保证最低支取的可变年金估值

生成一个辅助有限网格0=A<A<···<AJ=W（0），以跟踪担保账户A不同值的解决方案。将财富账户离散化W空间asW，W，Wm和利率r空间为r，r，rK.o第二步。t=t时-N、 初始化Qt-N（W，r，A）在到期时具有给定的连续支付功能（7），这是以下整合步骤所要求的。o第三步。对于t=t+N-1.计算每个n节点（Wm、rk、Aj）的积分（17），并使用W中的一维三次样条插值来获得连续函数Qt+n-1（W，rk，Aj）是应用跳跃条件的下一步所需的第四步。对所有可能的取款应用跳转条件（13）-1并找到取款最大化Qt-N-1（Wm，rk，Aj）表示所有网格点j=1，J、 k=0，K和m=0，M.使用二维三次样条插值获得连续函数Qt-N-1（W、r、Aj）是下一步整合所需的第五步。对t=tN重复步骤3和步骤4-2，田纳西州-3.t、 o第6步。评估积分（17）f与t的向后时间步长-对于单点（W（0）、r（0）、A（0）），我们将财富空间域[Wmin，Wmax]离散为Wmin=W<W<·Wmax=Wmax，其中Wmin和Wmax分别为上下边界，以获得t=t时合同价格的解Q（W（0）、r（0）、A（0））。类似地，利率空间被离散为rmin=r<r<…<rK=rmax，其中Rmin和rmax是利率的界限。对于GMWB的定价，由于每个提款日W的有限减少，我们必须考虑W为零的可能性，因此下限Wmin=0。上界设置得离时间零点W（0）的初始值足够远。

一般来说，对于W和r维，上下界的正确选择取决于附录A中导出的Lns（T）和r（T）的联合分布，以确保随机过程超出边界的概率无关紧要。其思想是在每个时间步（t+n）的所有网格点上找到合同值-1，t-n） 到期日（17），从到期日开始t=t-N.在每个时间步，我们通过高精度数值求积计算每个网格点的积分（17）。在新的概率测度eq下，提取状态之间的lnw（t）和dr（t）的过程是由（4）和（16）给出的简单高斯过程，即（lnw（t）的条件联合密度-n） ，r（tn））给定ln W（t+n-1） =x*, r（tn）-1） =r*是一个二元正态密度函数，如附录a所示，其均值、方差和协方差由ur（r）给出*) : = 平均值（r（tn））=r*E-κn+θ -σrκbn+σr2κan；（19a）τr:=var（r（tn））=σr2κan；（19b）ux（x*, R*) : = 平均值（ln W（t）-n） ）=x*+bnκR*+bnσr2κ+θ -σrκN-bnκ（19c）-ρσSσrκ（κN- bn）-α+σSN（19d）τx:=var（ln W（t-n） ）=σSn+σr2κ（2κN-4bn+an）+2ρσSσrκ（κN- bn）；（19e）ρxr:=cov（ln W（t-n） ，r（tn））τxτr，cov（ln W（t-n） ，r（tn））=ρσSσrbnκ+σr2κ（2bn-a），（19f），其中bn=1- E-κn、 安=1- E-2κnandn=tn- tn-1.为了简单起见，这里我们省略了m均值和协方差的时间步长指数n。因此Y的密度=（ln W（t-n）- ux）/τx和Y=（r（tn）- ur）/τr是标准的双变量正态分布，具有零均值、单位方差和相关系数ρxr。如果我们应用变量sz=Yp2（1）的变化- ρxr），Z=Yp2（1- ρxr）（20）积分（17）变为ωt+n-1（W，r，A）=P（tn-1，tn）p1- ρxrπZ+∞-∞Z+∞-∞E-Z-Z-2ρxrzzQ（Z）t-n（z，z，A）dzdz（21），其形式适合使用高斯-埃尔米特求积进行积分。

这里，Q（Z）t（·）表示sqt（·）是从W和r变换而来的Zand-Zafter变换的f函数。对于任意一维函数f（x），Gauss-Hermite求积应用于asZ+∞-∞E-xf（x）dx≈qXi=1λ（q）如果（ξ（q）i），（22）其中q是埃尔米特多项式的阶，ξ（q）i，i=1，2，q是厄米多项式Hq（x）的根，相关权重λ（q）i由λ（q）i=q给出-1q！√πq总部-1（ξ（q）i）.当f（x）可以表示为高达2q阶的多项式时，这种近似是精确的- 1.一般来说，给定阶数q的高斯-埃尔米特求积的横坐标ξ（q）和权重λ（q）If可以很容易地计算，例如使用Press et al.（1992）中的函数，或者可以在预先计算的表格中获得。将（21）中的二维积分分解为嵌套的一维积分，并将一维高斯-埃尔米特求积应用于每个变量，得到z+∞-∞Z+∞-∞E-Z-Z-2ρxrzzQ（Z）t-n（z，z，A）dzdz≈q、 qXi=1，j=1λ（q）iλ（q）je-2ρxrξ（q）iξ（q）jQ（Z）t-n（ξ（q）i，ξ（q）j，A）。（23）注意，一般情况下，可以使用不同的顺序Q和Q。例如，我们可以让q>qto考虑函数q（Z）t（Z，Z，·）的值随Z的变化比随Z的变化更快，从而使四元点更有效地分配给变量。不幸的是，由于因子e的存在，数值积分（23）并不有效-2ρxrzz，当股票市场和利率之间存在非零相关性时。这可以通过使用标准的Cholesky变换转换为独立的随机变量（Z，Z）来改进=√2Z，Y=√2（ρxrZ+p1- ρxrZ）。

（24）然而，我们观察到，通过转换到与j点密度主轴相对应的独立变量（Z，Z），可以获得更精确的结果，这可以通过amatrix光谱分解来实现=√2（aZ+bZ），Y=√2（bZ+aZ），（25）式中=（p1+ρxr+p1）- ρxr），b=（p1+ρxr-p1- ρxr）。使用变换（25），不仅密度中的交叉项消失，而且它还被标准化以应用高斯-厄米特求积。现在，就新变量（Z，Z）而言，积分（23）变为更简单但更精确的近似值+∞-∞Z+∞-∞E-Z-zQ（Z）t-n（z，z，A）dzdz≈qXi=1qXj=1λ（q）iλ（q）jQ（Z）t-Nξ（q）i，ξ（q）j，A.（26）如果我们对每个网格点（Wm，rk，Aj）应用变量变化和上述高斯-厄米特平方e（26），m=0，1，M，k=0，1，K和j=0，1，J、 即letW（t+n-1） =Wm，r（t+n）-1） =Rk和A=Aj，则t=t+n时的合同值-1可以计算所有网格点。按照通常的做法，我们选择资产空间中的工作域为x=ln（W/W（0）），即设置Xmin=ln（Wmin/W（0））和Xmax=ln（Wmax/W（0））。域[Xmin，Xmax]以步长δX=（Xmax）一致离散-Xmin）/M产生网格Xm=Xmin+MδX，M=0，M.网格点Wm，M=0，1，然后由Wm=W（0）exp（Xm）给出。域[rmin，rmax]也一致离散为阶跃δr=（rmax-rmin）/K得出gridrk=rmin+Kδr，K=0，K.对于每个网格点（Xm，rk），时间t+n时的合同价值-1可以表示为时间t时某些合同价值的加权总和-n、 具体地说，从（17）、（25）和（26）我们有qt+n-1（Wm、rk、A）≈P（总氮）-1，tn）πq，qXi=1，j=1λ（q）iλ（q）jQt-n（wijkm，rijk，A），（27）wijkm=exp√2τxaξ（q）i+bξ（q）j+ ux（Xm+ln W（0），rk）,里杰克=√2τrbξ（q）i+aξ（q）j+ ur（rk）。（28）我们发现让q>q更有效。

这是因为a>|b |，即Z对Wmore的贡献大于Z，因此为Zi分配更多的正交点更有效。5.3时间步长（t+n）处积分和跳跃条件的三次样条插值-1，t-n） ，t=t时的合同价值-对于任何给定的A，k仅在网格点（Wm，rk），m=0，M、 k=0，K.为了逼近连续函数Qt-n（W，r，·）对于积分，我们建议在网格点上使用双三次样条插值，它在一阶导数中是平滑的，在二阶导数中是连续的。cubicspline的误差为O（h），其中h是插值变量间距的大小，假设采用统一的间距。三次样条插值涉及在所有网格点求解二阶导数的三对角线性方程组。对于固定的网格和恒定的时间模型参数，TRI对角矩阵可以反转一次，并且在每个时间步，只需要在cubicspline程序中进行反向替换。对于均匀网格，双三次样条的计算时间大约是一维三次样条的五倍，如下所述。设Q（X）t（·）表示Qt（·）是X=ln（W/W（0））的函数。假设积分需要Q（X）t的值-n（X，r，·）位于网格内的点（X，r）：Xm≤ 十、≤ Xm+1和rk≤ R≤ rk+1。因为网格在X和r上是一致的，所以二阶导数Q（X）/桑德Q（X）/RCA可以用三点中心差精确地近似，因此，统一网格上的一维三次样条曲线在任何一次插值中只涉及四个相邻网格点。

在双三次样条曲线的情况下，我们可以首先在四个点（X，rk）获得Q（X）-1） ，（X，rk），（X，rk+1），（X，rk+2）通过在每个点的尺寸X上应用一维三次样条，然后我们使用这四个值通过r中的一维三次样条获得Q（X）（X，r，·）。因此，需要对单个点进行五次一维三次样条插值，该点包括与感兴趣点（X，r）相邻的十六个网格点。不用说，仅此一点就将使随机利率下的GMWB定价比确定性利率下的GMWB更耗时。不仅每个网格点的评估更复杂，还必须对更多的点进行评估。为了应用跳跃条件，只需要一维三次样条插值，因为每次跳跃前后的点落在r和A中的网格点上，只需要X中的插值。让我们引入一个辅助有限网格0=A<A<···<AJ=W（0）来跟踪维护平衡A，其中J是保证平衡量坐标中的节点总数。需要上限W（0），因为剩余担保余额不能超过目标初始账户值W（0）。对于每个Aj，我们将由节点点（Wm，rk）的值定义的连续解Qt（W，r，a）与这些节点点上的二维三次样条插值相关联。在每一次跳跃中，我们让A成为网格点Aj，1中的一个≤ J≤ J.在有限数量的可能跳跃中，一个最有效的选择（尽管不是必要的）是只允许保证平衡等于网格点0=a<a<·AJ=W（0）之一。这意味着，对于给定的平衡，时间t-n、 在t+nhas处提取后的可能值为网格点之一，等于或小于Aj，即A+j=Ai，1≤ 我≤ J

换句话说，取款金额γ取j可能的值：γ=Aj- 哎，我=1，j、 注意上述限制，即γ=Aj-哎，我=1，j不是必需的。关于实约束γ≤ Aj。然而，在没有限制的情况下，跳转后的A+J值落在网格点之间（不完全在网格点Ak上），需要昂贵的二维插值。由于这种离散化限制而产生的误差可以通过增加J轻松降低到可接受的水平。对于任何节点（Wm，rk，Aj），m=0，1，M，k=0，1，K、 j=1，J，鉴于DrumbalAmount只能取预先定义的值γ=Aj- Ai，i=1，2，j、 不管时间t和帐户值Wm如何，跳转条件（13）采用以下离散形式qt-n（Wm，rk，Aj）=max1≤我≤jhQt+n（最大值）- Aj+Ai，0），rk，Ai）+Cn（Aj- Ai）i.（29）对于最优策略，我们选择了1的值≤ 我≤ 最大化Qt-n（Wm，rk，Aj）。必须对每个节点（Wm、rk、Aj）0执行上述跳变≤ M≤ M、 k=0，1，K、 一,≤ J≤ J.每个提款日期。显然，对于每个节点点（Wm、rk、Aj），我们必须尝试j跳以找到Qt的最大值-n（Wm，rk，Aj）。图1说明了跳转条件的应用。1.兆瓦1.兆瓦艾玛沃 jAiA1青年成就组织1.杰姆WjAAA. 日本电报电话公司 日本电报电话公司W),,（ikmtArWQ）),,（jkmtArWQ）1.贾贾亚德1.jAmW1Mw图1：有限差异网格上应用的跳跃条件说明。当Wm-Aj+Ai>0，值Qt+n（Wm-Aj+Ai，rk，Ai）可通过一维三次样条插值从M个离散网格点的值获得。插值格式很重要，如Forsyth等人在收敛性研究中所示。

（2002），如果插值方案选择不当，基于PDE的离散采样路径依赖型期权定价数值算法可能不收敛（或收敛到错误答案）。6数值结果在本节中，我们首先展示存在闭式解的基准测试结果。然后，我们使用GHQC算法给出了静态和最优保单持有人策略下GMWB定价的数值结果，并在适当时将其与MC和PDE有限差分结果进行比较。6.1欧式普通期权在随机动力学的情况下（1）对于隐藏的资产和利率，欧式普通期权有一个封闭的解决方案，因此为数值算法提供了一个有价值的基准测试。特别是，在T=0时，给定S（0）和r（0）的情况下，在附录A.5中推导出了具有敲打K和到期日T的香草看涨期权和香草看跌期权的价格公式。对于该测试，我们将输入设置为：资产波动率σS=20%，资产即期价值S（0）=1，利率即期价值r（0）=5%，成熟度T=1，strike KT=0.95，Vasicek利率模型参数κ=0.0349，θ=5%，σr=1%，3%和ρ=-0.2, 0.0, 0.2.我们使用有限差分ADI方法求解二维ALPDE（18）和我们在前面章节中开发的GHQC方法计算香草价格，并与封闭式解决方案（37）进行比较。当然，在普通期权的情况下，使用债券价格（0，T）的数值变化，利率维度可以从数值定价中移除，所需的PDE可以减少到一维PDE，类似于确定性利率情况。这里，为测试和比较目的，将原始二维PDE（18）的ADI实现。对于GHQC，我们使用q=12和q=3正交，即。

每次积分的正交点总数为36。对于X维度，GHQC计算的网格固定为M=100，对于利率r维度，网格固定为K=20，时间步长总数N=5。与典型的有限差分计算相比，上述网格和时间步长相当粗糙。实际上，对于ADI计算，为了获得与GHQC大致兼容的精度，我们必须设置m=200、K=40和N=300。表1和表2显示了σrandρ不同值的普通买入和卖出价格的结果。两个表中括号内的百分比数字是价格与封闭式解决方案相比的相对数字误差。平均而言，对于σr=1%，ADI的相对误差约为0.033%，GHQC的相对误差约为0.042%，而对于σr=3%，ADI的相对误差约为0.077%，GHQC的相对误差约为0.040%。值得注意的是，当利率波动率从σr=1%增加到σr=3%时，ADI的平均相对误差增加了一倍以上，而GHQC的误差基本保持不变。ADI和GHQC都需要确定一秒CPU的一小部分，以计算表1和表2中的一个选项。

在与表1相同输入的情况下，平均计算200次以上的看涨期权和看跌期权计算：不同σrandρ值的普通看涨期权价格。其他输入参数为σ=20%，S（0）=1.0，r（0）=5%，T=1.0，KT=0.95，κ=0.0349和θ=5%。σrρ闭式ADI-GHQC0。0.01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0表2：不同σ和ρ值的普通看跌期权价格。其他输入参数为σ=20%，S（0）=1.0，r（0）=5%，T=1.0，KT=0.95，κ=0.0349和θ=5%。σrρ闭式ADI-GHQC0。0.01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（0.077%）以上，我们发现，对于ADI和GHQC，每次调用或put计算的CPU时间分别为0.055秒和0.011秒，即在这些测试中，GHQC比ADI快大约五倍。这项研究中显示的所有计算都是在带有Intel Core i5-4590的桌面上进行的CPU@3.30GHz用a4。00GB内存。值得一提的是，对于普通看涨期权和看跌期权，最终支付函数仅为典型的逐日线性函数，即它不是多项式函数，在走向KT处也不平滑（在W=KT处为导数不连续）。