随机变量最优投资影子价格的存在性

因此，lettinguZ（x；eT）：=supeg∈CZ（x）E[U（eg+eT）]，它跟随着U（x；eT）≤ infZ∈ZλsupuZ（x；eT），这意味着每个无摩擦市场的投资机会比有交易成本的市场更好，至少不会更差。一个有趣的问题是是否存在一个最不受欢迎的BZ∈ Zλsup，使得间隙是闭合的，即不等式变成了等式。如果是这样，相应的价格过程SbZ:=bZbZis称为影子价格。以下是影子价格的定义，类似于[2，定义3.9]。定义2.14。确定初始值x和终端随机捐赠等。我们假设不允许卖空任何一种资产。然后，与somebZ相关的过程sbza:=bZ（x，eT）∈ Zλsup称为影子价格过程ifsupg∈Cλ（x）E[U（g+eT）]=supeg∈CbZ（x）E[U（eg+eT）]3问题的可解性和影子价格的存在性在这一节中，我们将给出我们的主要结果，即（2.2）的可解性和影子价格的存在性。3.1主要理论[34,10,12,15,11]用对偶方法研究了既没有短期销售约束也没有随机捐赠的效用最大化问题的影子价格的存在性。相比之下，我们将按照[2]的直线直接求解（2.2）。首先，我们展示了一个类似于[2，引理4.1]：引理3.1的超复制定理。对于任何一个Z∈ Zλsup，过程Zа+Zа对于任何（а，а）∈ Aλ（x）。证据由于（ν，ν）具有有限的变异性，且（Z，Z）是一个超鞅，我们得到了Ztаt+Ztаt=（Zа+Zа）+Zt（аudZu+аudZu）+Zt（Zudаu+Zudаu）=x+Zt（аudzudаu+Zudаu）。第一个积分定义了一个上乘的分数，这是由于和的正性。第二个积分定义了一个递减过程，即（ν，ν）是λ-自融资，并且取[（1）中的值- λ） 苏，苏]。

因此，过程Z~n+Z~n是一个积极的超级过程。备注3.2。与[45，定理1.4]相比，我们对超级复制定理的基础资产要求较少，因为我们使用的是一组较小的交易策略。此外，我们还得到了凸集Aλ（x）和Cλ（x）的一些性质，如下所示。引理3.3。在假设2.1和2.3下，当φ穿过λ（x）时，总变化Var（~n）和Var（~n）以L为界。证据写入φ=φ0，↑- φ0,↓和~n=~n1，↑- φ1,↓作为递增过程的典型差异。然后，我们可以定义一个策略e k∈ Aλ（x）bye~nt：=νt+λ- λ1 - λφ0,↑t、 ~nt, 0≤ T≤ T、 用引理3.1证明，对于Z∈ Zλsup，λ- λ1 - λEhZT~n0，↑钛≤ E[ZTаT+ZTаT]+λ- λ1 - λEhZT~n0，↑钛≤ x、 受[6，引理3.2]证明的启发，我们通过定义dqdp=gE[g]构造了一个概率测度Q，其中g:=inft∈[0，T]中兴[ZT]>0。那么，我们有λ- λ1 - λEQh~n0，↑钛≤xE[g]E[ZT]。证明的提示与[45，引理3.1]中的提示相同。然后，我们在没有证据的情况下陈述以下引理，并请读者参考[45，定理3.4]。引理3.4。在假设2.1和2.3下，集合Cλ（x）是凸闭且有界inL+。接下来，我们将建立（2.2）的原解的存在唯一性结果。在无摩擦的情况下，没有随机禀赋的类似结果已在[43]中得到证实（同时比较[26]和[2]）。[43]的作者应用了一个技术引理（[43，引理3.16]）来进行矛盾证明，并证明了最大化序列的极限确实解决了效用最大化问题。我们发现假设{fn}n∈N≥ [43，引理3.16]中的0基本上不需要继续论证。因此，我们在附录中重新组织了一个引理，为了完整起见，我们还给出了以下定理的证明。定理3.5。假设2.1、2.3、2.7和2.10成立。

此外，假设u（x；eT）<∞.然后，效用最大化问题（2.2）允许一个独特的解决方案bg∈ Cλ（x）。证据由于U的严格凹性，唯一性是微不足道的。因此，我们只需要展示存在。（i） 因为u（x；eT）<∞, 我们可以找到（2.2）的最大化序列，即u（x；eT）=limn→∞E[U（gn+eT）]。通过传递到凸组合conv（gn，gn+1，…）序列，仍然用gn表示，并应用引理3.4和Koml\'os型定理（例如[18，引理A1.1a]），我们可以假设GNA.s.收敛于bg∈ Cλ（x）。（ii）我们声称（U（bg+eT））+是可积的，因此E[U（bg+eT）]是存在的。在不损失一般性的情况下，我们假设U（1）=0。对于任何g∈ Cλ（x），g+1∈ Cλ（x+1）。很容易验证u在x中仍然是凹函数，因此u（x；eT）<∞ 意味着u（x+1；eT）<∞.为了矛盾起见，我们假设（U（bg+eT））+是不可积的，那么ne[（U（bg+eT））+]<E[（U（bg+1+eT））+]=E[U（bg+1+eT）]≤ u（x+1）<∞,这就是矛盾。（iii）我们现在证明bg是原始优化器。如果不是，则存在一个α∈ (0, ∞] 例如α=u（x；eT）- E[U（bg+eT）]。对于每个n，分别表示fn=U（gn+eT）和f=U（bg+eT）。固定ε>0时，存在anm∈ N、 这样每N≥ m、 u（x；eT）- E[fn]≤ ε. （3.1）由于[37，引理6.3]的AE（U）<1，存在一些γ>1，因此U（x）>γU（x），对于所有x≥ x> 0。注意，对于每个n∈ N和任意M>0，Pfn≥ M≤ P|fn- f|≥M+ Pf+≥M.因此，对于任何δ>0，我们可以选择足够大的M>0和U-1（米）≥ 2X和FINDA m≥ 这对任何人都是如此≥ m、 P[fn≥ M]≤ δ. 由于fm的可积性，For适当地选择了δ，E|fm | 1{fn≥M}≤ ε对任何n都成立≥ m、 从引理5.1中，我们可以得出这样的结论fm{fm≥M}≥ α - ε和E|fm | 1{fm≥M}≤ ε.

（3.2）然后，EUgm+gm+eT= EUgm+gm+eT{fm≥M}+ EUgm+gm+eT{fm<M}.此外，由于gm、GMA和eT的积极性，我们有Ugm+gm+eT{fm≥M}≥γEU（gm+gm+2eT）1{fm≥M}≥γEfm{fm≥M}安第斯山脉Ugm+gm+eT{fm<M}≥Efm{fm<M}+Efm{fm<M}.因此，我们可以从（3.1）和（3.2）中推断出Ugm+gm+eT≥Efm{fm<M}+E[fm]+γ- 1Efm{fm≥M}≥ u（x；eT）+（γ）- 1)α-γ + 2ε.让ε→ 0，我们有Ugm+gm+eT> u（x；eT），这与u（x；eT）的极大值相矛盾。现在我们来考虑与SZ相关的无摩擦市场，例如Z∈ Zλsup。与引理3.1类似，我们对（eа，eа）具有Zeа+Zeа的超马尔可数性质∈AZ（x）。[2，引理4.1]中回顾了随后的引理。然而，为了方便读者，我们在基于num’eraire的案例中证明了这一点。引理3.6。修正Z∈ Zλsup。对于任何（e~n，e~n）而言，Ze~n+Ze~n的过程都是一个积极的超级过程∈ AZ（x）。证据请注意，Ze~n+Ze~n=Ze~n+e~nSZ= Zx+e~noSZ根据无摩擦自融资条件。使用它^o的公式和[24，命题A.1]，我们得到了中兴通讯аt+中兴通讯аt=xZ+（e）-+ e~n-SZ-)oZt+Z-o（e~noSZ）t+e~noSZ，Zt=xZ+（e）-+ e~n-SZ-)oZt+e~no（Z）-o（深圳）t+e kSZ，Zt、 根据无摩擦的自我融资条件[30，I.4.36]得出：（e~n+e~nSZ）=（e~noSZ）=e~n因此，SZ为eа-+ e~n-SZ-= e~n+e~nSZ-. 通过[30，I.4.37，定义I.4.45]，我们获得了中兴通讯аt+中兴通讯аt=xZ+e~noZt+e kSZ-oZ+Z-oSZ+[SZ，Z]t=xZ+e~noZt+e ko（SZZ）t=xZ+e~noZt+e~noZt、 这是一个正的局部上鞅，因此是一个上鞅。然后，很容易推断出每个Z∈ Zλsupand eg∈ CZ（x），E[U（eg+eT）]≤ E[V（ZT）+ZT（eg+eT）]≤ E[V（ZT）]+E[zet]+Zx。（3.3）因此，为了证明影子价格的存在，必须有以下引理，其证明推迟到下一小节。引理3.7。假设2.1、2.3、2.7和2.10成立。

存在abZ∈ Zλsup，如（i）bZT=U（bg+eT）；（ii）E[bZTbg]=bZx。定理3.8。λ-超鞅CPSbZ∈ Zλ引理3.7（i）-（ii）定义影子价格SbZ:=bZbZ。证据以SbZ相关的无摩擦市场为例。通过引理3.7，我们得到了Ubz（x；eT）≥ u（x；eT）=E[u（bg+eT）]=E[V（bZT）+bZT（bg+eT）]=E[V（bZT）]+E[bzet]+bZx≥ ubZ（x；eT），其中最后一个不等式来自（3.3）。上述不等式意味着ubZ（x；eT）=u（x；eT），这证明了SBZI是问题（2.2）的影子价格。备注3.9。由于U的严格凹性，bg是无摩擦问题ubZ（x；eT）在CbZ（x）中的唯一解。此外，在有交易成本的市场中达到最大值的交易策略b~n，在与影子价格SBZ相关的无摩擦策略中也是如此。因此，在交易成本λ满足{d bt>0}的情况下，S的最优交易策略（b，b） {SbZt=St}，{db~nt<0} {SbZt=（1）- λ） St}，对于所有0≤ T≤ T备注3.10。在我们的例子中，影子价格不仅由随机禀赋决定，还由其分解决定（见假设2.7）。随机禀赋的分解以及无卖空约束可以解释为代理人的交易规则由其控制者创建。准确地说，如果代理人最终将收到的随机捐赠被其控制者分解为x+ETS，那么这意味着代理人可以在债券市场上最多花费x进行股票交易。因此，不同的分解方式意味着债券卖空的不同限制，这导致不同的最大效用和影子价格。3.2引理3.7的证明在本小节中，我们将按照[2，第814-816页]证明引理3.7。因此，我们绘制草图只是为了展示它在基于数字的环境中是如何发展的，以及正随机禀赋是如何工作的。

证据分为几个阶段。首先，与[2，引理4.4]类似，我们有以下动态规划原理（另见[21，定理1.17]），这可以用基于num’eraire的模型直接证明。提案3.11。定义（φs，φs）：=ess sup（ψ，ψ）∈Aλs，T（~ns，~ns）EU（ψT+eT）财政司司长,式中，Aλs，T（~ns，~ns）是所有可接受的λ-自我融资交易策略的集合，符合∈ [0，s]中的λ（x）。然后，这个过程美国（英国、英国）0≤s≤这是一个鞅，即Us（b k s，b k s）=eUt（bаt，bаt）财政司司长, a、 对于所有最佳交易策略，b~n达到bg。证据在不丧失一般性的情况下，需要验证以下内容：U（ψT+eT）财政司司长≤ EU（b k T+eT）财政司司长, （3.4）对于所有（ψ，ψ）∈ Aλs，T（bаs，bаs）。为了得到一个矛盾，我们假设（3.4）不是真的，即存在一个（ψ，ψ）∈Aλs，T（b k s，b k s）和A组 Ohm 当P（A）>0定义asA时：=E[U（ψT+eT）|Fs]>E[U（b|T+eT）|Fs]∈ 财政司司长。（3.5）然后定义（ψ，ψ）1A+（bа，bа）1Ac=：（η，η）∈ Aλs，T（bаs，bаs）。我们有U（ηT+eT）> EU（b k T+eT）= u（x；eT），这与b的最大值相矛盾。因此，根据我们（ψs，νs）和（3.4）的定义，我们Obatinous（b k s，b k s）=ess sup（ψ，ψ）∈Aλs，T（bаs，bаs）EU（ψT+eT）财政司司长= EU（b k T+eT）财政司司长= EEU（b k T+eT）英尺财政司司长= EUt（bаt，bаt）财政司司长.最后，条件期望的tower属性会产生期望的结果。下一步的步骤与[2]完全相同，即我们应该首先构造一个pairbZ=（bZt，bZt）0≤T≤T、 然后验证BZBZ可以确定影子价格。动态中的额外积极因素不会改变以下结果。提案3.12。

以下流程已明确定义：eZt:=limε和0εUt（bаt+ε，bаt）- Ut（bаt，bаt）,eZt:=limε和0εUt（bаt，bаt+ε）- Ut（bаt，bаt）,（3.6）对于0≤ t<t，和（eZT:=U（b k t+eT），eZT:=U（b k t+eT）（1）- λ） （3.7）此外，定义bZit:=lims&ts∈QeZis，0≤ t<t；bZit:=eZiT，t=t.（3.8）那么，过程bz是一个c`adl`ag超鞅，而且，对于所有0≤ T≤ 我们有- λ） 圣≤bZtbZt≤ 因此，bZ是一个λ-超鞅CPS。证据的草图。首先，eZ的定义很明确，因为（3.6）的右侧对于U的凹度和U的定义是单调的U（ψT+eT）英尺(ψ, ψ) ∈ Aλt，t（b~nt+εei）ois向上，因此存在（ψn）n序列∈N=（ψN，0，ψN，1）N∈N Aλt，t（b~nt+εei）使得ut（b~nt+εei）=%- 画→∞埃胡ψn，0T+eTFti。然后，通过进行与[2，命题4.5]的证明类似的程序，我们可以验证ofeZ的超马丁性质，它不一定是c`adl`ag。回想一下，u（x；eT）在R+上是有限值且凹的，我们得到了它们：=eZ=limε&0u（x+ε；eT）- u（x；eT）ε取x>0的有限值。因此，根据[36，提案1.3.14（iii）]，（3.8）是一个定义良好的c`adl`ag超级艺术家。尤其是bZ≤简单另一方面，（3.9）的证明方式与[41]中的（57）相同。我们完成了证明。引理3.7的证明。它仍然需要引理3.7中的证明（2）。自从bZ，bZ∈ Zλsup，我们有bZTbg≤bZx。（3.10）这仍然需要证明不平等性的逆转。对于α<1，我们注意到u（αx；eT）≥ E[U（αbg+eT）]。通过u的凹度，我们得到了z（x）- αx）≤ u（x；eT）- u（αx；eT）≤ E[U（bg+eT）]- E[U（αbg+eT）]。因此，它源于U thateZx的严格凹性和连续差异性≤ EU（bg+eT）- U（αbg+eT）1- α≤ EU（αbg+eT）bg. （3.11）让α%1，单调收敛yieldsbZx≤eZx≤ EU（bg+eT）bg≤ EbZTbg.

（3.12）我们通过比较（3.10）和（3.12）来完成证明。备注3.13。我们在这里看到，随机禀赋的非负性很重要。这确保了αbg+eT在0<α<1时的严格阳性，因此（3.11）中的E[U（αbg+eT）bg]得到了很好的定义。备注3.14。为了简单起见，我们在本文中研究了基于num’eraire的双资产模型，然而，该论点可以适应[2]中的多货币设置，而无需进行实质性的更改。注意，本文和[2]都涉及一个单变量效用函数。4.例子：当随机禀赋变为负时，我们讨论了在每个资产都没有卖空约束的情况下，效用最大化问题的影子价格过程的存在性。实际上，随机禀赋的正约束是一个充分条件。然而，当随机禀赋变为负时，如果我们保持我们的设定，影子价格的存在是不清楚的。这将是我们未来研究的一个有趣问题。我们需要注意的是，在对投资组合的可采性有不同定义的情况下，夹层影子价格的存在在[1]中得到了证明，其中随机禀赋可能为负。在本节中，我们提供了一个非平凡且启发性的例子，表明即使随机禀赋变为负，在交易成本下，市场中效用最大化问题也可能存在影子价格。特别是，我们在考虑交易成本的情况下讨论了最大化交易策略。请注意，我们示例中构造的随机禀赋与这种最大交易策略有关。我们考虑具有有限时间范围的Black-Scholes模型。

假设市场由一个零利率的储蓄账户和一个价格动态的股票组成=经验Bt+t, 0≤ T≤ T/2；ST/2，T/2<T≤ T、 where（Bt）T≥0是过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。现在Fix交易成本水平λ∈ (0, 1). 我们假设一个代理人在时间0时被赋予初始资本x=1和随机捐赠eT=-ζ(1 - λ） ST/2at终端时间T，其中ζ是一个FT可测量（0，1）值的均匀分布随机变量，与FT/2无关。那么，我们有下面的命题。提议4.1。买卖策略b k t，b k t:=（1,0），t=0；（0,1），0<t<t/2；(1 - λ） ST/2，0, T/2≤ T≤ T、 （4.1）解决了效用最大化问题（2.2）。在继续证明这一命题之前，我们首先介绍了在这个有交易成本的市场中最大交易策略的概念。请注意，Delbaen和Schachermayer在[18]中提出了一个类似的无摩擦市场概念，用于考虑asuperreplication问题。定义4.2。元素∈ Cλ（1）被称为最大值，如果是φT∈ 满足φT的Cλ（1）≥ ηT，a.s.，我们有φT=ηT，a.s.一个交易策略（η，ν）在λ（1）中被称为最大值，如果它与（ηT，0）相关联，其中η是Cλ（1）中的最大元素。备注4.3。Cλ（1）中最大元素的存在性可以通过反导推导出来，前提是Cλ（1）在陆封闭的w.r.t.收敛概率中有界（参见Schachermayer[45]）。事实上，（4.1）定义的交易策略在λ（1）中是最大的。提案4.4。随机变量（1-λ） ST/2是Cλ（1）中的一个极大元。因此，由（4.1）定义的交易策略（bа，bа）在λ（1）中是最大的。在证明上述命题之前，我们首先利用（4.1）的极大值给出命题4.1的证明。命题4.1的证明。

考虑一个元素φT∈ Cλ（1）使得φT6=b~nT=（1- λ） ST/2。从（bа，bа）的极大值，我们得到了PφT<bφT> 因此，存在k∈ N、 就这样φT<1.-K(1 - λ） ST/2> 0.注意φT<1.-K(1 - λ） ST/2∈ FT/2和ζ与FT/2无关。那么，PφT<1.-K(1 - λ） ST/2和1- ζ<k> 这意味着P[φT+eT<0]>0。因此，E[U（φT+eT）]=-∞.另一方面，通过ζ的定义，我们得到了b~nT+eT=（1）- ζ)(1 - λ） ST/2>0，也就是说，u（1；eT）=E[u（b k T+eT）]>-∞. 证据已经完成。备注4.5。即使没有卖空限制，（bа，bа）仍然是解决问题（2.2）的唯一策略[0，T/2]。事实上，我们将在下一小节中证明（bа，bа）是[12,15]中介绍的更大空间中的最大交易策略（仍由aλ（1）表示）。接下来，我们将在下面的推论中构造一个影子价格。很明显，在我们的情况下，阴影的价格并不是唯一的。推论4.6。工程师：=S、 t=0；经验英国电信++2日志（1）-λ） TT, 0<t<t/2；(1 - λ） ST/2，T/2≤ T≤ 然后，过程是效用最大化问题（2.2）的影子价格。证据它源于对“即”的定义∈ [(1 - λ） S，S]。显然，与买入-持有-卖出策略相关的财富过程并不完全正确。因此，我们可以找到一个等价的鞅测度Q∈ Me（eS），在此条件下，财富过程是一致可积鞅。根据[19，推论4.6]，b k T=CeS（1）中的最大元素，其中CeS（1）：=neXT=1+HoeSTH是可接受的。与命题4.1的证明类似，我们可以看到，b~nT=Est解决了无摩擦市场中的效用最大化问题ueS（1；eT），而ueS（1；eT）=supeXT∈CeS（1）EhU外线+外线i=EhU美国东部时间- ζ(1 - λ） eSTi=EU(1 - ζ)(1 - λ） 圣= u（1；eT），这意味着ES是理想的影子价格。我们现在证明（4.1）定义了λ（1）中的最大交易策略，即命题4。4.