保证最低支取的可变年金估值

数值试验表明，所提出的HQC方法的精度至少与典型的ADI有限差分模式兼容，但它更稳健，速度更快。对于动态的drawal GMWB定价，使用新算法我们得到了一些有趣的结果，我们认为这些结果是文献中新发现的。当潜在风险资产与利率之间的相关性为正时，GMWB价格或等效于随机利率下的费用明显高于确定性利率的情况。在特定的测试问题中，当ρ=0.3时，随机利率情况下的费用比确定性情况下的费用高约40%。当相关性为负时，差异仍然显著，但远小于正相关情况下的差异。当相关系数为负值时，随机利率情况下的费用比确定性情况下的费用高约20%-0.3. 另一方面，静态取款定价的情况存在显著差异：在负相关情况下，随机和确定性设置之间的GMWB价格和费用差异几乎可以忽略不计。在本文中，我们重点讨论了一个非常基本的GMWB结构的定价。然而，所提出的算法可以很容易地适用于定价其他VA保证和解决类似的随机控制问题，其中两个状态变量可能受到控制的影响。

用单一的潜在风险和随机利率为亚洲、巴西和其他金融衍生品定价的应用非常简单。此外，应该可以将算法扩展到以下情况：基本的二元变换密度在闭合形式b中未知，但其矩已知，类似于inLuo和Shevchenko（2014）针对一维问题开发的算法；这是未来研究的主题。8确认该研究得到了CSIRO莫纳什退休金研究集群的支持，该集群由CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、西澳大利亚大学、华威大学和退休系统利益相关者合作，旨在为所有人带来更好的结果。这项研究也得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（项目编号：DP160103489）的部分支持。S（t）、r（t）和Y（t）=Rtr（u）的联合分布考虑了S（t）和r（t）的概率测度Q和相应的随机过程由（1）给出，以及通过Radon-Nikodym导数EZT=deQdQ得到的新概率测度EQFt=M（0）M（t）P（t，t）P（0，t），t∈ [0，T]。（30）这里，M（t）=eRtr（τ）dτ是货币市场账户，P（t，t）=EQ[e-RTtr（τ）dτ]是T到期债券。特别是，很容易看出ZT>0且EQ[ZT]=1，这种测量的变化导致任意函数f（S（T），r（T））EQhe的以下公式-RTr（u）duf（S（T），r（T））i=P（0，T）EeQ[f（S（T），r（T）]，假设这些期望存在。可以说，我们将货币市场账户M（t）的num’eraire改为t到期债券P（t，t）。

利用It^o的公式，可以从债券价格P（t，t）到bedZt=φ（t）ZtdB，φ（t）=-σrBt，T，其中Bt，T=（1- E-κ（T-t） ）/κ，而Girsanov定理给出了对维纳过程B（t）=φ（t）dt+deB（t）的相应变换。因此，S（t）和r（t）的过程为t提供了新的测量方法∈ [0，T]aredS（T）/S（T）=（r（T）+σSρφ（T））dt+σSρdeB（t）+p1- ρdeB（t）,dr（t）=κeθ（t）- r（t）dt+σrdeB（t）；eθ（t）=θ+σrκφ（t）（31），具有独立于eb（t）和b（t）的维纳过程。在这一节中，我们推导了给定S（0）和r（0）在新的概率测度Eq下LNS（t）和r（t）的联合正态分布。我们还推导了债券价格、欧洲香草价格公式，以及ln S（t）、r（t）和Y（t）=Rtr（u）du的3d联合正态分布，条件是S（0）和r（0）在测量Q下。最后一个公式有助于验证测试，以模拟和计算合同支付，无时间离散误差。这些公式中的一些可以在文献中找到，例如参见（凯恩斯，2004，附录B1和第4.5节），了解瓦西塞克模型下的债券价格和（r（t），Y（t））分布，但为了完整性和符号一致性，这里给出了这些公式。下面导出的均值和协方差公式可用于模拟给定的（S（tn），r（tn-1） ，r（tn-1)). 一个人只需要设置t→ tn- tn-1，T→ T- tn-1和r（t）→ r（tn）-1） ，S（0）→ S（tn）-1） 在这些公式中。

获得计算（tn）上的期望值（15）所需的均值和协方差公式（19）-1，tn）必须设置t=t→ tn-tn-1减去α×（tn-tn-1） 从lns（tn）的平均值得到lnw（tn）的平均值。A.1 r（t）的分布给定r（0）的利率r（t）的解，其过程在等式（16）下，isr（t）=r（0）e-κt+e-κtκZteθ（τ）eκτdτ+σre-κtZteκτdeB（τ）（32），可以通过表示Ht=RteκτdeB（τ），r（t）：=g（t，Ht）直接检查，然后使用It^o公式计算dr（t）=dg（t，Ht）以获得（16）中的过程dr（t）。因此，以r（0）为条件的r（t）来自正态分布，其ur（t）：=平均值（r（t））=r（0）e-κt+e-κtκZteθ（τ）eκτdτ，var（r（t））=σr2κ1.- E-2κt.（33）在时间常数θ的情况下，简单积分y ieldsur（t）=r（0）e-κt+θ1.- E-κt+σr2κ(1 - E-2κt）e-κ（T-（t）- 2(1 - E-κt）.对于测量值Q下的风险中性过程（1），应将上述ur（t）公式中带有因子σrin的最后一项设置为零，且无需更改方差。A.2 Y（t）=Rtr（u）的分布使用r（t）的解（32），在概率测量下直接计算Y（t）=Ztr（τ）dτ=Ztur（τ）dτ+σrZte-κτdτZτeκsdeB（s）ds=Ztur（τ）dτ+σrZtdeB（s）Ztse-κ(τ -s） dτ=Ztur（τ）dτ+σrκZt（1- E-κ（t-s） deB（s），（34），其中通过改变积分顺序简化了涉及eb（t）的二维积分。