解开交易不变性假说

我们还检查了这些结果在较低频率下保持不变，尤其是在大鼠每日时间尺度τ=6小时时。图5显示了I的平均值（使用τ=5分钟计算）以及300只股票的完整累积概率分布的尾部指数u，按从左到右的刻度排列。股票I的典型值平均比期货小一个数量级，也就是说，单个股票的“赌注大小”以美元计比期货小，这并不奇怪。主要情节揭示了一个显著的特点：在较大的蜱虫区出现了两个不同的分支。较高的分支呈现一个有趣的U形，与观察到的期货合约类似，而较低的分支与平均价差的近似线性依赖性一致。值得注意的是，这两个分支机构与在NYSE（上分支机构）和NASDAQ（下分支机构）平台上交易的股票相对应。为了更好的可读性，纳斯达克股票用交叉符号表示，而纽约证券交易所股票用圆圈表示。事实上，有几点可以解释这种差异——尽管我们对这种影响的理解只是部分。例如，纳斯达克交易中不可忽略的一部分发生在价差内（隐藏交易），这一部分自然会影响大型股票的动态，并使小型股票保持不变。众所周知，纳斯达克的费用/回扣略高于纽约证券交易所。

我们注意到，主要的区别实际上在于交易规模，对于大型股票，纳斯达克的交易规模似乎比纽约证券交易所的平均规模小（在某种意义上，可以说纳斯达克的大型股票具有小型交易行为，这与在交易范围内进行交易的可能性一致）。事实上，后一点表明，在寻求一个普遍的市场不变量时，平均贸易规模也应该考虑在内。非常值得注意的是，当hIi与平均交易成本C=hSQi作图时，这两个分支结构几乎消失了，此外还揭示了大致的线性依赖关系（见左上插图和下面最后一节的定量解释）。此外，平均重标不变量等于0.86±0.54，其中不确定性反映了均方根横截面离散度，现在与期货的相应值（0.30±0.09，见图3）具有相同的顺序。与期货合约的情况一样，I的分布具有幂律尾部，尾部指数在u左右≈ 4，但没有特别的蜱虫依赖性。十二种随机选择的股票的u值可在表1中找到。二、3.理论分析我们现在转向对上述结果的理论分析，目的是更好地理解3/2标度定律，无论是在期货合约上还是在单只股票上观察到的。在本节的大部分内容中，我们将交易活动重新定义为fw=Vσ，没有与我们想要表达的观点无关的价格。

价格的作用将在下一节讨论。我们首先提出一个非常简单的论点，建议将交易活动fw的N依赖性分解为两部分，一部分来自σ的N依赖性，另一部分来自V的N依赖性。这种分解揭示了一个更微妙的画面，其中σ和V都没有表现出天真的预期，但两者的乘积确实约为asN3/2。这一节的大部分内容都是关于期货的，对于期货来说，这个故事出人意料地复杂，而股票的表现则更为琐碎，并在最后讨论。天真的论证如果假设存在明确的平均交易频率φ（定义为单位时间内的交易数量）和明确的平均交易规模Q，那么在时间τ之后，人们期望以下两种关系：N=φ×τ；V=Q×N.（3）由于（对数）价格接近于随机游动，因此也应该有：σ=√τ :=√φ√N、 （4）式中，是一个常数，根据参考文献[13]，它与排列S成比例。因此，fW=Vσ=Q√φN3/2∝ QSN3/2。（5） 这似乎充分解释了3/2比例定律，这将是一个几乎微不足道的观察结果。尽管这确实是个股票的正确机制，但期货合约揭示了一个更加复杂的故事，至少对于大刻度和小时间间隔τ而言——更准确地说，当标度上的波动率τ比刻度大小s小时。更复杂的图首先独立分析上述两个标度定律（σ）~√N、 五~ N） 在我们12个未来合同的池中。我们首先关注τ=5分钟垃圾箱，这是高频和噪声之间的一种良好权衡。图6（A）和（B）的插图显示了通过hσ/N ibinvs的功率定律获得的指数。hNibin（所谓的特征图）和hQibinvs。HNIB。

从这些图表中可以看出，小股票期货确实与预期的σ一致~√N和V~ N行为。对于大盘价期货，人们更倾向于选择σ~ Nβ和v~ Nγ，β<1/2和γ>1，表明（i）asub不同的价格动态和（ii）有效的平均贸易规模随着N的增加而增加。然而，相当令人困惑的事实是，这两个指数似乎合谋β+γ≈ 3/2，这样缩放fw~ 无论勾号大小，N3/2索引保持不变。大勾号合约的延迟扩散大勾号合约的次扩散行为实际上在短期内是预期的，因为持续的波动。6.12份高频期货合约的数据（5分钟仓位）。（A） 通过公式（6）给出的σ/N ibinagainst hN ibinas获得的重标特征图，A=0.5。（B） 根据hNibin/N的函数，通过拟合等式（7）得到的重标平均交易规模，其中ν=0.54。（C）根据（a）和（B）得到的Hibin/i/N重标图，与等式（8）一致。N、σ和Qare的值在表中报告。三、 图（A）和图（B）的插图分别显示了从Hσ/N IB和hQibinagainst HNIB的线性回归中获得的斜率，分别适用于手头的12份期货合约。当τ很小时（而不是通常的情况），被约束为取整数值[B（τ）]=n×s（其中n是一个整数，s是刻度大小）的dom walk B（τ）很容易显示为τ1/4√τ行为）。此外，当滴答声较大时，人们预计价格会受到大量微观结构高频噪声的影响。解释这两种效应的一个简单方法是假设以下效应微分定律：[23]σ=σ“A+NN+NN#，（6）其中a代表高频噪声，Nis代表交易的特征数量，因此通常的随机游走行为预计为N N

人们期望N=N完全对应于一个滴答声，因此σ应该是s阶，相应地，是一个统一阶（因为微观结构噪声的数量应该由滴答声大小设置）。参数和σ应与每个合同的数据相匹配。我们将在下文中看到，这些预期确实得到了数据的证实（见表三）。请注意，对于大蜱虫和小交易量，有N 1和非常宽的区域，其中异常亚扩散1/4发生。在第1条的另一个限制中，这种差别几乎立即达到。波动率和成交量的主曲线现在，如图6（A）所示，所有期货合约的签名图可以在等式（6）给出的唯一主曲线上进行令人信服的重新标度，适当选择σ和n的值，并在选项卡中报告。三、 我们为所有合同确定了a=0.5，这与综合考虑未来的整体收益率一致。正如预期的那样，σ确实是刻度大小的顺序。现在我们来看看有效贸易规模Q=V/N，它可以通过以下公式在唯一的主曲线上类似地重新缩放——见图6（B）：Q=Q“1”+NN-ν#-1、（7）如果合同的价值不确定，则逐个合同，以重新调整签名地块的比例为准。唯一的自由参数是Q（见表三），以及指数ν≈ 0.54，由来自所有未来数据的聚合数据的总体误差函数最小化确定。请注意，Qi是每笔交易平均交易量的渐近值（对于大N）。图7显示了Qagainst在bid/ask Vbest=（Vbid+Vask）/2时的平均交易量。

如预期的那样Q~ Vbest适用于小型股票，但对于大型股票，其增长呈次线性，其中交易仅代表可用交易量的较小部分。与3/2定律的偏差我们已经表明，贸易规模的简单差异和原始相加性的偏差可以合理化图。7.将公式（7）与数据拟合得到的Q曲线图，作为12份期货合约在买入/卖出时的平均交易量的函数（见表三）。通过两个更复杂的比例定律，方程。（6） 和（7），得出两条通用主曲线。将这两个定律结合起来，让n=n/Nand I=Qσ/√N、 允许一个人写：fWN3/2=~I=I一-1+n-1/2+ 11/21+n-ν. （8） 方程（8）提供了上述观测的定量统一图，即β+γ≈ 3/2，无论大小。注意，对于N N、 ~I→ I（因此I可以被视为N的渐近交易不变量），而对于N N、 ~I→ Ia nν-当ν≈ 1/2. 因此，我们的标度分析表明fw N-3/2实际上具有残余氮依赖性。图6（C）显示了hIibin/IgainstHnibin/N的曲线图，显示了数据可以在一条主曲线上重新缩放，如公式（8）所示，并根据N.时间重新校准q指数化了一个小但显著的变化。（6） 描述了小N的次微分制度和largeN的纯微分制度之间的交叉，并根据不同的合同对同一个N的大小τ=5分钟进行了校准。如果我们的推理是正确的，那么在关注给定的合同但让τ发生变化时，同样的重新缩放应该保持不变，以使N/N自身增加的方式。这一假设确实与所有期货合约的数据一致。为了明确起见，我们只显示SPMINI合同的数据，但其他合同的行为类似。

我们考虑了τ=1分钟、5分钟、10分钟、25分钟、1小时和2小时，并设置为前一段中获得的5分钟垃圾箱的值。图8显示了与图6类似的曲线图，但针对不同采样频率的SPMINI合同。正如我们所见，我们的扩展标度假设允许我们解释给定τ和跨时间间隔的变量交叉契约。当N变得比N大时，σ（N）和V（N）的标度指数确实收敛到它们的自然值（1/2和1）。（6） （7）所有τ都保持不变，这解释了为什么I/I与τ的关系温和，如图所示。上面的3也进行了演示。图8。图与图6类似，仅适用于不同采样频率下的SPMini期货合约：τ=1分钟、5分钟、10分钟、25分钟、1小时和2小时仓。将Nhasbeen的值设置为在5分钟垃圾箱上测量的值。σ和Qare的值保持自由，但发现大致恒定的交叉采样频率（见表四）。I随τ（底部图）的轻微增加应与图3所示的结果进行比较。单只股票的朴素比例我们现在测试朴素比例σ~√N和V~ Nfτ=5分钟，通过对300只股票的每只股票的对数σ和对数Q与对数N进行回归。根据上面介绍的符号，我们发现这些回归的斜率β和γ对蜱虫大小没有显著的系统依赖性。这两个指数的横截面测定得出β=0.51±0.06和γ=1.04±0.07，其中不确定度再次反映了均方根横截面离散度。在每日时间尺度上，β=0.54±0.10和γ=1.02±0.12相当。

因此，对于所有时间尺度τ≥ 5分钟后，我们可以假设所有股票的自然渐近标度都成立，这很容易导致3/2定律。然而，令人惊讶的是，与σ的偏差~√N、 对期货的观察很明显，但对股票似乎并不存在。为了理解这种差异，我们在图9中展示了两小时最大滴答未来（TBOND）和我们最大滴答库存（Applied Materials Inc，见表二）的散点图σ/N vs.N。黑色线条表示连续的原木间隔箱子的平均值。阿松可以看到，虽然未来黑线的平均斜率与上文讨论的次级差异行为一致，但股票的情况并非如此，因为在发现大多数点的地区，股票的平均斜率更大。这种影响实际上可以归因于期货在三个不同的时区进行交易，因此，交易缓慢的5分钟仓位（即N比N小）在数据中的代表性远高于股票。后者确实只在美国常规交易时段活跃，而在美国常规交易时段，非常活跃的时段要难得多[24]。因此，预计期货的回归斜率β对次级效应更为敏感。此外，单个股票的波动性是一个因素2- 4小于大指数期货的波动性，这意味着对于相同的相对指数大小，离散化效应预计会更小。从这个意义上说，大盘期货比大盘股票有一个“大盘”！4.价格、价差和交易不变量的新定义如图3和图5左上角插图所示，无论是期货还是股票，C=hSQi的数量I/C在资产中似乎比I本身更普遍。

微观结构数量hSQi，其中S和Q分别表示价差（单位：美元/股）和交易规模（单位：股），对应于平均交易成本。事实上，有一个直接的因素支持讨论中应该包括价差。事实上，这一理论的提出是错误的。9.签名散点图，用于（A）我们最大的tick股票（Applied Materials Inc，见表二）和（B）我们最大的tickfuture（TBOND），用所有5分钟的bin数据计算。黑线表示连续日志空间数据的平均值，色码表示数据的密度。该图显示，与Wyart等人[13]中的Applied Materials Inc.相比，债券的离散化影响要大得多。基于市场制造商的零边际利润，另见[25]，Wyart等人预测，对于小型合同，σ（N）=cS√N、 其中S是顺序统一的传播常数和数值常数。我们发现，数据非常准确地遵循了这种预测，见参考文献[13]。这些观察结果自然会导致对交易不变量的定义略有修正，这具有导致单位数量减少的额外优点，与Ko的定义不同，后者的不变量有美元单位。因此，我们的建议受式（5）的启发，考虑数量I，定义为：I=P VσCN3/2，C=hSQi（9），其中价格和价差均以每股印度群岛表示，C是平均价差成本，这实际上是在凯尔和合著者提出的原始交易变量的基础上接受的。数量I在合同中的分散程度明显低于I本身。实际上，我对个人股票和期货都持一致意见，考虑到这些资产类别之间的巨大差异，这一点非常显著。

在任何情况下，我们发现，从我们现在讨论的意义上讲，将一个没有单位的实体定义为一个真正的市场变量或准不变的合理候选者，会更有说服力。5.结论让我们总结一下我们在这项工作中取得的成果：o在我们看来，最重要的结果是3/2law，表明市场中的风险量（即价格乘以交易量乘以波动率）与交易数量的3/2幂相似。我们已经证明，这非常准确地适用于所有12个期货合约和300只股票，以及所有时间标度τ，从而大大扩展了Andersen等人[1]在E-mini标准普尔期货上获得的结果第二个结果是，Kyle和Obizhaeva提出的交易不变量i=W/N3/2对于不同的合同，尤其是期货和单一股票之间的合同，实际上是相当不同的。此外，这个数量有美元单位，这使得不变性属性值得怀疑。基于维度、理论和经验论证的结合，我们提出了一个更自然的候选者应该是I=I/C，其中C是交易的平均（差价）成本。事实上，这种调整符合凯尔和奥比扎耶娃的直觉，即我应该与“打赌”的成本有关。I对蜱虫大小的微弱剩余依赖性是真实的，还是来自一些虚假的偏见，留给未来的研究第三，我们已经公布了两条关于波动率σ和成交量Vas的显著主曲线，这两条主曲线是N的函数，适用于大成交量期货合约。