保证最低支取的可变年金估值

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英文标题：
《Valuation of Variable Annuities with Guaranteed Minimum Withdrawal
  Benefit under Stochastic Interest Rate》
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作者：
Pavel V. Shevchenko and Xiaolin Luo
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A variable annuity contract with Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB) promises to return the entire initial investment through cash withdrawals during the contract plus the remaining account balance at maturity, regardless of the portfolio performance. Under the optimal(dynamic) withdrawal strategy of a policyholder, GMWB pricing becomes an optimal stochastic control problem that can be solved by backward recursion of Bellman equation. In this paper we develop a very efficient new algorithm for pricing these contracts in the case of stochastic interest rate not considered previously in the literature. Presently our method is applied to the Vasicek interest rate model, but it is generally applicable to any model when transition density or moments of the underlying asset and interest rate are known in closed form or can be evaluated efficiently. Using bond price as a numeraire the required expectations in the backward recursion are reduced to two-dimensional integrals calculated through a high order Gauss-Hermite quadrature applied on a two-dimensional cubic spline interpolation. Numerical results from the new algorithm for a series of GMWB contracts for both static and optimal cases are presented. As a validation, results of the algorithm are compared with the closed form solutions for simple vanilla options, and with Monte Carlo and finite difference results for the static GMWB. The comparison demonstrates that the new algorithm is significantly faster than finite difference or Monte Carlo for all the two-dimensional problems tested so far. For dynamic GMWB pricing, we found that for positive correlation between the underlying asset and interest rate, the GMWB price under the stochastic interest rate is significantly higher compared to the case of deterministic interest rate, while for negative correlation the difference is less but still significant.
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中文摘要：
具有最低提款保障福利（GMWB）的可变年金合同承诺，无论投资组合表现如何，都将通过合同期间的现金提款以及到期时的剩余账户余额来返还全部初始投资。在投保人的最优（动态）退出策略下，GMWB定价成为一个最优随机控制问题，可通过Bellman方程的反向递归求解。在本文中，我们开发了一个非常有效的新算法，用于在文献中未考虑的随机利率情况下对这些合同进行定价。目前，我们的方法适用于Vasicek利率模型，但当标的资产和利率的转移密度或矩以封闭形式已知或可以有效评估时，它通常适用于任何模型。以债券价格为基准，将反向递归中所需的期望值简化为二维积分，通过应用于二维三次样条插值的高阶高斯-埃尔米特求积计算。给出了静态和最优情况下一系列GMWB契约的新算法的数值结果。作为验证，将该算法的结果与简单香草期权的闭式解进行了比较，并与静态GMWB的蒙特卡罗和有限差分结果进行了比较。比较表明，对于迄今为止测试的所有二维问题，新算法明显快于有限差分法或蒙特卡罗法。对于动态GMWB定价，我们发现，对于标的资产和利率之间的正相关，随机利率下的GMWB价格显著高于确定性利率下的GMWB价格，而对于负相关，差异较小但仍然显著。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Valuation_of_Variable_Annuities_with_Guaranteed_Minimum_Withdrawal_Benefit_under.pdf (394.33 KB)

2022-5-10 18:31:07 上传

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关键词：Quantitative Expectations significant Dimensional Monte Carlo

随机ic利率下保证最低提取收益的可变年金估值Pavel V.Shevchenko 1，*以及澳大利亚麦格理大学《应用金融与精算研究》2017年1月15日（2016年2月16日第1版）的《小林·罗草案》；电子邮件：帕维尔。shevchenko@mq.edu.auCSIRO澳大利亚电子邮件：小林。Luo@csiro.au*本文发展了一种有效的直接积分方法，用于在随机利率下有担保的可变年金（VA）的定价。特别是，我们专注于为VA定价，保证最低提款收益（GMWB），承诺通过提款和到期时的剩余账户余额返还全部初始投资。在投保人的最优（动态）退出策略下，GMWB定价成为一个最优随机控制问题，可以用反向递归Bellman方程求解。最优决策不仅是基础资产的函数，也是利率的函数。目前，我们的方法适用于Vasicek利率模型，但当标的资产和利率的转换密度以封闭形式已知或可以有效评估时，它适用于任何模型。使用债券价格作为数值，将反向递归中所需的期望值简化为二维积分，通过应用于二维三次样条插值的高阶高斯-埃尔米特求积计算。在对与二元跃迁密度主轴相对应的变量进行旋转变换后，应用求积，观察到该变换比使用Cholesky变换更精确。数值比较表明，新算法比部分微分方程或蒙特卡罗方法快得多。

对于采用动态退出策略的GMWB的定价，我们发现，对于基础资产和利率之间的正相关，s-ToCastic利率下的GMWB价格明显高于确定性利率，而对于负相关，差异较小，但仍然显著。在GMWB采用预先定义（静态）无DR-awal策略的情况下，对于负相关而言，随机和非确定性利率案例之间的价格差异并不显著，而对于正相关而言，差异仍然显著。该算法可以很容易地适用于求解可能受控制影响的两个随机变量的相似随机控制问题。对于单一风险资产的亚洲金融衍生品、barrier金融衍生品和其他金融衍生品，在短期利率下进行数字定价也很简单。关键词：可变年金、生死攸关福利、随机利率、最优随机控制、保证最低提款福利、高斯-厄米求积。1简介世界人口正在迅速老龄化，一些国家的预期寿命提高到90岁以上。长寿风险（超过储蓄的风险）对退休人员至关重要。带有生前和死亡福利担保的可变年金（VA）是有助于管理这种风险的产品之一。它利用了市场增长的优势，同时为储蓄提供了保护。流浪汉通常分为最低取款保障福利（GMWB）、最低累积保障福利（GMAB）、最低收入保障福利（GMIB）和最低死亡保障福利（GMDB）。Bauer等人（2008年）和Ledlie等人（2008年）对VA产品及其市场的发展有很好的概述。

（2008）和Kalberer and Ravindran（2009）。保险公司从20世纪90年代开始在美国销售这类产品。后来，这些产品在欧洲、英国和日本很受欢迎。VAs的市场非常大，例如，根据LIMRA（人寿保险和市场研究协会）的情况介绍，2011年至2013年间，这些合同在美国的年销售额平均约为1600亿美元。为了表述的清晰和简单，在本文中，我们考虑了一份VA合同，该合同有一个非常基本的CGMWB担保，承诺在保单有效期内通过现金提取收回全部初始投资，加上到期时的剩余账户余额，而不考虑投资组合的履约情况。因此，即使投保人的账户在到期前降至零，GMWBfeature仍将继续提供担保现金流。GMWB允许投保人在低于或低于合同实际利率的情况下提取资金，无需支付罚金，并在高于合同利率的情况下支付一定罚金。如果投保人的行为是被动的，并按照合同开始时确定的合同利率提款，则投保人的行为称为静态。在这种情况下，可以模拟财富账户的路径，并且可以使用标准蒙特卡罗（MC）模拟方法进行GMWB定价。另一方面，如果投保人在每个提款日期以最佳方式决定提款金额，则投保人的行为称为动态。在最优退出策略下，带有GMWB的可变年金的定价成为一个最优随机控制问题。这一问题无法通过基于模拟的标准方法解决，如Lon Gstaff和Schwartz（2001）中引入的众所周知的最小二乘MC方法。

这是因为潜在财富过程的路径被从后向时间解中找到的最优现金提取所改变，而潜在财富过程不能在时间上向前模拟。然而，应用控制随机化方法倾向于最小二乘MC来处理最近在Kharroubi等人（2014）开发的受控马尔科夫过程的最优随机控制问题应该是可能的；尽管这种GMWB定价方法的准确性和稳健性尚未得到研究。需要注意的是，在假设投保人以最佳方式实现担保价值最大化的情况下获得的VA担保的公平费用是一个重要的基准，因为这是合同编写人的最坏情况。也就是说，在无套利假设下，如果担保完全对冲，那么如果保单持有人偏离最佳策略，发行人将获得担保利润。任何其他策略下的定价都会导致smallerfair费用。当然，从这个意义上讲，最优策略对于投保人来说，在他的情况和偏好下可能不是最优的。另一方面，与股权相关的保险产品的二级市场正在增长，税务局的财务方可能会通过VA担保的边缘策略产生担保利润，这些策略不会根据最优策略的最坏情况假设进行定价。有许多研究考虑到了这些方面，我们建议读者参考舍甫琴科和罗（2016）对这个话题的讨论和其中的参考文献。在过去十年中，许多论文都考虑了假设利率不变的情况下，具有GMWB功能的VA定价。例如，米列夫斯基和索尔兹伯里（2006）开发了多种GMWB产品定价方法。

在他们的静态取款方法中，GMWB产品被分解为一个Quanto Asian看跌期权加上一个通用术语特定年金。他们还考虑了当投保人可以在最佳时间终止（放弃）合同时的违约，这导致了一个类似于美式看跌期权定价的最佳停止问题。Bauer et al.（2008）通过多维离散化方法，将Black-Scholes偏微分方程（PDE）转化为一维热方程，并通过网格上的线性插值，通过简单的分段求和，获得准解析解，提出了多担保可变年金的估值方法。Dai等人（2008年）开发了一种高效的有限差分算法，该算法使用惩罚近似法来解决带拉瓦尔模型的连续时间的奇异随机控制问题，在最优带拉瓦尔策略下，以及离散时间取款的有限差分算法。他们的结果表明，离散时间模型的GMWB值快速收敛到连续时间模型的GMWB值。Huang和Forsyth（2012）对GMWB的这种惩罚方法进行了严格的收敛性研究，Huang和Kwok（2014）推导了自由边界的各种渐近线，这些自由边界在GMWB定价模型的域中划分了不同的取款区域。Chen和Forsyth（2008）提出了一个脉冲随机控制公式，用于在最优保单持有人行为下，使用GMWB对可变年金进行定价，并开发了一个数值方案，用于求解连续提款模型的Hamilton-Jacobi-Bellman变分不等式，以及离散提款合同的定价。最近，Azimzadeh和Forsyth（2014）证明了Gu-aranteed终身退出福利（GLWB）合同存在最优bang-bang控制。

特别是，他们发现，GLWB的持有人可以通过只执行不撤销、完全按照合同利率撤销或完全放弃来最大化合同作者的损失。这大大减少了最佳战略空间。然而，他们也证明了相关的GMWB契约不是保凸的，并且除某些退化情形外，h ence不满足bang-bang原理。Luo和Shevchenko（2015c）研究了bang-bang策略下的GMWB定价，Huang和Kwok（2015）开发了一种基于回归的MC方法来定价GLWB。对于最优退出策略下的GMWB，Dai等人（2008年）、Chen和Forsyth（2008年）使用有限差分偏微分方程方法以及Luo和Shevchenko（2015a）使用直接积分方法进行了数值评估。Lu o和Shevch enko（2015b）已经制定了既有GMWB又有d eath benefit（既有静态的，也有动态的）的增值税定价。从VA类型合同中提取的部分款项也可能会招致特定国家的政府额外税收和罚款。最近，Moenig和Bauer（2015）证明，在可变年金中包含税收会影响提款担保的价值，从而产生与经验市场价格一致的结果。这些问题在我们的论文中没有考虑，但可以用这里发展的数值方法来处理。在有关GWMB定价的文献中，利率通常假定为常数。很少有论文考虑过利率暴跌的情况。尤其是，Peng等人（2012年）在静态退出策略的情况下，考虑了Vasicek随机利率下的pricingGMWB；由于在基础财富账户的随机演化过程中，由于从基础财富账户取款，因此无法获得封闭形式的解，因此推导出价格的上界和下界。

Bacinello等人（2011年）在Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型下考虑了随机利率和随机波动率模型。在静态投保人行为的情况下，他们通过常规MCmethod和混合估值（投保人是半活跃的，可以在到期前的任何时间决定放弃合同）制定了定价，由最小二乘法MC执行。Forsyth和Vetzal（2014）考虑了通过马尔可夫区域切换模型对利率和波动性的随机性进行建模，并开发了静态和动态退出策略下的定价。在这种方法下，利率和波动率被假定为具有有限数量的可能价值，其时间演化由代表经济可能机制的有限状态马尔可夫链变量驱动。在本文中，当利率遵循Vasicek随机利率模型时，我们发展了在动态和静态退出策略下有担保的VAs定价的直接积分方法。对于标的资产和利率的一般随机过程，可以通过PDE方法实现数值定价，在两个或更多标的随机变量的情况下，PDE方法变得缓慢且难以实现。我们的方法适用于标的资产和利率的二元转移密度已知或可以有效评估的情况。也就是说，应该可以将这种方法应用于CIR随机利率模型的情况。使用债券价格为Nam’eraire的num’eraire变更技术，将随机控制解的反向递归中所需的期望值减少为通过应用于二维三次样条插值的高阶Gauss-Hermite四边形计算的二维积分。

在旋转变换后，将求积应用于对应于二元跃迁密度主轴的变量，这似乎比对独立变量使用标准Cholesky变换更有效。为了方便起见，下面我们将这种新算法称为GHQC（三次样条上的高斯求积）。这使我们能够在标准台式计算机上快速、准确地获得典型GMWB合同的结果。之前，本着类似的精神，我们开发了一种适用于一种潜在随机风险资产和非随机利率情况的ed算法，用于在Luo和Shevchenko（2014）中对奇异期权进行定价，以及在Luo和Shevchenko（2015a）中对GMWB进行定价的最优随机控制问题。为清晰起见，我们将重点介绍具有非常基本的GMWB结构的VA的定价。然而，所开发的方法可以很容易地应用于其他VA担保的定价，参见舍甫琴科和罗（2016），将这些合同的一般表述为最优随机控制问题。最后，我们想指出的是，所提出的算法可以很容易地适应于解决类似的随机控制问题，其中两个状态变量可能受到控制的影响。此外，在随机利率下，使用单一基础资产对亚洲、屏障和其他金融衍生工具进行定价的应用也很简单。在下一节中，我们将介绍基本的随机模型，并描述GMWB合同。第3节介绍了最优随机控制的解决方案。第4节简要介绍了可用于定价的众所周知的PDE方法。第5节介绍了我们的directintegration GHQC算法，用于在静态和动态投保人行为下对GMWB合同进行投保。

在第6节中，给出了一系列GMWB合同条件下的公平价格和公平费用的数值结果，并与求解相应二维偏微分方程的有限差分法的结果进行了比较。对比表明，新算法产生的结果与有限差分PDE方法非常接近，但同时速度明显加快。此外，研究结果表明，随机利率对第6节分析的价格有显著影响。第7节给出了结束语。附录A.2模型中导出了所需转移密度、债券价格和普通价格的有用封闭式公式。根据现有文献，我们假设金融风险没有套利市场，因此，具有GMWB的VA价格可以表示为关于潜在风险资产风险中性概率测度的预期。此外，没有死亡风险——如果投保人死亡，合同由受益人维持。除了GMWB之外，通常为投保人提供的死亡福利特征可以很容易地纳入pricingmethodology，如Luo和Shevchenko（2015b）所述。让(Ohm, F、 Q）具有样本空间的概率空间Ohm, 过滤F={Ft:t≥ 0}（σ-代数的序列随时间t增加）Ohm) 和r isk——中性概率测度Q，使得所有贴现资产价格过程都是Q鞅，即支付流可以作为预期贴现值进行估值。测度eq的存在意味着金融市场是无套利的，而这种测度的唯一性意味着市场是完整的。