保证最低支取的可变年金估值

这意味着，有担保的投资组合复制VA合同的成本由其在Q下的预期贴现值给出。这是金融衍生品定价的典型设置，对于这方面的好教材，我们向读者推荐，例如Bj¨ork（2009）。考虑参考资产组合S（t）的j点动态，例如共同基金，作为合同和随机利率r（t）的基础，在风险中性概率测度Q下，由ds（t）S（t）=r（t）dt+σS控制ρdB（t）+p1- ρdB（t）,dr（t）=κ（θ）- r（t））dt+σrdB（t）。（1） 这里，B（t）和B（t）是独立的标准维纳过程，ρ是S（t）和r（t）过程之间的相关系数，σ是资产波动率参数。利率r（t）的过程是众所周知的Vasicek模型，具有常数参数κ、θ和dσr。为了简化旋转，我们假设模型参数在时间上是常数，尽管结果可以推广到时间相关参数的情况。我们考虑与合同撤销日期相关的时间离散化0=t<t<··<tN=t，其中t=0是今天，t是合同到期日。对于这种随机利率模型，在t时刻到期的零息票债券P（t，t）的价格可以在闭合形式P（t，t）中找到：=EQthe-RTtr（u）dui=吃，T-r（t）Bt，t，（2）Bt，t=κ1.- E-κ（T-（t）, 至少=θ -σr2κ（英国电信，T+T）- （T）-σr4κBt，T，其中EQt[·]表示在时间T可用信息的条件下对概率测度Q的响应的期望。相应的随机动力学可以从（2）使用它来bedP（T，T）P（T，T）=r（T）dt轻松获得- σrBt，TdB（t）。

（3） 过程（1）的解是给定（S（0），r（0））的（ln S（t），r（t））的二元正态分布，债券价格公式在附录a中推导。考虑以下VA合同和研究中经常使用的基本GMWB，这有利于基准测试。实际产品可能有额外的特性，但这些特性可以很容易地纳入本文开发的模型和数值算法中投保人在tis预付的保费投资于参考投资组合/风险集合S（t）。该投资组合（以下称为财富账户）在t时的价值为W（t），因此投保人支付的预付保费为W（0）。GMWB保证通过提取γn的方式返还保费≥ 在时间tn，n=1，2，…，允许0，N.让nw表示每年的取款次数。提款总额不得超过担保W（0），且提款可能不同于合同（担保）提款Gn=W（0）（tn）- tn-1） /T，如果γn>Gn，将处以罚款。将年合同费率表示为g:=1/T。然后财富账户W（t）演变为W（t）-n） =W（t+n）-1） S（tn）-1） S（tn）e-αn、 W（t+n）=最大值W（t）-n）- γn，0, n=1，2，N、 （4）在哪里n=tn- tn-1和α是合同发行人持续收取的年费。如果账户余额变为零或负，那么它将保持零直到到期。W（t）在（tn）内的过程-1，tn）与（1）中标的资产S（t）的过程相同，只是漂移项r（t）被r（t）取代- α.o 将时间t时的合同保函价值表示为A（t），以下简称为担保金额，A（0）=W（0）。此后，将tn之前（即退出前）的时间表示为t-n、 在tn之后（即。

退出后）作为t+nand，并让所有功能在t处右连续，左限有限。担保余额演变为asA（t+n）=A（t-n）- γn=A（t+n）-1) - γn，n=1，2，N（5）与A（T+）=0，即W（0）=A（0）≥ γ+··+γ与α（t+n）-1) ≥PNk=nγk。账户余额A（t）在区间（tn）内保持不变-1，tn），n=1，2，N.o投保人在提款时收到的现金流tn由CN给出（γn）=（γn，如果0≤ γn≤ Gn，Gn+（1）- β） （γn）- Gn），如果γn>Gn，（6）其中Gn是合同提款，β∈ [0,1]是适用于高于Gn的提款比例的罚款系数。o假设Qt（W，r，A）是在时间t与GMWB签订的VA合同的一部分，当W（t）=W，r（t）=r，A（t）=A时。到期时，投保人在剩余担保账户扣除罚金后与剩余财富账户余额之间取最大值，即最终支付金额为Qt-N（W，r，A）=最大值（W，CN（A））。（7） 在合同期间，投保人收到现金流Cn（γn），n=1,2，N- 1和到期时的最终支付。将时间t处的马尔可夫状态向量表示为Vt=（W（t）、r（t）、A（t））和V=（Vt）0≤T≤T.给定退出策略γ=（γ，…，γN-1） ，总合同的现值（V，γ）=e-RTr（τ）dτmaxW（T）-), CN（A（T）-))+N-1Xn=1e-Rtnr（τ）dτCn（γn）。（8） 在上述假设/条件下，可按q（V）=EQt[H（V，γ）]计算确定（静态）退出策略γ的合同公平无套利价值。（9） 在最优（动态）取款策略下，如果取款金额γ的决定基于在时间tn时可获得的信息ftnavable，则公允合同价值为q（V）=supγEQt[H（V，γ）]，（10），其中γ，γN-1.选择控制变量（取款）以最大化贴现现金流的预期值，并对所有可接受的策略取上最大值。

注意，提取γn:=γn（Vt-n） 此时tn是状态变量Vt的函数-n、 也就是说，Vt的不同处理方式可能不同-n、 此外，控制变量γ影响着潜在财富过程的转移规律-nto t-n+1。任何不同于最优策略的策略都是次优策略，会导致较小的成本。合同Q（V）的当前价值是发行人为担保收取的费用α的函数。为提供GMWB功能而收取的α的公平费用值对应于Q（V）=W（0）。也就是说，一旦确定了给定α值的Q（V）定价，则需要使用数值根搜索算法来确定公平费用。需要注意的是，在假设投保人以最佳方式实现担保价值最大化的情况下获得的VA担保的公平费用，对于合同撰写人来说是最坏的情况。如果担保是完全h边的，那么如果投保人偏离最佳策略，发行人将获得担保。任何其他策略下的定价都会导致更低的公平费用。当然，从这个意义上讲，最优策略对保单持有人来说可能不是最优的，但它是一个重要的基准。在实践中，由于时间上的离散对冲和金融市场的不完全性，将存在剩余风险，可以通过精算法增加额外的价格负担或无套利金融数学法调整风险溢价来处理，以使对冲误差损失的风险不超过要求的水平。这些调整取决于产品的风险管理策略，此处不予考虑；有关讨论和参考资料，请参见。

舍甫琴科和罗（2016）。备注2.1注意，我们在开始建模时假设了风险中性概率测度Q下的随机模型（1）。出于风险管理目的，我们可能有兴趣在实际（物理）概率测度P，dS（t）S（t）=u下开始该过程*（t） dt+σSρdB*（t） +p1- ρdB*（t）,dr（t）=u*（r，t）dt+σrdB*（t） ，具有独立的标准Wiene r流程B*（t） B*（t） ，并推导出VA担保和债券价格估值的相应风险中性过程（1）。这可以通过形成投资组合∏t=-Ut（W，r，A）+S×S+P×P（t，t），其中Ut（W，r，A）：=Qt（W，r，A）-是VA担保的价值，S（t）的单位数和Pis是bondP（t，t）的单位数。然后利用伊藤引理计算投资组合d∏t的变化，并设置S=WSUt（W、r、A）魔杖P=Ut（W、r、A）/RP（t，t）/rto消除随机项，使投资组合获得无风险利率d∏t=r∏tdt。这导致了Qt（W，r，a）的一个偏微分方程（18），利用费曼-卡克定理，可以确定与该偏微分方程对应的过程是风险中性过程（1）。有关详细信息，请参见例如（舍甫琴科和罗，2016年，第6.5节）和教科书（威尔莫特，2006年，第30.3和33.6节）。需要注意的是，该程序还将引入利率风险λ（r，t）的市场价格，因此利率风险的漂移是u*（r，t）- λ（r，t）σr；然后假设λ（r，t）和u*（r，t）是r的线性函数，我们可以将r的风险中性过程写成（1）。3在时间状态向量Vt离散的情况下，将GMWB定价为最优随机控制-n=（W（t）-n） ，r（t）-n） ，A（t）-n） n=0，1。

，N是一个马尔可夫过程，很容易认识到，最优退出策略（10）下的合同估值是受控马尔可夫过程的最优随机控制问题，可以递归求解以确定合同价值Qt-n（·）在t-n、 n=n- 1.0通过众所周知的反向感应贝尔曼方程qt-n（W（t）-n） ，r（tn），A（t-n） ）=sup0≤γn≤A（t）-n）Cn（γn）+EQt+nE-Rtn+1tnr（τ）dτQt-n+1W（t）-n+1）、r（tn+1）、A（t）-n+1）W（t+n）、r（tn）、A（t+n）（11） 从最终条件Qt开始-N（W，r，A）=最大值（W，CN（A））。关于金融中随机控制问题的良好教材，请参见B–auerle和Rieder（2011）。定义策略γ下的静态定价（9）也可以使用上述去除上确界的反向归纳法进行。对于每个tn，n=1，N- 1，这种反向递归（11）涉及预期qt+n（W，r，A）=EQt+nhe的计算-Rtn+1tnr（τ）dτQt-n+1W（t）-n+1）、r（tn+1）、A（t）-n+1）|W、 r，Ai（12）和跨越tnQt的跳跃条件的应用-n（W，r，A）=max0≤γn≤A[Cn（γn）+Qt+n（max（W- γn，0），r，A- γn）]。（13） 计算期望值（12）很困难，因为它需要对三个随机变量W（t）的联合分布进行三维积分-n+1），r（tn+1）和Y（tn+1）=Rtn+1tnr（u）在W（t+n）和r（tn）上的条件；注意，变量A（t）在（tn，tn+1）范围内没有变化。实际上，在考虑随机过程（1）的情况下，所需的3d分布可以在封闭形式中找到。见附录A，这有助于通过过程（1）的直接模拟验证静态提取情况下的计算。然而，如果我们将货币市场账户M（t）=eRtr（τ）dτ的数值改为到期日为tn+1的债券P（tn，tn+1），即。

使用Radon Nikod y m导数Ezt=deQdQ的变化概率度量Ft=M（tn）M（t）P（t，tn+1）P（tn，tn+1），t∈ [tn，tn+1]，（14）然后期望（12）简化为二维积分qt+nE-Rtn+1tnr（u）duQt-n+1W（t）-n+1），r（tn+1）··= P（tn，tn+1）EeQt+nQt-n+1W（t）-n+1），r（tn+1）··,（15） 式中，EeQtn[·]是新概率测度Eq下的期望值。中兴的过程很容易从过程（3）中得到，债券价格P（t，tn+1）asdZt=φ（t）ZtdB，φ（t）=-σrBt，tn+1。然后，利用Girsanov定理，对维纳过程所需的变换是B（t）=φ（t）dt+deB（t），并且在新的测度下的过程为t∈ （tn，tn+1）aredS（t）/S（t）=（r（t）+σSρφ（t））dt+σSρdeB（t）+p1- ρdeB（t）,dr（t）=κeθ（t）- r（t）dt+σrdeB（t）；eθ（t）=θ+σrκφ（t）（16）与独立维纳过程中的eb（t）和b（t）。注意，φ（t）是键P（t，tn+1）的挥发性，参见（3）。这个过程的解是给定（S（0），r（0））的（ln S（t），r（t））的二元正态分布，在附录a中推导。关于数值变化技术的良好教科书处理，请参见（Bj¨ork，2009，第26章）。需要注意的是，对于不同的时间步，衡量标准的变化基于不同期限的债券。假设W（t）的概率密度函数-n+1）和W（t）处的r（tn+1-n+1）=w′和r（tn+1）=r′以w（t+n）=w和r（tn）=r为条件。在新的概率测度下，q以闭合形式pn+1（w′，r′|w，r）已知，所需的期望（15）可计算为qt+n（w，r，A）=P（tn tn 1）Zpn 1w′，r′w，rQt-n+1（w′，r′，A）dw′dr′。（17） 在基本随机过程（1）的情况下，跃迁密度pn+1（w′，r′|w，r）是已知的封闭形式，我们将使用Gauss-Hermite求积来评估有限域上的上述积分。

所需的连续函数Qt（W，r，A）将通过（W，r）s步中离散网格上的二维三次样条插值来近似。注意，一般来说，需要在（W，r，a）空间中进行三维插值，但可以通过“智能”数值操作来避免a中的干涉，以间隔的方式设置跳跃量，使a减少后的跳跃始终位于网格点上。下面我们将详细讨论在三次样条插值上使用高斯-埃尔米特求积对（17）进行数值积分的算法，然后是跳跃条件（13）的应用。注意，对于支付仅取决于标的资产且在合同到期时收到的简单期权/合同，更改金额可以从定价中去除随机利率维度，有效地将数值问题简化为确定性利率情况。然而，对于静态或动态情况下的GMWB定价，由于合同期限内的提款（跳跃条件），利率r中的额外维度无法避免。4.通过PDE对GMWB进行数值评估在连续时间提款的情况下，遵循随机控制问题中汉密尔顿-雅可比伯曼（HJB）方程的推导过程，发现在利率确定的情况下，最优提款下的VA合同的价值由二维PDE控制；见米列夫斯基和索尔兹伯里（2006）、戴等人（2008）和陈和福赛斯（2008），在随机利率的情况下，这将成为三维偏微分方程。

对于离散取款，由于担保账户余额A（t）在取款之间保持不变（类似于Black-Scholes方程），每个取款日期的跳变条件将相邻期间的价格联系起来，因此取款日期之间的管理PDE比连续情况小一个维度。特别是，t时的合同价值Qt（W，r，A）∈ （tn）-1，tn）满足感Qtt+σSWQtW+（r- α） WQtW+σrQtr+（θ）- r）Qtr+ρσSσrWQtWR-rQt=0，（18），可使用Crank-Nicholson有限差分格式数值求解，例如，在撤药日期tn采用跳跃条件（13）的每一个时间倒向。一类更有效且非常流行的算法是交替方向隐式（ADI）法，其中一个突出的变化是所谓的跳点法，Gourlay（1970年）通过对Gordon（1965年）思想的重新阐述而引入。结果表明，跳点法是一种ADI过程，具有将问题分解为更简单部分的新方法。总体思路是显式求解交替点，然后使用隐式格式显式求解剩余点。如果不引入一定的隐式性，原始的跳点方法就不能很容易地应用于含有混合导数的方程。古雷和麦基（1977）提出了两种处理混合导数的技术——有序奇偶跳房子和线性跳房子。Gourlay和McKee（1977）的数值试验表明，与有序奇偶跳汰法和局部一维（LOD）方法相比，lin e h op scotch在常数和变量系数抛物方程的情况下表现最好。在这项工作中，为了对我们的GHQC算法进行数值验证，我们实现了线性跳点法。

简言之，假设抛物线方程用有限差分网格点（xi，yj，tn）离散，直线跳点法首先明确计算（n+j）偶数点的解，然后精确求解（n+j）奇数点的解。给定时间步长n的j的交替值给出了一组三对角方程，前提是以某种方式选择有限的微分算子。有关详细信息，请参见Gourlay和McKee（1977）。5 GHQC直接积分法在本节中，我们介绍了使用三次样条插值上的GaussHermite求积，然后应用跳跃条件（13）进行数值积分（17）的算法细节，我们的方法被称为GHQC.5.1算法结构。我们的方法依赖于通过应用于三次sp线插值的高阶高斯-厄米特积分求积，在提取数据之间的向后时间步中计算期望值（17）。对于封闭形式的基本随机变量的传递性，它比偏微分方程方法更容易实现，计算速度更快。对于（tn，tn+1）内的给定担保账户变量a，可以使用（17）对价格Qt+n（W，r，a）进行数值计算。现在，我们将计算的细节（17）留给下一节，并假设它能够以足够的精度和效率完成。从t=t的最终条件开始-N（就在最后退出之前），使用（17）的反向时间步进给出t=t+N的解-1.将跳跃条件（13）应用于t=t+N时的解-我们得到t=t时的解-N-1进一步的倒推时间步长为我们提供了在t发现Q（W（0），r（0），W（0））时的解。为了在每个绘制日期应用跳跃条件，必须为A的许多不同级别找到解决方案。数值算法采取以下关键步骤第一步。