化。《金融与随机》，6（4）：495-5162002。[4] B.Bouchard和L.Mazliak。L（Rd；Ohm, F、 P）。《随机过程及其应用》，107（2）：213–231，2003。[5] L.坎皮和M.欧文。具有比例交易成本的多元效用最大化。《金融与随机》，15（3）：461-4992011。[6] L.Campi和W.Schachermayer。

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