强劲的金融泡沫

对于所有的Q，在F粘贴条件下，集合Q是稳定的∈ Q、 σ停止时间取整多个值∧∈ Fσ和Q，Q∈ Q（σ，Q），由Q（A）定义的度量值Q:=EQ[Q（A | Fσ）1∧+Q（A | Fσ）1∧c]，A∈ FT（3.9）同样是Q的一个元素。除此之外，我们保留前面章节中所述的所有其他定义。然后假设一个风险资产S存在一个Qα∈ 资产的qs是一个严格的Qα-局部鞅。例如，我们可以将S作为示例3.9中描述的流程。然后，我们研究这一事实如何产生强大的泡沫。为此，我们考虑一个子集Q qs由Qα给出∈ 其中αs=~αsfor s的qs∈ （t，t]Q-a、 一些t∈ （0，T）。根据定义3.13，在这种要求下，由于[18]中引理3.3的相同证明，集合Q在粘贴时是稳定的。换句话说，我们考虑的是qs的一个子集，其中在时间t之后没有不确定性，并且（t，t）上的演化性意味着在至少一个先验条件下的严格局部鞅∈Q（s，Q |α）EQ[ST | Fs]=EQ |α[ST | Fs]<Ss，这意味着存在一个强大的气泡。现在我们研究robus t和经典Bubbles之间的另一个有趣关系。第3.2节中的论点阐明了Q的存在∈ Q和t∈ [0，T）如此之多∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]意味着所有具有Q′的Q′市场都存在经典意义上的泡沫∈Q（t，Q）。这至少在两种情况下是显而易见的：当每个Q市场都承认aunique ELMM时，或者当基本面价格被描述为未来贴现收益的预期值时。在这两种情况下，我们证明了单一的经典泡沫不能产生一个强大的泡沫，这与直觉相对应。我们通过展示这组先验知识Q来做到这一点∈ 对于S是严格局部鞅的Q，不能是单态。

为了显示这个结果，我们考虑了例3.12中概述的设置。这一选择同时可以简化计算，并推断出关于第2节中概述的框架的一些结论，因为两种模型都可以描述G设置。提案3.14。以例3.12中介绍的财务模型为例。如果“Q”是在停止时间σ和∧粘贴Q、qa和qa∈ Fσ，如（3.9）中所示，对于任何正FT可测量的随机变量Y和停止时间τ，它保持Q[Y | Fτ]=EQ[y1∧Fσ]| Fτ]+EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]（3.10），使得τ（ω）≤每ω的σ（ω）∈ Ohm.证据我们遵循类似于[10]中Lemm a 6.40的程序来证明（3.10）。设τ是一个正的FT可测随机变量。通过（3.9），我们得到了e\'Q[Y]=EQ[EQ[Y|Fσ]1∧+EQ[Y|Fσ]1∧c]，因此，对于任何Y正Fτ-可测随机变量，我们都可以研究e\'Q[Y|1{τ≤σ}]. （3.11）然后可以将（3.11）中的期望写为\'Q[Y~n1{τ≤σ}]=EQ等式[Yа1{τ≤σ} |Fσ]1∧+EQ[Y~n1{τ≤σ} |Fσ]1∧c= 情商等式[Yа1{τ≤σ} ∧| Fσ]+EQ[Y~n1{τ≤σ} ∧c | Fσ]= EQhEQ[EQ[y1∧| Fσ]| Fτ]~n1{τ≤σ}+EQ[EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]~n1{τ≤σ} i（3.12）=E\'QhEQ[EQ[y1∧| Fσ]| Fτ]|1{τ≤σ}+EQ[EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]~n1{τ≤σ} i=E\'Q（EQ[EQ[y1∧| Fσ]| Fτ]+EQ[EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]）ν1{τ≤σ }.因此我们可以得出结论，如果τ≤ σ等式（3.10）成立。推论3.15。考虑通过粘贴Q、qa和qa，在停止时间σ和∧处给出的¨Q∈ Fσ，如（3.9）所示。如果S是严格Q-局部鞅，那么它也是严格Q-局部鞅。证据

作为命题3.14的结果，如果S是一个严格的Q-lo-cal鞅，且σ等于EQ[ST | Fσ]<Sσ，则它保持Q[ST | Fτ]=EQ[EQ[ST∧Fσ]| Fτ]+EQ[EQ[ST∧c | Fσ]| Fτ]=EQ[EQ[ST | Fσ]1∧c | Fσ]+EQ[FτS]≤ Sτ，所以S也是一个严格的Q-局部鞅。3.4不占主导地位在本节中，我们研究了不占主导地位对我们的市场模型的影响。这是一个首次出现在【15】中的概念，我们在定义2.2中所述的严格数学形式中报告了这一概念。[11]对于存在一个u nique priorQ的经典情形。定义3.16。假设金融市场在过滤概率空间中有d种证券（S，…，Sd）(Ohm, F、 F={Ft}t∈[0，T]，P）。如果H是一个F-可预测的S-可积过程，则H是一个可容许策略≥ -a、 一段时间∈ R+。如果没有可容许的策略使得Si+（H·S）T≥ SiTQ- a、 s.和Q（Si+（H·s）T>SiT）>0。如果每一个Si，i∈ {1，…，d}，在[0，T]上是不确定的。很自然，我们会把这个概念带着不确定性转移到我们的环境中，就像我们在下面的定义中所做的那样。定义3.17。考虑一个在一组先验条件下的市场模型。如果没有可容许的策略H，则第i个secu-ritysis在[0，T]上不确定∈ 使si+（H·S）T≥ SiTQ-q、 存在一个q∈ Q使得Q（Si+（H·S）T>SiT）>0。一个市场在每一个Si，i的[0，T]i上满足稳健的非支配地位（RND）∈ {1，…，d}，在[0，T]上不确定。备注3.18。重要的是要注意，与经典情况一样，如果Si在[0，T]上不确定，它也在[0，T′]上不确定，因为T′<T。设Hibe为byHi=（0，…，0，1，0，…，0），1位于位置i。交易策略Hi是可容许的，对于每个Q是一个Q-局部鞅∈ Q

如果[0，T′上有一个支配策略H，则应用策略K=H1{T≤T′}+Hi{T>T′}，我们将得到Si+（K·S）T=SiT+Si+（H·S）T′-坐着≥ SiTq。s、 ，再加上a Q的e xi恶臭∈ Q使得Q（Si+（K·S）T>SiT）>0。ND假设在经典泡沫文学中起着关键作用。我们只是提到两个结果，提醒大家，如果强制执行，这个概念排除了[12]所描述的完整市场模型中的气泡；此外，ND正是在[25]的设置中排除气泡所需的IngCredit，其中基本值是用超级复制价格建模的。在现有的框架中也可以获得类似的结果。引理3.19。假设每个Q∈ Q市场模型已经完成。如果没有优势，那么就不存在强大的泡沫。证据注意，如果每个Q市场都是完整的，[17]的结果保证了质量SUPQ∈QEQ[ST]=inf{x∈ R: H∈ H带x+（H·S）T≥ STQ- a、 为所有人服务∈ Q} 。（3.13）在存在泡沫的情况下，超级复制策略将主导S，与RND相矛盾。因此，在一般情况下，在R ND下，任何气泡都是对偶gapin（3.13）的结果，这是[5]中考虑的情况。我们注意到，一般而言，RND并不意味着每个Q市场的NFLVR∈ 问：事实上，众所周知，在单一的先验设置中，ND比NFLVR更强，但对于每个Q市场，RND暗示ND是先验的，这是不必要的。4有限时间范围我们在这里研究有限时间范围的情况。设τ>0 q.s.为描述风险资产到期的停止时间。反映在{τ=∞} 在这里，我们通过设置来概括（3.2）中建立的鲁棒基本值*t=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[Sτ{τ<∞}|[英国《金融时报》！{t<τ}，Q- a、 s.（4.1）每t≥ 0和Q∈ Q

基本值（4.1）体现了现场时间范围案例（3.2），我们声称其定义良好，如以下命题所示。提议4.1。基本值（4.1）已明确定义。此外，圣∧对于t，τ收敛到Sτq.S→ ∞.证据固定Q∈ Q、 我们知道W是一个Q-超鞅，然后它收敛于t的sτ→ ∞, 因为经典的超鞅收敛定理（见[7]，V.28和VI.6）。因此Wt=St∧τ→ 由于示例3.9中使用了相同的论证，Sτq.S，并且Sτ是Borel可测量的。因此Sτ{τ<∞}是一个Borel可测随机变量，我们可以计算它的次线性条件期望。此外，由于W是一个鲁棒超鞅，通过Fatou引理我们得到（sτ）=Elim inft→∞圣∧τ= supQ∈量化宽松lim inft→∞圣∧τ≤ supQ∈Qlim inft→∞情商（St）∧τ） =supQ∈Qlim inft→∞均衡器（Wt）≤ supQ∈QEQ（W）<∞,这保证了E（Sτ{τ<∞}) < ∞.通过定义过程，我们还引入了稳健基本财富的概念*= （W）*t） t≥0，其中*t:=S*t+Sτ{τ≤t} =ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[Sτ{τ<∞}|[英国《金融时报》！{t<τ}+Sτ{τ≤t} =ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[Sτ{τ<∞}|Ft]，Q- a、 s.（4.2）适用于所有Q∈ 问：在有限的时间范围内定义了一个稳健的泡沫，即βt=St- s*t=Wt- W*t、 每一个t≥ 因此，情况τ=∞ q、 这意味着存在一个强大的泡沫。如[12]所述，在这种情况下出现的泡沫类似于金融货币，是在∞. 我们在此报告[12]中的示例2，以阐明这一点。例4.2。设St=1表示所有t∈ R+擅长赚钱。由于货币永远不会到期，我们有τ=∞, Sτ=1和S*t=0 q.s.适用于所有t≥ 0.Asβt=St- s*t=1 q.s。这意味着资产的全部价值来自泡沫。我们在下面的命题中总结这些结果。提案4.3。

它认为：（i）在存在“Q”的情况下∈ Q和t≥ 0表示\'Q\'（τ=∞) = 1 f或所有“Q”∈ Q（t，`Q），存在一个强大的泡沫。（ii）bubbleβ是每个Q的Q-局部子鞅∈ Q.（iii）财富过程W也可以是存在abubble的Q对称鞅。证据（i）的证明来自（4.2），注意到*t=0\'Q- a、 如hy pothesisτ{τ<∞}= 0\'Q\'- a、 s.为所有人“Q”∈ Q（t，\'Q）。局部次鞅性质源自定义和假设2.5。财富过程可以是Q对称鞅，如例4.2所示。参考文献[1]F.Biagini、H.F¨ollmer和S.Nedelcu。Sh if tin g鞅测度和作为子鞅的泡的慢生。《金融与随机》，18（2）：297–326，2014年。[2] S.比亚基尼、B.布查德、C.卡达拉斯和M.努茨。连续过程的稳健基本理论。将于2016年发表在《数学金融》杂志上。[3] 科恩。一般空间中次线性期望的拟确定分析、聚集和对偶表示。《概率论电子期刊》，17（62）：2012年1月至15日。[4] A.M.G.考克斯和D.G.霍布森。局部鞅、泡沫和期权价格。《金融与随机》，9（4）：477-4922005。[5] A.M.G.考克斯，Z.侯和J.奥布洛。交易限制和局部鞅模型的出现下的稳健定价和套期保值。http://arxiv.org/abs/1406.0551, 2015.[6] 德尔班。m-稳定集的结构，尤其是风险中性度量集，数学课堂讲稿1874卷。，第215-258页。Sp ringer BerlinHeidelberg，2006年。[7] C.Dellacherie和P.Meyer。概率和潜力B.北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，1982年。[8] K.D.埃尔沃西、李克明和约尔。严格局部鞅的重要性；径向Ornstein–Uhlenbeck工艺的应用。115(3):325–355, 1999.[9] 霍尔默和普罗特。

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