随机运动的路径概率：函数方法

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英文标题：
《Path probability of stochastic motion: A functional approach》
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作者：
Masayuki Hattori, Sumiyoshi Abe
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The path probability of a particle undergoing stochastic motion is studied by the use of functional technique, and the general formula is derived for the path probability distribution functional. The probability of finding paths inside a tube/band, the center of which is stipulated by a given path, is analytically evaluated in a way analogous to continuous measurements in quantum mechanics. Then, the formalism developed here is applied to the stochastic dynamics of stock price in finance.
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中文摘要：
利用泛函方法研究了粒子随机运动的路径概率，导出了路径概率分布泛函的一般公式。以类似于量子力学中连续测量的方式，对在管/带内找到路径（其中心由给定路径规定）的概率进行了分析评估。然后，本文发展的形式主义被应用于金融领域股票价格的随机动力学。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Quantum Physics        量子物理学
分类描述：Description coming soon
描述即将到来
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PDF下载：
--> Path_probability_of_stochastic_motion:_A_functional_approach.pdf (2.2 MB)

2022-5-10 18:40:37 上传

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关键词：Quantitative distribution Measurements Applications Probability

随机运动的路径概率：一种泛函方法——日本物理研究所，喀山联邦大学，日本b物理研究所，Mie 514-8507，Mie大学物理工程系，Mie 514-8507，日本b物理研究所，喀山420008，俄罗斯摘要利用泛函技术研究粒子经历随机运动的路径概率，推导了路径概率分布函数的一般公式。以类似于量子力学中连续测量的方式，对在管/带内找到路径（其中心由给定路径规定）的概率进行了分析评估。然后，本文发展的形式主义被应用于金融领域股票价格的随机动力学。关键词：随机过程，路径概率分布函数，股价1。引言考虑一个包含外部噪声的x（t）的随机方程！（t） 。满足一定初始条件的方程的解，X！（t） ，定义粒子/步行者的轨迹。然后，必须确定在时间t:f（x，t）dx的区间x，x+dx[]中找到粒子的概率，其中f（x，t）是由f（x，t）=给出的概率分布函数！十、X“（t）与o）！是噪音的平均值（见下一节）。从随机方程到概率分布函数的过程通常通过福克-普朗克方程[1,2]来建立。这是一个被广泛讨论的问题，使人们能够描述扩散和传输等重要现象。一个较少讨论的问题可能是路径概率P[x]。在这种情况下，我们关注粒子沿着路径x（t）的概率分布函数。

与这个问题相关的最早工作之一可能是参考文献[3]，其中研究了宏观热力学变量的平衡不可逆弛豫过程。最近，参考文献[4]重新讨论了路径概率问题。然而，在这项工作中，似乎仍有一些关于行动功能的问题有待澄清。我们的目的是基于泛函方法发展随机过程中的路径概率理论。首先，我们推导了与朗之万方程有关的路径概率分布函数的一般公式。然后，我们研究了过阻尼极限，在该极限下，公式被大大简化。作为副产品，现阶段，对参考文献[4]中关于功能作用的陈述进行了澄清和修改。为了得到一个有限测度，我们进一步考虑了在一维“管”或“带”中找到路径的概率，其中心由给定路径指定。特别是，在那里，我们采用了受量子力学中连续测量概念启发的高斯滤波方法[5]。我们在将该公式应用于金融中股票价格的随机动力学时讨论了这些问题。2.路径概率路径概率分布函数定义如下：P[x]=！十、其中！X！X“”#$%是由！X！X“”#$%=！X（t）！X“（t）t&（2）和符号给出的增量函数！t是连续的无穷乘积。

归一化条件用函数积分表示：Dx P[x]=1！，其中dx是测量的功能集成x！“td x（t）。假设x！（t）是单位质量为d2x（t）dt2=！！dx（t）dt+fx（t）（+2D！（t）（3）的粒子朗之万方程的解，定义在一个时间间隔内，0<t<t。这里，！和d分别是摩擦系数和扩散系数的正常数。fx（t）（）是一个确定的力项，而！（t）是无偏高斯白噪声！（t）！=0，！（t）!（t\'）=（t！t’）（4）为了以后的方便，从噪声中提取扩散系数，如式（3）所示。爱因斯坦的关系式表明，在平衡状态下，！Dis Boltzmann常数乘以环境温度，其影响由噪声表示。p[！]给出了！（t）分布的显式形式=下一个！12d t！2（t）“#$%&\'（，（5）其中是标准化因子，该符号将在后续讨论中常用。特定数量的平均值，Q（！），超过噪音用Q（！）表示=DQ（！）！p[！]，用这个等式（4）可以立即确定。实际上，归一化因子在形式上是不同的。有一些方法可以将其规范化。一种可能的方法是离散时间参数。这个问题将在后面一个明确的例子中讨论（见第5节）。让我们计算方程（1）中解x的路径概率！（t） 式（3）的结果。为此，我们将等式（3）改写为！（X）“d2X（t）dt2+！dx（t）dt#fx（t）（#2D！（t）=0.（6）然后，保持以下等式：！！（X）[=Det！！！X“#$%”和“（1！X（X）”#。

（7） 右边delta函数前面的因子表示byDet给定的函数行列式！！x（t）（）！x（t\'）“#$%&\'=Dett，t\'d2d t2+”dd t（F\'x（t））“#$%&\'！（t（t\'））*+，+-.+/+，（8）式中，F\'（x）=df（x）/dx。值得注意的是，在对朗之万方程的解施加时间边界条件之前，这个量的值是不固定的。然而，我们在这里没有明确规定这样的条件。将式（7）代入式（1），我们得到以下通式：P[x]=NDet！！！x“#$%&”exp（14ddt！！x（t）+！！x（t）（fx（t）（“#%&20T）*+，-）/0，（9）其中，超调意味着相对于时间的差异。这表明指数中的量与量子力学欧几里德路径积分方法中的普通作用泛函有着根本不同，这与文献[4]中的说法形成了对比。3.过阻尼在许多重要系统中实现的过阻尼极限的特殊情况下，可以忽略等式（3）中左侧的惯性项，从而使等式（6）为！（X）“！dx（t）dt#fx（t）（#2D！（t）=0.（10）相应地，路径概率readsP[X]=NDett，t\'！dd t！F\'X（t）（）”#$%&\'！（t！t\'）（）*+，！exp“14Dd t！！x（t）”fx（t）（#$%和20T\'（）*+，-.+。（11） 从今以后，！为了简单起见，被设置为等同于统一。指数中的因子可能看起来像一个作用泛函（参考文献[4]中假设的“似乎是拉格朗日作用”），但这种解释似乎并不合适，因为它的“类似动力学的术语”来自摩擦。等式（11）中的函数行列式有一个简单的封闭形式[6]。

首先，我们回忆一下公式：Det M=exp Tr ln M（），其中M（t，t\'）=dd t！然后，我们用K（t，t\'）=！（t！t\'）！F\'x（t\'）（）G（t！t\'），（13）其中G是格林函数满足dd tG（t！t\'）=！（t！t\'）。（14）式（14）的通解由G（t！t\'）=！”（t！t\'）！（1！！）（t\'！t），其中！是常数，而！（t）是阶梯函数：！（t）=0，1/2，1fort<0，t=0，t>0。其傅里叶积分表示为：G（t）=d！！G（！）！exp（i！t）。作为时间边界条件，我们施加它！G（！）在综合体的上半部分是分析性的！平面与保证因果关系的Kramers-Kronig色散关系类似。然后，特殊的解决方案是！=0，引导toG（t！t\'）=！！（t’！t）。（15） 将常数exp Tr ln（d/dt）[]吸收到归一化因子中，并展开对数，我们发现n Det K（）=！！在右手边，只有第一个术语幸存下来，这就产生了Det K（）=！12df\'0T x（t）。（17） 因此，我们有p[x]=Nexp！其中L（x，！x）=14D！x（t）！fx（t）（“#$%2+12F\'x（t）（=14D！x2（t）！vx（t）（+ddt！x（t）（，（19）式中v=！（1/2）F\'+F2/（2D）#$%和！=！1/（2D）[]d x\'F（x\'）x（t）”。式（19）中的L可能看起来像拉格朗日函数，但再次指出！x（t）来自摩擦力。4.

沿给定路径在管内的路径概率：连续量子测量的模拟让我们在过阻尼极限下研究在给定典型宽度的管内找到路径（即带）的概率。特别地，我们讨论了类似Ornstein-Uhlenbeck过程[1]的这个问题，其中式（10）中的F由F（x）=！kx，（20），其中k是常数。在这种情况下，等式（11）中的函数行列式变为常数，与x无关，因此可以被标准化因子吸收。因此，路径概率readsP[x]=Nexp！14Dd t！x（t）+kx（t）[]20T“#$%&\'（）&.（21）现在，考虑在一个频带内找到路径的概率是很有意义的，该频带的中心由某条路径x*（t）给出.为了避免额外的复杂性，这里让我们考虑这样一种情况：沿着这条路径，带宽保持不变。这种概率可以通过使用过滤函数w！来计算！。为了简单起见，这里我们使用高斯滤波器：w！[x；x*]=exp“12！2d t0T#x（t）”x*（t）$%和\'2（）*+，-.+，（22）在哪里！代表模糊带的固定典型宽度。然后，我们将在带内找到路径的可能性定义为：P！“Dx P[x]w！#[x；x*]，（23）在区间[0，T]中定义的所有可能路径上执行函数积分。在极限范围内！”#，W收敛到统一，因此过滤器被移除。因此，我们有！“#P！=1.（24）我们提到，上述操作类似于连续量子测量[5]中的操作。

应用于股票价格动力学现在，我们将上述理论应用于股票价格的随机动力学。设（t）为时间t时公司的股价。它满足以下随机方程：ds=uS d t+！S d W，（25），广泛用于与Black-Scholes投资组合理论相关的研究[2]。u是回报率，然而！是与方程式（10）中的2din相对应的波动率。和！为了简单起见，假定为常数。d是满足W（）2=d t.（26）d W对应的维纳过程！d t，去哪！是之前讨论过的噪音。等式（25）描述了一个乘法过程，因为S和D W的乘积的存在，这使得它与S的正性质一致。改变变量asX=ln S是有用的。（27）那么，X的实现可以取任何实数。注意等式（26），发现X的等式为X=u！！22“#$%&\'dt+！dw，（28）现在描述了一个加法过程。这个方程可以被改写成！（X）=dx（t）dt“F0”！”（t） =0，（29）其中f0！u“！2/2是一个常数。因此，公式（10）（带！！1）在该模型中进一步简化，路径概率分布函数由p[x]=Nexp！12！2d t！x（t）！F0“#$%20T&\'（）*+，-*”给出。（30）现在，我们希望对当前系统的等式（23）中的量进行评估。这里的一个问题是，由于时间的连续性，标准化因子（如等式（30））在形式上是发散的。为了得到一个有限值，我们对时间进行离散化。

在下文中，我们将详细讨论这一点。我们除以区间[0，T]并定义离散时间0=t0，t1，t2。。。，tN=T{}，其中tN=n！t（n=0，1，2，…，n）与！t=t/N。然后，我们用以下形式重新表达等式（30）：P[x]=Nexp！12!!2xn！xn！1“t！F0#$%和（2n=1N）*+，-，./，0，，（31），其中xn！x（tn）=x（n“t）和！！2=!2/ !t、 连续极限意味着！“还有！！2！”具有2.保持固定。类似地，等式（22）中的滤波器变成sw！[x；x*]=exp“12！！2xn”x*n（）2n=1N#$%&\'（），（32）其中！！2= !2/“t.则不必包含=0项，因为初始条件通常是指定的。因此，在模糊带内找到路径的概率由p！=N（！）d xmm=1N“#$$%！exp”！xn“xn”1“F0#t（）2“xn”x*n（）2$%和\'（）n=1N*。（33）这里，dxmm=1N！是函数积分的离散化。！和都是由！=1 / 2!“2（！t）2”#$%和！=1 / 2!!分别为2（）。需要注意的是，归一化因子仅取决于！。可以进行多重高斯积分，yieldingP=N（！）“Ndet A（N）（！，#）e”S，（34）whereS=1det A（N）（！，”！ndet A（N！N）（！，“”“#$%x*N！x0！F0n&t（）2n=1N\'（）*+！2“n！mm，n=1（m<n）n”det A（n！n）（“，！）#$%&数据B（m！1）（“，！）#$%&！x*n“x*m”（n“m）F0#t$%和\'2}.（35）在这些方程中，A（n）（！，”）和b（n）（！，”）是由A（n）（！，”）给出的对称矩阵+\"!!0 ! 0!!2!+\"!!!0 !!! 0\" 2!+\"!!0 ! 0 !! !+“#$$$%”和“，（36）B（n）（！，”=2！+”！！0 ! 0!!2!+\"!!!0 !!! 0\" 2!+“！！0！0！！2！+”#$$$$$$%和“，”（37）。特别是，det A（0）（！，”=det B（0）（！，”）！1，det A（1）（！，”=）+“anddet B（1）（！，”）=2+“在等式（35）中理解。等式中矩阵之间的唯一区别。

（36）和（37）在它们的（n，n）元素中。回忆那极限！“#对应于！！0，我们在公式（24）中找到归一化条件，使其屈服（！）=详细说明A（N）（！，0）/“N=（！/”）N/2。因此，我们得到以下概率表达式：P！=！Ndet A（N）（！，“）e”S.（38）最后，让我们进一步评估等式（38）中关于路径x*的几个简单例子：（i）最可能路径和（ii）常数路径。（i） 最可能的路径。如等式（30）所示，该路径由等式定义！x*（t）=F0，其离散化为x*n！x*n！1=F0“t。满足初始条件x*0=x0isx*n=x0+F0n！t的解。（ii）恒定路径。在这种情况下，解保持为初始条件x*n=x0。在图1中，我们给出了两种情况下（i）和（ii）的时间t的p！曲线图如上所述。正如预期的那样，与最可能路径相关的概率大于恒定路径的概率（两种情况下通常采用的初始值除外）。图2显示概率按指数规律衰减。这些结果可以让我们在有限的不确定性下估计未来股价的价值。6.结束语我们基于泛函方法展开了关于粒子/步行者经历随机运动的路径概率的讨论。我们导出了路径概率分布函数的一般公式，并计算了它的过阻尼极限。通过这些，我们澄清了关于参考文献[4]中所述的功能性行动的问题。然后，我们考虑了在模糊管/带内找到路径的概率，其中心由某条路径给出。