随机运动的路径概率：函数方法

这是以一种类似于连续量子测量的方式进行的。我们已经将这一理论框架应用于金融领域股票价格的随机动力学。通过离散时间参数，我们得到了有限正则化路径概率，并分析了它随时间的变化。跟踪随机轨迹是当前的兴趣所在。单分子追踪技术等最新发展有望探索活细胞中的反应途径（见参考文献[7]和其中的参考文献）。在金融领域，第5节中的讨论可能与“远期合约”的概念有关[8]。本文发展的路径概率理论可能在这些领域发挥重要作用。在目前的工作中，我们假设了高斯白噪声和维纳过程。对有色噪声和非马尔可夫过程的一种可能的推广可能也很有意义。如果将等式（4）中的δ函数替换为有限宽度的函数，则通常需要为朗之万方程中的摩擦项引入相应的记忆核[9]。在股市崩盘后不久，非马尔可夫性对于理解市场动力学的本质至关重要，因为股价遵循的规律与地震余震的大森定律极其相似[10]。而且，对于地震余震[11-13]来说，相关的点过程是非马尔可夫过程，并表现出老化现象。这些问题有待进一步澄清。致谢其中一位作者（S.A.）得到了日本科学促进会（No。

26400391）和俄罗斯联邦教育和科学部（喀山联邦大学竞争增长计划）。参考文献[1]H.Risken，《福克-普朗克方程：解的方法和应用》，第二版，斯普林格·维拉格，海德堡，1989年。[2] K.Jacobs，《物理学家的随机过程：理解噪声系统》，剑桥大学出版社，剑桥，2010年。[3] L.Onsager，S.Machlup，Phys。牧师。91 (1953) 1505.   [4] 林天麟，王瑞平，毕伟平，A.El-Kaabouchi，C.Pujos，F.Calvayrac，Q.A.Wang，混沌，孤子与分形57（2013）129。[5] 曼斯基先生，物理系。莱特。A 196（1994）159；勘误表198（1995）473。[6] J.Zinn Justin，《量子场论与临界现象》，第四版，牛津大学出版社，牛津，2002年。[7] E.Barkai，Y.Garini，R.Metzler，《今日物理学》65（2012年8月号）29。[8] J.C.赫尔，期权、期货和其他衍生品，第9版，皮尔逊，纽约，2015年。[9] R.Zwanzig，《非平衡统计力学》，牛津大学出版社，牛津，2001年。[10] F.Lillo，R.N.Mantegna，Phys。牧师。E 68（2003）016119。[11] 安倍晋三，铃木，Physica A 332（2004）533。[12] 安倍晋三，北铃木，Physica A 388（2009）1917。[13] 《地球物理学报》60（2012）547。图1。无量纲概率的线性图！关于时间T（天）的流逝。开放圆和填充正方形分别用于（i）最可能路径和（ii）用于过滤器的恒定路径。使用的参数值为！2= 0.04 ! 10“2（天）！1，u=0.01（天）！1，！t=1天，！2=0.04天和x0=1。图2.图1中结果的半对数图。