强劲的金融泡沫

换句话说，如果βt:=St，则在时间t出现气泡- s*t> 0。为了更好地理解在模型不确定性下资产基础价值的正确概念，我们首先对金融泡沫的经典文献中如何对这一概念进行建模进行了简短的调查。为了简单起见，我们将从考虑有限的时间范围开始。那就让我们∈ R+b等于τ≤ T我们注意到，在这种情况下，每t的Wt=stt∈ [0，T]，如果Xτ=Sτ，将在本节中假设。3.1经典基本价值模型当存在唯一的先验P时，我们可以识别两种确定金融资产基本价值的主要方法。在一种情况下，参考[1]、[12]和[13]，这被定义为风险中性测量下资产的贴现未来收益。这意味着如果Q∈ Mloc（S），其中Mloc（S）d表示S的所有等价鞅测度集，即基本值S*= （S）*t） t∈[0，T]由s给出*t=每t的等式[ST | Ft]∈ [0，T]，其中T是固定的时间范围。气泡的概念取决于以下区别：LOC（S）=MUI（S）∪ MNU I（S），其中MUI（S）是度量Q的类别≈ P使得S是Q和MNU I（S）=Mloc（S）\\MUI（S）下的一致可积函数。因此，市场泡沫是建立在投资者的观点之上的：如果她按照a Q行事∈ 梅（W）然后她会看到n o泡泡；相反，如果R∈ MNU I（W）被认为是正确的市场观点，认为会出现资产泡沫。从这个意义上讲，泡沫的概念是动态的：泡沫的产生或破灭取决于投资者如何改变对市场的看法。如果市场是完整的，情况就简单了。由于Mloc由一个独特的元素组成（如果通常的NFLVR条件成立，它必须存在），要么从一开始就有气泡，要么根本没有气泡。

这一结果与金融泡沫的第二种主要方法（见[25]和其中的参考文献）一致，其中的基本价值与价格一致。用L+（Ft）表示可测量的随机变量集，取[0]中的P-a.s.值，∞), 超级复制价格由πt（S）给出：=ess inf{v∈ L+（英尺）： θ ∈ Θtwith v+（θ·S）T≥ STP- a、 s.}代表t∈ [0，T]和一类适当定义的投资策略，仅在区间[T，T]上与0不同。给定对偶性（见[14]）πt（S）=supQ∈Mloc（S）EQ[ST | Ft]，（3.1）如果完整市场中存在泡沫，则超级复制价格必须低于市场中观察到的资产的实际价格。这两种方法之间的差异出现在不完全市场的背景下。考虑到超级应用二元性（3.1），只要MUI（S）6= 那么就没有泡沫了。泡沫本身和泡沫诞生的概念发生了变化。在t=0时，超级复制价格和市场价格可能相等，但在t>0时，它们可能会不同（见[25]中的示例3.7）：在t是泡沫产生的时候。在这里，资产的“泡沫价格”是由这样一个事实给出的，即我们最终可以获得相同的财富，但利用一种初始价格较低的投资策略。尽管如此，考虑到一系列可接受的策略，我们仍然无法从中获利：我们需要在资产上做空，在超级复制策略上做多，以在终端时间产生确定的利润，但这样做会降低（0，t）中无限损失的风险。

在这种情况下，如果存在泡沫，那么任何投资者都会感觉到泡沫，这取决于特定的Q∈ Mloc选择托普里斯或有索赔。最后，我们给出了一个有趣的结果，它将上述两种设置联系起来。我们证明了如果没有Q∈ Mloc排除了[1]或[13]意义上的bubble，那么在基本价值由超级复制价格给出的情况下，也存在泡沫。提议3.1。设S=（St）t∈[0，T]是在满足通常条件的过滤概率空间中的连续适应过程。如果Mloc（S）=MNU I（S），则在∈ [0，T）这样就可以了∈Mloc（S）均衡器[ST | Ft]。证据我们用矛盾来争论。如果我们假设st=supQ∈每t的Mloc（S）等式[ST | Ft]∈ [0，T]，在（3.1）中定义的过程π（S）是eachQ的Q-局部鞅∈ Mloc（S）。这意味着，根据[14]中的定理3.1，最小规模的超级复制投资组合是自我融资的，因此存在“Q”∈ Mloc（S）∩与假设相矛盾。备注3.2。在占支配地位的情况下，也有可能得到相同的结果，即当考虑Mloc时，我们看Q={Q∈ P(Ohm) | Q<< P、 S是Q-局部鞅}。在这种情况下，如果Q是m-稳定的，则可以确定资产的基本价值*t=ess supQ∈QEQ[ST | Ft]，适用于任何t∈ [0，T]（关于这个结果和m-稳定性的定义，我们参考[6]）。然而，由于Q中的测度s相当于P在Q中是稠密的（再次参见[6]），因此它保持不变*t=ess supQ∈QEQ[ST | Ft]=supQ∈Mloc（S）EQ[ST | Ft]，因此，命题3.1也适用于这种情况。3.2稳健的基本价值我们从一些考虑因素开始本节，这些是我们对泡沫稳健模型的要求。

它们如下：（i）当Q归结为一个单子时，模型必须崩溃为上一节提到的两种方法之一。这已经告诉我们，robus t的基本价值应该根据一些条件期望来定义。（ii）如果在1 Q以下检测到气泡∈ Q、 这并不意味着泡沫必然存在。所需的第一步是为基本价值引入一个稳健的概念，该概念可以在我们的环境中有意义地使用。与套利类似，第一次尝试是在存在Q的情况下定义资产泡沫∈ Q的基本价值低于市场价值，而在所有其他前提下（低于或）相等。这种幼稚的第一定义并不恰当，因为任何经典的泡沫都将转变为强劲的泡沫。为了克服这个问题，我们可以决定在每一个问题下定义一个“Q-基本值”。为了与现有文献保持一致，并恢复[13]的传统设置，当Q仅由一个概率度量组成时，我们可以定义*,Qt=EQ[ST | Ft]是Q下的基本值∈ Q.这类Q-基本值实际上是不可聚合的（G-设置已经是这种情况，见[26]）。直觉建议定义一个问题所在的情况*,Qt<St）>0每Q∈ Q和一些t>0。或者说，如果资产S永远是Q泡沫，我们会说它是aQ泡沫∈ 问：在这里与套利的概念进行类比是很自然的。在[29]中，稳健套利被定义为一种交易策略，要求初始财富为零，但不包括准绝对损失（即所有Q-a.s.）∈ Q） 并在至少一个Q值上以正概率提供正增益∈ Q

通过进一步要求robus t套利应产生对所有Q都具有正概率的收益，可以加强这一定义∈ Q、 但这太强烈了。这正是我们对强劲泡沫的首次定义中隐藏的问题。还有一个更深层次的问题，这是我们框架的本质所特有的。在一个本质上不完整的市场模型中，由于缺乏线性定价系统，“预期未来收益”的概念不能立即从经典设置转换为不确定性下的建模。我们在上文中提出的对Robust基本价值的最天真的定义实际上与这个概念有关，因为它与[13]的方法一致，即当Q降为单态时。这种对超级大米基本价值的定义提供了清晰的财务解释，更适合这种情况。定义3.3。我们称稳健的基本价值为过程S*= （S）*t） t∈[0，T]在哪里*t=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]，Q- a、 s.（3.2）每Q∈ Q、 其中Q（t，Q）={Q′∈ Q:Q′=Q在Ft}上。如果存在一个停止时间τ，使得q（Sτ>S），则存在一个鲁棒气泡*τ） >0表示一个Q∈ Q.我们用β=（βt）t表示强健的气泡∈[0，T]，其中βT:=St-s*t、 （3.3）与之前的定义相反，并非所有情况下都需要泡沫才能产生强劲的泡沫。与稳健套利概念的相似之处现在变得显而易见。由于S是一个正的Q-局部鞅，因此是一个Q-超鞅，我们有≥ s*t、 Q- a、 永远的s·y·t∈ [0，T]和Q∈ Q.如果存在一种情况（概率度量Q），那么现在市场在一个惊人的时间τ存在一个强劲的泡沫∈ Q） 这样一来，目标价值小于具有正概率的市场价值，并且所有与“Q on Fτ”一致的概率都同意这一观点。

特别是要求（ii）变得更加明显：wh enQ*t<St）>0，则对任何Q′都适用∈ Q（t，Q）。我们对强劲泡沫的定义将基本价格由超级复制价格给出的方法扩展到了不确定性下的框架。在这一点上必须格外注意。由于[17]中的结果*如果Q族饱和，即如果每个Q∈ 等价于Q的Q allsigma鞅测度包含在Q中*= inf{x∈ R: H∈ H带x+（H·S）T≥ STQ- a、 为所有人服务∈ Q} 我们在下面的命题中可以看出，它与具有独特先验的文献之间的联系是显而易见的。提议3.4。设P={P}，则鲁棒基本值（3.2）与经典的超复制价格，即ess supQ一致∈QEQ[ST|Ft]=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]a.s.（3.4）证明。注意，如果P={P}，那么Q={Q|Q≈ P、 Q ELMM}是由相互等价的度量组成的。我们同意这一点∈Q（t，Q）EQ[ST|Ft]=ess supQ\'∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]a.s.（3.5）对于每个Q，Q∈ Q通过一个类似于[6]中命题9.1的度量粘贴论证。这有助于总结asess supQ∈QEQ[ST | Ft]≥ ess supQ\'∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]，但（3.5）也保证了supQ∈QEQ[ST | Ft]≤ ess supQ∈Q（ess supQ′）∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]）=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]。假设Q∈ Q\\Q（t，Q），否则这个声明是微不足道的。我们注意到，对于每个Q，dqdp | Ft=dQidP | Ft:=Zit∈ Q（t，Qi），i=1，2。这一点很清楚，因为∈ Ft，它必须保持EP[ZitA]=EQi[1A]=Qi（A）=Q（A）=EQ[1A]=EPdQdP | FtA.定义n owZs:=Zs{s≤t} +ztztzt{t<s}，这是ELMM的Radon-Nykodim导数，如[6]中的命题9.1所证明。

与（Zs）s有关的测度Q′∈[0，T]因此属于Q（T，Q）且满足Q′[ST|Ft]=EP[STZT|Ft]Zt=ephstztzt|FtiZt=EP[STZT|Ft]Zt=EQ[ST|Ft]。这就是为什么每个Q∈ Q（t，Q）存在一个Q′∈ Q（t，Q）使得EQ′[ST|Ft]=EQ[ST|Ft]。这足以建立（3.5）。备注3.5。请注意，在命题3.4中，我们可以考虑几乎确定的等式asP={P}，我们正在处理一组等价于P的鞅测度。饱和是一个条件，我们不在我们的模型上强制执行，但如果每个Q-市场都是完整的，它会自动生效。在所有其他情况下，泡沫的产生可能是因为市场价格和超级复制价格之间的差异，也可能是由于质量差距∈QEQ[ST]≤ inf{x∈ R: H∈ H带x+（H·S）T≥ STQ- a、 为所有人服务∈ Q} 。第二种情况正是[5]中考虑的一种情况，目的是检测一个稳健的泡沫。这意味着*在投资者考虑的模型中，至少可以被视为最差的模型价格。3.3属性和示例MMA 3.6。鲁棒泡β是每个Q的正Q-局部子鞅∈ Q、 这样，βT=0q.s。此外，如果存在气泡，s不是Q-鞅。证据这紧跟在fr-om定义3.3之后，因为β是aQ局部鞅和Q-超鞅之间的差异。局部次partin gale的特征一点也不矛盾，因为它似乎是第一眼看到的。事实上，与局部超鞅相反，局部子鞅并不一定是真正的子鞅。有很多非标准行为的局部su BMARTINGALES的例子，如[8]和[21]中所示的均值递减。

举一个明显的例子，必须考虑正局部鞅的类：这类过程是正局部子鞅，也是su置换鞅。通过将[4]中的一个结果与G-期望的上下文相适应，我们可以展示机器人泡沫的第一个例子。备注3.7。我们强调在例3.9、例3.10和例3.11中，资产价格S是每个Q的Q-局部鞅f∈ Q在完成的过滤下fq={FQt}t≥0.然而，作为一个适应F的积极过程* FQ，S也是关于F的aQ局部鞅*, 由于[28]的一个结果，我们在[9]的定理10的公式中引用了这个结果。定理3.8。设X是G的正局部鞅，并假设X与子滤波F相适应。那么X也是F的局部鞅。例3.9。假设位置2.3中的Q=pda，其中e=D=[σ，σ] R+\\{0}。L etS=s>0且ST=s+ZtSu√T- 乌德布，t∈ [0，T）。（3.6）我们通过证明S是每个Q的正EQ局部鞅来证明S是一个具有鲁棒泡沫的价格过程∈ Q、 终端值等于零。为此，让我们先确定一个Q。我们有一个ST=seRt~nSDB-Rt~nsdhB为，t∈ [0，T）.随机积分r·1/√T- SDBS是[0，T]上的Q-局部鞅，因此二次协变量是Z·1/√T- sdBs，Z·1/√T- SDBU≥ -σlnh1-使用[12]中引理5中的相同参数，我们可以证明Limu→TSu=0 Q- a、 s.（3.7）因此我们设置ST=0，使得s在[0，T]上是准连续的。以下是集合{ω∈Ohm : 利木→TSu6=0}是极性的：Q的存在∈ Q使得Q（limu）→TSu6=0）>0实际上与（3.7）相矛盾。

因此S不是任何Q的Q-鞅∈ qaseq[ST]=0<EQ[S]，尤其是它不是一个鲁棒鞅。另一个例子来自将贝塞尔过程的概念应用到第2.4条提案中。例3.10。我们考虑Q=PD，const，其中D R3×3由矩阵（ai，j）i，j=1,2,3组成，因此ai，j=0表示所有的I6=j，a1,1=a2,2=a3,3∈ [1,2]以确定某些值。我们考虑由f（B）=（f（Bt））t给出的过程≥其中f（x，y，z）=（x+y+z）-.由于f是Borel可测的，我们可以计算任意T的s公共线性期望E（f（Bt））≥ 0，根据定理2.2。众所周知，f（B）是所有Q的Q-局部鞅∈ 警察，警官。为了证明价格过程有一个鲁棒b-鞅，需要证明f（b）不是一个PD，常数鞅。这可以使用标准参数来完成，因为我们第一次计算f（英国电信）= supQ∈警察，康斯特克f（英国电信）= 苏帕∈[1,2]（2πat）3/2ZRx+x+xexp-x+x+x2atDX≤ Ct，一些C∈ R+。AsEQf（英国电信）≥ 等式[f（Bt）]，对于任何Q∈ 警察∈警察，康斯特克f（英国电信）≥ supQ∈警察，康斯特克[f（Bt）]，我们有0≤ E[f（Bt）]≤ Ef（英国电信）→ 0，作为t→ ∞. 这防止了E（f（Bt））是常数，因此f（B）不是PD，常数鞅。在例3.9和例3.10中，风险资产都是严格的Q-局部鞅∈ 问：这意味着在这些情况下，泡沫是在模型中所有可能的先验条件下被接受的。通过稍微修改示例3.10的框架，我们可以得到一个泡泡，它是一个“Q-鞅f”或一个特殊的“Q”∈ 问：因此，尽管泡沫是强劲的，但一个只拥有优先“Q”的投资者不会发现它。这是我们模型的主要新颖之处之一：当泡沫出现时，它将由一个代理识别，该代理的签名集是在任何Q下具有正概率的∈ Q另外，该代理只考虑极性集，即。

那些是∈ F使得Q（A）=0代表所有的Q∈ 问：然而，一个目光短浅的投资者，如果只忽略“Q-nu llsets”，就不会发现泡沫。例3.11。在例3.10中，我们考虑Q=PD，constas，但现在我们选择D，以考虑退化情况，其中存在“Q”∈ Q，这样正则过程总是等于0。我们通过考虑与E x ample3中相同的设置来实现这一点。10，但cho osin g a1,1=a2,2=a3,3∈ [0, 2]. 与例3.10完全一样，f（B）是每个Q的aQ局部鞅∈ Q.然而，在“退化周期”Q下，与波动率始终等于0相关，每个过程都变成了确定性。这特别意味着f（B）是一个真的Q-鞅，而对于所有Q是一个严格的Q-局部鞅∈ Q\\{Q}。关于金融泡沫的例子通常是通过显示具有严格局部鞅行为的特定资产动力学来获得的。这里我们给出了一个鲁棒性泡沫的例子，我们将注意力集中在不确定性框架中概率度量的选择上。例3.12。我们在此采用【18】中介绍的财务模型。关于第2节中的设置，主要区别在于我们考虑lawsQα的设置：o（Xα）-其中Xαt:=Ztα1/2sdBs，t∈ [0，T]。（3.8）在（3.8）中，Qdenotes是维纳测度，而α在所有F-渐进可测量过程中的范围，其值为S+dsatisfyingRT |αS | ds<∞ Q-a.s.这里是s+d Rd×Dre表示所有严格正有限矩阵的集合，（3.8）中的随机积分是Q下的It^o积分。根据以下定义，集合Q在粘贴时要求稳定。定义3.13。