强劲的金融泡沫

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英文标题：
《Robust Financial Bubbles》
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作者：
Francesca Biagini and Jacopo Mancin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study the concept of financial bubble in a market model endowed with a set of probability measures, typically mutually singular to each other. In this setting we introduce the notions of robust bubble and robust fundamental value in a consistent way with the existing literature in the case a unique prior exists. The notion of no dominance is also investigated under the uncertainty framework. Finally, we provide concrete examples illustrating our results.
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中文摘要：
我们在一个市场模型中研究金融泡沫的概念，该模型具有一组概率测度，通常是相互单一的。在这种背景下，我们引入了稳健泡沫和稳健基本价值的概念，在存在唯一先验的情况下，与现有文献一致。在不确定性框架下，也研究了无优势的概念。最后，我们提供了具体的例子来说明我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-10 19:41:33 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Illustrating mathematica Probability

强劲的金融泡沫Francesca Biagini*雅格布·曼辛*2018年8月25日摘要我们在一个市场模型中研究金融泡沫的概念，该市场模型具有一组概率测度s，通常是相互奇异的。在这个背景下，我们引入了鲁棒泡泡和鲁棒基本值的概念，在P={P}的情况下，以与现有文献一致的方式。在不确定性框架下，研究了非显性的概念。最后，我们提供了具体的例子来说明我们的结果。关键词：金融泡沫，模型不确定性。AMS分类：60G48、60G07、91G99。1简介近年来，气泡的数学模型化引起了越来越多的关注。尽管关于这一主题的文献很多，但对金融泡沫的描述通常基于两个主要因素：资产的市场价值和基本价格。由于第一种方法只是由代理人观察到的，因此内在价值的建模是不同方法之间差异产生的地方。在经典设置中，考虑了具有一个先验的模型，主要方法由气泡的马尔廷格尔理论给出（我们引用了[1]、[12]、[13]和[24]）。根据该理论，最终价值被定义为未来贴现付款的预期总和。最近[25]中提出了另一个定义，其中基础价值被假定为资产的超复制价格。所有这些模型的共同基础是开始选择过滤概率空间和使用一个先验。在本文中，我们旨在通过提出一个在不确定性条件下连续时间金融市场中泡沫形成的框架，为现有文献做出贡献。

通过这样做，我们可以让投资者考虑更广泛的模型集，并就所有模型所设想的情景做出稳健的决策。市场价值仍将是外生的，但基本价值仍将是外生的*德国慕尼黑路德维希马西米兰大学数学系金融和保险数学工作组，地址：特雷西恩斯特拉39号，邮编：80333。电子邮件：biagini@math.lmu.de,mancin@math.lmu.dea与古典文学有很大不同的解释，并产生意想不到的后果。我们假设代理人被赋予一系列局部鞅测度，每一个都指定了金融资产的可能动态。根据[19]中的结果，假设2.1中所述的先验集满足一些正则条件。在模型不确定性文献中的各种框架中（例如参见[3]、[22]、[27]和[29]），这种选择有几个原因。该模型保证了时间一致的次线性预期的存在，并已在许多近期的工作中用于研究随机金融中的一些经典问题，例如不存在套利和超复制价格（参见示例[2]、[17]、[18]和[20]）。此外，它还包括两个最有趣的波动率不确定性模型，即G-设定（见[22]）和随机G-设定（见[16]），同时考虑到停止时间的可处理性。在存在不确定性的情况下，泡沫的概念更容易定义。其中一个问题在于提供稳健的基本价值观的适定定义*= （S）*t） t≥给定金融资产的0 S=（St）t≥0:robust bubbleβ=（βt）t≥0将再次成为S和S之间的差异*. 当P={P}时，不仅基本值需要与现有文献一致，而且还必须排除一些琐碎的情况，例如：。

潜在P市场中的泡沫，决定是否存在泡沫。由于在这种情况下，我们没有线性定价系统，并且由于在当前模型中很难转换贴现未来薪酬的风险中性评估概念，因此我们选择通过超复制价格来描述稳健的基本价值，参见定义3.3，扩展了[25]的方法。在第3.2节中，我们准确地讨论了这个问题。我们方法的一个主要创新之处是，在每个P-市场下，气泡的P-局部子鞅行为，也就是说，当在一个代理人的视角下进行研究时，该代理人只拥有家族P中的一个先验P。这以一种自然的方式概括了文献中经典模型中显示的局部鞅动力学，并允许在静态模型中描述泡沫的诞生及其大小的增长，即不影响投资者对市场的看法。事实上，在[1]中对某些情况也描述了同样的子鞅行为主义，但它是从先验测度平稳转移到另一种测度的结果。据我们所知，这种对泡沫的描述是新的，因为它与[5]中概述的rob ust环境也有所不同，在[5]中，泡沫是由于在不同的环境中对可能的交易策略的限制而产生的。我们模型的另一个有趣的特点是，在潜在的P市场中，人们对强劲泡沫的看法是：事实上，泡沫可能不会被视为f或某些特定的先验因素。或者，对于某些P-鞅，产生强劲泡沫的资产可能是真P-鞅∈ P

在这方面，我们的结果代表了[25]设置的一个相关扩展，其中市场泡沫排除了真鞅测度的存在。最后，我们研究了无优势的概念，在模型不确定性框架中提出了其稳健的对手，并研究了其对不确定性概念的影响。论文的结构如下。在第2节中，我们概述了符号和财务模型。特别是，我们将回顾[19]中的结果，并构造一组满足假设2.1的新先验。在第3节中，在回顾现有文献后，我们讨论和研究了鲁棒泡沫和鲁棒无优势的概念，并通过具体例子说明了我们的结果。在第4节中，我们通过检查时间范围不受限制的情况得出结论。2.设置我们考虑的是一个金融市场，其概率测度通常为非显性Ohm = C（R+，Rd），连续路径空间ω=（ωs）s≥0，ω=0，具有局部一致收敛的拓扑结构。我们用F表示上的Borelσ场Ohm. 我们对次线性期望ξ7感兴趣→ E（ξ）：=supP∈PEP[ξ]，诱导时间一致的条件次线性期望。由于这个原因，必须对先验集合和随机变量施加一些条件。给定过滤F的停止时间τ：={Ft}t≥0由标准过程生成，主要的技术问题是保证eτ（ξ）=ess su pP′的∈P（τ，P）EP′[ξFτ]P-a、 s.为所有人P∈ P、 （2.1）式中P（τ，P）={P′∈ P:P′=P在Fτ上，被定义为条件次线性期望算子。在文献中，这个问题是通过不同的方法解决的，通常是通过缩小先验集P或要求随机变量具有强正则性。

我们引用[3]、[18]、[19]、[23]和[27]来提及关于这个主题的一些论文。我们选择将自己置于[19]的背景下，因为它概括了G-期望和随机G-期望的框架，并提供了一些关于停止时间的可操作性，这在G-设置中仍然是一个悬而未决的问题。为了完整起见，我们总结了我们对setP实施的假设，如[19]所述，以及由此引入的符号。让P(Ohm) 是所有概率测度的集合(Ohm, F） 具有弱收敛的拓扑结构。对于任何停止时间τ，ω，＠ω的串联∈ Ohm atτ是路径（ωτω）u:=ωu[0，τ（ω））（u）+（ωτ（ω）+ωu-τ(ω))1[τ(ω),∞)（u） ，u≥ 0.给定一个函数ξonOhm ω∈ Ohm, 我们定义了上的函数ξτ，ωOhm 通过ξτ，ω（＠ω）：=ξ（ω）τ~ω), ~ω ∈ Ohm.对于任何概率测度P∈ P(Ohm) 存在一个正则的条件概率分布{Pωτ}∈Ohm给定Fτ。这就是Pωτ∈ P(Ohm) 对于每个ω，而ω7→ Pωτ（A）isFτ-对任何A可测量∈ F andEPωτ[ξ]=EP[ξ| Fτ]（ω）表示P- a、 e.ω∈ Ohm,只要ξ是F-可测且有界的。此外，Pωτ可以选择集中在与ω到时间τ（ω），Pωτ{ω′重合的路径集上∈ Ohm : ω′=ω在[0，τ（ω）]}=1上表示所有ω∈ Ohm.我们定义了概率测度Pτ，ω∈ P(Ohm) byPτ，ω（A）：=Pωτ（ω）τA），A∈ F、 当eωτA:={ωτ~ω : ~ω ∈ A} 。然后我们得到P的恒等式EPτ，ω[ξτ，ω]=EPωτ[ξ]=EP[ξ| Fτ]（ω）- a、 e.ω∈ Ohm.我们接下来回顾[19]中解析集理论的一些基础知识。如果波兰空间的子集是另一个波兰空间的Borel子集在Borel可测映射下的图像，则称其为分析空间。特别是任何Borel集都是解析的。解析集的集合在可数交和并下是稳定的，但在互补下一般不稳定。

而且每≥ 0 FTI的普遍完备性是σ-场F*t=∩PFPt，其中P表示fta上的所有概率测度，F表示P下fta的完成。我们用F表示*过滤{F*t} t≥0.对于每个（s，ω）∈ R+×Ohm 我们定义了一个集合P（s，ω） P(Ohm). 假设P（s，ω）=P（s，ω），如果ω|[0，s]=|ω|[0，s]。然后，我们陈述了[19]中的假设2.1。假设2.1。设（s，’ω）∈ R+×Ohm, 设τ为停止时间，使τ≥ s和P∈ P（s，\'ω）。集合θ：=τs，\'ω- s、 （i）可测性：g图{（P′，ω）：ω∈ Ohm, P′∈ P（τ，ω）} P(Ohm) × Ohm 是分析型的。（ii）不变性：我们有Pθ，ω∈ P（τ，ω）sω）对于P-a.eω∈ Ohm.（iii）粘贴下的稳定性：如果ν：Ohm → P(Ohm) 是Fθ-可测核和ν（ω）∈P（τ，ω）sω）对于P-a.eω∈ Ohm, 然后由‘P（A）=Z（1A）θ，ω（ω′）ν（dω′；ω）P（dω），A∈ F（2.2）是P（s，\'）ω的一个元素。利用前面的条件，[19]中的定理2.3证明了以下g.定理2.2。让σ≤ τbe停止时间和ξ：Ohm →R是一个上半解析函数。在假设2.1下，函数τ（ξ）（ω）：=supP∈P（τ，ω）EP[ξτ，ω]，ω∈ Ohm是F吗*τ-可测和上半解析。对于所有ω，moreoverσ（ξ）（ω）=Eσ（Eτ（ξ））（ω）∈ Ohm. （2.3）此外，Eτ（ξ）=ess su pP′∈P（τ，P）EP′[ξFτ]P- a、 s.为所有人P∈ P、 （2.4）式中P（τ，P）={P′∈ P:P′=P在Fτ上，特别是σ（ξ）=ess supP′∈P（σ，P）EP′[Eτ（ξ）|Fσ]P-a、 s.为所有人P∈ P.（2.5）我们最终称为P-鞅，一种适应的随机过程M=（Ms）s≥0使得E（Mt）对于每个t是有限的，而Mt=Et（Mt）对于任何t是有限的≥ t、 w的特殊P-鞅-M是P-鞅，称为P-对称鞅。[19]的一个重要结果是，G-期望框架可以纳入上述模型。

更准确地说，考虑鞅测度集m={P∈ P(Ohm) : B是一个局部P-鞅}，其中B={Bu（ω）}表示正则过程，其子集tma={P∈ M:hBiPis绝对连续P-a.s.}，其中hBiPis是P下B的Rd×d值二次变化过程，绝对连续性指的是勒贝格测度。我们在此报告[19]中的命题3.1。提议2.3。setPD={P∈ Ma:dhBiPt/dt∈ dp×dt- a、 其中D是Rd×D的非空、凸和紧子集，满足假设2.1。众所周知，次线性期望（ξ）：=supP∈PDEP[ξ]给出了LG中拟连续函数空间上的G-期望。在下一个命题中，我们证明了集PD，const PDof恒定波动率情景符合假设2.1。这个结果对第3节的例子起着关键作用。提议2.4。setPD，const={P∈ PD:Dhbit/dt对于所有Tp都是常数- a、 其中D是Rd×D的非空、凸和紧子集，满足假设2.1。证据我们按照定理4.3中的步骤，将证明分为三步。在[19]中，dus使用相同的符号。第一步：引理4.4。在[19]中，通过证明Mais Borel是可测量的=P∈ M:hBit=Zt~nsds P- a、 为所有人服务∈ Q+,式中，φ为Borel可测量值，对应于相对于Lebesgue测量值的hBi绝对连续部分的密度。类似地，它可以表示Pd，const=P∈ M:hBit=Zt~nsds=ct P- a、 为所有人服务∈ Q+，c∈ D.因此PD是可测量的，这足以保证假设2.1中要求的可测量性。第2步：现在τ是一个停止时间，P∈ 文科硕士对于P-a.e.ω∈ Ohm, 我们有pτ，ω∈ Ma，如引理4.7所示。在[19]中。但是如果Q∈ PD，const，我们有Qτ，ω∈PD，const，因为对于所有tqτ，ω-a.s，dhBiQt/dt都是常数。

是Q的正则条件概率分布，这确保了假设2.1的条件（ii）。第3步：为了证明条件（iii）的有效性，我们需要引入更多的符号。让我们∈ R+，τ≥ 让我们停下来，然后‘ω∈ Ohm 和P∈ PD，常数（s，\'ω）。此外，设θ：=τs，\'ω- s、 让我们：Ohm 7.→ P(Ohm) 是一个Fθ-可测核，使得ν（ω）∈PD，常数（τ，ω）对于P-a.s.ω∈ Ohm 并将“P”定义为（2.2）。最后，用^a表示（ω）处的“Rd×d值过程”：=lim supn→∞n[hBit（ω）- hBit-n（ω）]，t>0。（2.6）我们需要证明∈ PD，常数（s，\'ω）。为此，我们注意到，因为外稃4。9.在[19]中，我们唯一需要证明的是（dr×ν（ω））（r，ω′）∈ Jθ（ω），∞J:^ar（ω′）/∈ D、 ^a·（ω′）不是常数= 0，对于P-a.e.ω∈ Ohm, 但这是由（dr×ν（ω））这一事实所保证的（r，ω′）∈ Jθ（ω），∞J:^ar（ω′）/∈ D= 0，如[19]所示。2.1市场模型我们假设我们的市场模型由(Ohm, F） 如上文所述，被赋予一组LMM Q满足假设2.1。我们考虑一个贴现的风险资产，由一个Rd值F*-自适应右连续过程S=（St）t≥0使其路径是Q-Q.s.连续的。设τ>0 q.s.为描述风险资产到期的停止时间，Xτ为τ时的最终支付或清算价值。假设银行账户为常数，等于1。财富过程W=（Wt）t≥拥有资产产生的0由wt:=St{τ>t}+Xτ{τ给出≤t} 。在关于泡沫的标准文献中，通常假定无自由发射的消失风险条件（NFLVR）成立。在多优先级模型的环境中工作时，情况变得更加复杂。事实上，NFLVR还不存在一个健壮的对应物。在[2]中介绍的不确定性条件下的连续时间环境中，实际上只有一个经过充分研究的套利概念（第一类套利（NA））。

然而，在[2]中，绝对连续鞅测度的存在需要引入一个停止时间ζ，该时间ζ导致跳到一个cemeterystate，这在所有P下都是不可见的∈ P，但在某些Q下可能是有限的∈ Q、 其中Q是一组适当的局部鞅测度。因此，尽管有可能从一系列物理测量开始，但[2]的结果需要特别注意ζ的可处理性。这就是为什么在概述的设置中工作时，为了简单起见，我们将假设以下内容的原因之一。假设2.5。我们假设财富过程是每个Q的Q-局部鞅∈ Q.因此，集合Q由LM M构成，在所有Q市场下执行NFLVR。通过这样做，我们同时保证W在所有概率情况下都是经济合理的。此外，在经典设置中，NFLVR意味着NA，并且在不确定性框架中包含的所有先验条件下，稳健的NAI（见[2]），因此有理由预期NFLVR的rob ust版本也将意味着相应的稳健的NA。这个问题本身既有趣又复杂，超出了本文的目的。接下来，我们将介绍市场上允许的交易策略。asin[17]，L（S，Q）表示所有Rd值、F-可预测过程的集合，这些过程对于所有Q都是S-可积的∈ Q.进一步的nq是所有Q的（F，Q）-null集的集合∈ Q.表示G=（Gt）t≥0，其中gt:=F*T∨ NQ。定义2.6。然后我们说G-可预测过程H∈ 如果H·S是每个Q的Q-超鞅，则L（S，Q）是可容许的∈ Q、 我们将所有这样的过程的集合表示为H。3.强劲的泡沫文献中的一个重要部分将泡沫定义为资产的市场价值大于其基本价值的情况*.