随机变量最优投资影子价格的存在性

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英文标题：
《On the existence of shadow prices for optimal investment with random
  endowment》
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作者：
Lingqi Gu and Yiqing Lin and Junjian Yang
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we consider a num\\\'eraire-based utility maximization problem under constant proportional transaction costs and random endowment. Assuming that the agent cannot short sell assets and is endowed with a strictly positive contingent claim, a primal optimizer of this utility maximization problem exists. Moreover, we observe that the original market with transaction costs can be replaced by a frictionless shadow market that yields the same optimality. On the other hand, we present an example to show that in some case when these constraints are relaxed, the existence of shadow prices is still warranted.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了在固定比例交易成本和随机捐赠条件下，基于数量的效用最大化问题。假设代理人不能卖空资产，并且被赋予严格正的未定权益，这个效用最大化问题存在一个原始优化器。此外，我们观察到，具有交易成本的原始市场可以被产生相同最优的无摩擦影子市场所取代。另一方面，我们举了一个例子来说明，在某些情况下，当这些约束条件放松时，影子价格的存在仍然是有理由的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

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PDF下载：
--> On_the_existence_of_shadow_prices_for_optimal_investment_with_random_endowment.pdf (1.09 MB)

2022-5-10 17:56:47 上传

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关键词：影子价格 随机变量 存在性 Optimization maximization

随机禀赋最优投资影子价格的存在性*1,2和杨俊建1,2分别在维恩大学f-ur Mathematik，Oskar Morgenstern Platz 1，A-1090 Wien，澳大利亚数学研究中心，理工学院，f-91128 Palaiseau Cedex，Francespter 2018年12月19日摘要在本文中，我们考虑了在恒定比例交易成本和随机捐赠下基于数值的效用最大化问题。假设代理人不能卖空资产，并且被赋予严格正的或有权益，则存在效用最大化问题的首要优化问题。此外，我们观察到，具有交易成本的原始市场可以被产生相同最优性的无摩擦影子市场所取代。另一方面，我们举了一个例子来说明，在某些情况下，当这些约束放松时，影子价格的存在仍然是有理由的。2010年。91B16；91G10个单词。效用最大化，随机捐赠，交易成本，无卖空约束，影子价格最近，比例交易成本下的市场效用最大化问题受到了许多作者的关注。在这样的市场中，投资者被假定以高于卖出时收到的出价的要价购买证券。比例交易成本的存在使我们能够以无套利的方式考虑半鞅以外模型的投资组合优化，这在经济上是有意义的（参见[27,28]）。在具有对数效用的默顿模型上，比例交易成本下的投资组合优化问题可以追溯到Magill和Constantinides[42]和Constantinides[8]。

在他们的启发性研究中，他们得出结论，最佳方法是将所有资产的当前持有量保持在一个非贸易区，并仅在该区域的边界进行交易。后来，许多作者对这个问题进行了广泛的研究，其中包括塔克萨等人。[47]首先介绍了财富增长率最大化背景下的奇异随机控制工具。戴维斯和诺曼[16]对*通讯作者：易青。lin@polytechnique.eduproblem在[42,8]中，通过求解非线性偏微分方程的自由边界问题来计算边界的位置。之后，Shreve和Soner[46]通过引入粘性溶液扩展了[16]的结果。对于渐近功率增长率的最大化问题，我们还参考了Dumas和Luciano[20]，在可处理的情况下构造了显式解。除了随机控制方法外，这个效用最大化问题也通过凸对偶方法用更一般的模型进行了研究。由Cvitani\'c和Karatzas[9]提出，构造辅助对偶问题的思想被广泛应用于各种情况（例如[31,17,3,4,5,12,15]）。据观察，即使是很小的交易成本也会极大地影响投资者在效用最大化方面的最佳选择（参见[40]）。因此，一个自然产生的问题是，交易成本对最优策略和最大效用的影响是否可以在无摩擦市场中重现；从数学上讲，对于一个给定的效用最大化问题，我们想知道在买入价和卖出价之间是否存在一个半鞅过程，称为影子价格，这样，在这种价格过程中以无摩擦的方式进行交易，在交易成本下会导致同样的最优性。

根据Kallsen和Muhle Karbe[34]，这个问题的答案在有限概率空间中是肯定的。然而，在更一般的情况下，这个问题是难以捉摸的。利用几何布朗运动模型，Kallsen和Muhle Karbe[33]利用随机控制工具考虑了具有对数效用的有限期最优投资和消费问题，并通过求解自由边界问题明确构造了影子价格。在同一个框架中，这个想法后来在[7,29]中被推广，用于电力公司推导影子价格。出于同样的原因，Gerhold等人[23,22]在时间范围变得有限时，构建了对数和长期幂函数的影子价格。[9]的作者用凸对偶方法考虑了一个类似的问题，并证明了如果一个合适的对偶问题的解可以通过一个（局部）鞅的所谓一致价格系统（CPS）来实现，那么最优解的特征是在与该CPS相关的“影子”市场中解一个套期保值问题。Czichowsky等人最近在两个方面澄清和强化了这种“民间传说”：首先，在[12]中观察到，即使在只有效用函数自然规律条件的一般c`adl`ag股价过程框架内，Cvitani`c和Karatzas的结果也成立；第二，在[15]中找到了确保最优对偶过程的局部鞅性质的充分（但不是必要）条件，即S是连续的，且满足“有界风险的无无界概率”（NUP BR）。随后，该条件被[11]中“双向交叉”的较弱条件（TWC）所取代。

值得一提的是，在[12]中，影子价格的概念被推广到了一种三明治形式，它适用于由具有c`adl`ag路径的股票价格过程驱动的市场。后来，Bayraktar和Yu[1]采用了这个想法，以研究一个类似的问题，但具有随机禀赋：只要对偶结果成立，并且假定对偶优化器上有一个有效条件，他们就在三明治意义上构造了影子价格[12]。当效用函数在整条实线上定义时，Czichowsky和Schachermayer[14]证明，只要原始优化器是可实现的，对偶优化器就定义了影子价格。特别是，如果S是指数分数布朗运动，这是可以保证的。此外，我们参考[39]对[14]中的结果进行了随机归纳。Loewenstein[41]没有研究对偶优化器，而是在没有卖空约束的情况下，直接从动态原始值函数的导数构建影子市场。该论点基于约束原始解的存在性，这是[41]提出的假设，但Benedetti等人[2]在将Loewenstein的方法应用于卡巴诺夫的多货币模型的类似问题时证实了这一点。在本文中，我们一方面考虑了在无卖空约束条件下，具有固定比例交易成本和随机捐赠的基于数量的效用最大化问题。与文献[1]相比，我们的方法是直接研究原始问题，而不考虑对偶问题。首先，我们受到[43，第3.3节]的启发，证明了约束原解的存在性。其次，在假设代理人被赋予正随机禀赋而非确定性初始财富的情况下，我们按照[41,2]的思路直接从原始解构造影子价格。

与文献[1]相比，我们的结果旨在证明经典影子价格过程而不是三明治过程的存在性，并且消除了文献[1]中关于随机禀赋的正则性条件。另一方面，我们讨论了当违反约束条件且允许随机捐赠受益时，影子价格的存在性。我们在Black-Scholes框架中提供了一个具有建设性随机性的例子。在这个例子中，影子价格是存在的，可以明确定义。本文的组织结构如下。在第二节中，我们引入了符号，并在具有随机禀赋的比例交易成本下建立了效用最大化问题。第3节给出了我们的主要结果，即无卖空约束下影子价格的存在。接下来，我们在第4节中提供了一个例子，它不属于第3节中研究的框架，但是影子价格可以明确定义。2问题的表述在本节中，我们将简要介绍随机捐赠和交易成本市场中效用最大化问题的基本设置，以及经典意义上的影子价格定义。读者对这些主题的细节更感兴趣，请参考[33,34,2,10,15]。我们考虑一个基于数字的模型：金融市场由两种资产组成，一种债券和一种股票，其中债券B的价格是恒定的，并标准化为B≡ 1.我们用S=（St）0表示≤T≤t基于过滤概率空间的股票价格过程(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）满足右连续性和饱和性的通常假设，其中假设Fis是微不足道的。在这里，T是一个有限的时间范围。在这个等式中，我们表示L(Ohm, F、 P）陆路(Ohm, F、 P）由L.在本文中，我们做出以下假设：假设2.1。

价格过程S=（St）0≤T≤它适应于（英尺）0≤T≤T、 用c\'adl\'ag和严格正路径。此外，英国《金融时报》-= 弗坦德街-= ST.与[15]类似，我们引入股票交易的恒定比例交易成本0<λ<1，这模拟了买卖价差的宽度。代理人必须支付更高的要价才能购买股票，但只能收到更低的出价（1）- λ） 在吃的时候。作为无摩擦情形下鞅测度的对应物，一致价格系统（CPS）在具有交易成本的框架中发挥着非常重要的作用（例如[32,45]）。在本文中，为了建立效用最大化问题，我们采用了一个扩展的概念——λ-超鞅CPS，定义与[2]类似。定义2.2。固定λ>0，价格过程S=（St）0≤T≤t满足假设2.1。λ-上鞅CPS是两个正过程Z=（Zt，Zt）0的耦合≤T≤t考虑两个超级大分子Zand Z，这样szt:=ZtZt∈ [(1 - λ） St，St]，a.s.，（2.1）适用于所有0≤ T≤ T所有λ-上鞅cps的集合用Zλsup表示。我们现在介绍关于超鞅CPS存在性的以下假设：假设2.3。对于一些0<λ<λ，我们有Zλsup6=.备注2.4。我们注意到，在无摩擦理论中，该条件对应于“无无限利润，有界风险”，对投资组合没有卖空约束，见[35]。备注2.5。我们不需要所有的0<λ<λ，我们只需要上面的条件对一些0<λ<λ成立，类似于[45]中的引理3.1。这个条件足以证明可容许终端财富集的凸紧性和L-有界性。在这种交易成本下的市场中，通常采用以下自我融资交易策略的定义，例如[44,45]。定义2.6。固定λ∈ (0, 1).

交易成本λ下的自融资交易策略是一个可预测的R值有限变化过程=（t，t）0≤T≤Tsuch thatZtsd~n0，↑u=Zts（1- λ） SudД1，↓u、 Ztsd~n0，↓u=ZtsSudа1，↑u、 对于所有0≤ s≤ T≤ T，在哪里↑以及↓表示φ的Jordan-Hahn分解。流程φ和φt描述了在时间t时债券的金额和股票的数量∈ [0，T]。假设，除了能够在金融市场上交易外，代理人在终端时间T被赋予正随机捐赠，这是由一个可测量的随机变量描述的。假设2.7。捐赠基金∈ FTI是一个严格正的有限值随机变量，可分解为确定性部分和随机部分，即eT=x+eT，其中x>0和eT≥ 0，a.s.我们假设x是代理人安第斯在T时的初始财富。备注2.8。在金融市场中，ETF可以解释为积极的或有权益，例如期权合同。在本文中，我们将考虑一个与inBenedetti等人[2]类似的效用最大化问题，其中代理人面临无卖空约束，这迫使他同时保持债券金额和股票数量为正。换言之，对于初始财富x，代理人只允许使用定义如下的可接受策略进行交易：定义2.9。交易成本下λ∈ （0,1），如果对于每一个T，一个自我融资策略是允许的，则称之为允许的∈ [0，T]我们有这个≥ 0和ηt≥ 我们用λ（x）表示所有这些策略的集合。此外，我们定义λ（x）：=ng∈ L+G≤ νT，对于某些人（ν，ν）∈ Aλ（x）o.我们假设代理人对终端财富的偏好由效用函数U：（0，∞) → R、 这是严格增加的，严格凹进的，持续可区分的。

此外，函数U满足Inada条件，即U（0）：=limx→0U（x）=∞ 你呢(∞) := 利克斯→∞U（x）=0。以及合理渐近弹性（RAE）的下列条件。假设2.10。效用函数U满足合理的渐近弹性，即AE（U）：=lim supx→∞xU（x）U（x）<1，表示V:R+→ R由v（y）定义的U的凸共轭函数：=supx>0{U（x）- xy}，y>0，这是严格递减的，严格凸的，连续可微且可满足的v（0）=-∞, 五(∞) = 0，V（0）=U(∞), 五(∞) = U（0）。关于财务解释和关于之前假设的更多结果，我们参考[37]和[38]。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设(∞) > 0以简化分析并确定U（x）=-∞ 每当x≤ 0.然后，代理人的问题是，在终端时间T，从其从交易中获得的债券账户和随机捐赠，即u（x；eT）：=supg，最大化预期效用∈Cλ（x）E[U（g+eT）]。（2.2）对于Z∈ Zλsup，定义SZ:=ZZ。根据定义，SZ是一个正半鞅，取值于[（1）]- λ） S，S]。然后，我们可以构造一个无摩擦市场，由一个零利率债券和一个标的资产组成，其价格过程为SZ。根据交易成本下的先前设置，我们采用了以下自我融资交易策略的概念。定义2.11。

在与SZ相关的无摩擦市场中，从（x，0）开始的R值可预测过程e~n：=（e~nt，e~nt）是一种自我融资的交易策略，如果e~n是SZ可积且e~nt+e~ntSZt=x+Zte~nudSZu，0≤ T≤ T.在这里，e k和e k T说明债券的金额和在T时持有的股票数量∈ [0，T]。我们将为带有SZ的无摩擦模型建立一个效用最大化问题。根据（2.2），我们始终假设两项资产都不能做空，因此在所有可接受的策略上，最大化问题都成立，定义如下。定义2.12。让SZ:=ZZ，对于一些Z∈ Zλsup。如果我们有自己的融资策略，那么在SZ驱动的市场中，自我融资策略是可以接受的≥ 0和e~nt≥ 0，a.s.，代表所有0≤ T≤ T我们用AZ（x）表示从（x，0）开始的所有此类可接受交易策略的集合。此外，我们定义了（x）：=如∈ L+如≤ e k T+e k TSZT，对于某些（e k，e k）∈ AZ（x）.引理2.13。在具有交易成本的市场中，交易策略的回报可能由在SZ、Z驱动的可能更有利的无摩擦市场中交易的一些结果决定∈ Zλsup。即fix Z∈ Zλsupand let（а，а）∈ Aλ（x）是任意的，则存在A（e~n，e~n）∈ AZ（x）使得≥ ~ntand e~nt≥ 对于所有0≤ T≤ T证据对于任何（~n，~n）∈ Aλ（x），因为（ν，~n）是一种λ-自我融资交易策略，我们有一种交易策略，即аt+аtSZt=x+Ztdаu+ZtаudSZu+ZtSZudаu=x+Zt（dаu+SZudаu）+ZtаudSZu udSZu≤ x+Zt~nudSZu。我们注意到，本文通篇采用了[13，第7节]中的随机积分概念。然后，在与SZby相关的无摩擦市场中制定一个自我融资的交易策略e k t:=x+Zt k udSZu- ~ntSZt≥ ηt，et:=t，满足（2.3）。显然，Cλ（x） CZ（x），对于任何Z∈ Zλsup。