离散时间下鲁棒定价和套期保值的对偶公式

以任意小的价格出售。让我们来定义φ*G（P）：=supX∈GEPX，P∈ PZ，理解为EPX：=EPX+- EPX-如果EPX-< +∞-∞ 否则，引入相应的广义鞅测度集m:={P∈ PZ：φ*G（P）=0}=nP∈ PZ:EPX≤ 0代表所有X∈ 去3.1具有凸交易成本和约束的半静态套期保值让我们首先假设资产，SJ可以动态交易，此外，它还可以根据S，SJ。我们通过J维可预测过程（θt）Tt=1对资产持有量建模，来描述交易策略的动态部分，SJT随时间推移，并假设在时间t购买或出售SJT股份会产生gjt形式的交易成本（ω，θjt+1（ω）Sjt（ω））对于连续函数gjt：Ohm ×R→ 使得gjt（ω，x）在ω中是可测的，在x中是凸的，gjt（ω，0）=0。在什么情况下Ohm 是r（J+1）T的无界子集，我们也假设supx∈E | gjt（ω，x）|/Z（ω）对于每个有界子集E在ω中有界 R.静态投资组合可以通过投资于给定的一组具有贴现收益的衍生工具来形成∈ CZ，我∈ I.我们对指数集I不做任何假设。特别是，（Hi）I∈我可以成为一个独立的收藏家。然而，只可能对其中的大部分进行投资。更准确地说，我们用Ri表示Ri中的向量集，其中至多有许多与0不同的分量，并且假设策略θ的静态部分被限制在给定的凸集Θ中 含大米。衍生品市场中的贴现交易成本由凸映射h：Θ给出→ CZH（0）=0。这意味着它们可以依赖于潜在的不确定性。像往常一样，我们在符号中增加了gjtin的ω依赖性。

然后，由此产生的贴现交易收益集Gconsists of formTXt=1JXj=1θjt的结果~Sjt-gjt-1(θjtSjt-1） 圣-1!+xi∈IθiHi- h（θ），其中~Sjt=~Sjt-~Sjt-1和θjt=θjt- θjt-1θj=0。对于我们一般模型的这一具体情况，可以从定理2.1和命题2.3中得出以下结论：命题3.1。如果G满足条件（3.1），以下四个条件是等价的：（i）不存在X∈ G和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）不存在X∈ 使得X（ω）>0表示所有ω∈ Ohm（iii）M 6=（iv）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*G（P））表示所有X∈ 乌兹。此外，φ*G（P）=PT-1t=0PJj=1EPStgj*TEP[~SjT |英尺]-~Sjt~Sjt{Sjt>0}+ H*（P） 如果P∈ R+∞ 如果P/∈ R、 （3.2）forgj*t（y）：=supx∈R（xy）- gjt（x）），h*（P） ：=supθ∈ΘEPXi∈IθiHi- h（θ）！，安德烈：=nP∈ PZ:P[Sjt=0且Sjt>0]=0，对于所有j=1，J和t≤ T- 1o。命题3.1扩展了[3]的定理2.2，该定理提供了模型中一般对流交易成本的对偶结果，该模型具有紧凑的样本空间，其中没有可用于套期保值的衍生工具。3.1.1比例交易成本作为一种特殊情况，让我们考虑比例交易成本，以及市场上某些衍生品可能只能买卖的限制。更准确地说，对于Ft可测的随机系数εjt，动态交易成本由gjt（x）=εjt | x |形式的函数给出∈ C+Z.套期保值组合的静态部分由向量θ给出∈ Ri与相关成本（θ）=Pi∈Ih+iθ+i-H-iθ-ifor出价和要价-我∈ R∪{-∞} 和h+i∈ R∪{+∞}, 其中h+i=+∞这意味着它不能被买来-我=-∞ 它不能出售。

相应的折扣交易结果的格式为TXT=1JXj=1θjt~Sjt- εjt-1|θjtSjt-1|+xi∈我θiHi- θ+ih+i+θ-ih-我,安德吉*t（y）=0如果| y |≤ εjt+∞ 否则，h*（P）=如果h为0-我≤ 伊菲≤ 如果我∈ 我+∞ 否则根据命题3.1，我们有φ*G（P）=如果P∈ M+∞ 否则，其中M是所有概率测度P的集合∈ 满足条件a）（1）- εjt）~Sjt≤ EP[~SjT |英尺]≤ （1+εjt）~sjt对于所有j=1，J和t=0，T- 1b）h-我≤ 伊菲≤ 如果我∈ 如果命题3.1的（3.1）和（I）成立，我们得到对偶φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ 乌兹。（3.3）如果εjt≡ 0，动态交易是无摩擦的，并且a）减少到标准鞅条件。在这种情况下，（3.3）是[1]中定理1.4给出的S的超边缘对偶≡ 1.另一方面，在系数εjt恒定且（Hi）i∈欧式期权的Iconsists持续依赖于ST，（3.3）成为[23]中定理2.6所示的S的超边缘对偶≡ 1.3.1.2超线性交易成本fΘ=r和对应于t（x）=εjtpj | x | pj，h（θ）=Xi的交易成本∈正Ft可测εjt的Ihiθi+δiqi |θi | qi∈ CZ和常数δi>0，pj，qj>1，hi∈ R、 我们从命题3.1中得到φ*G（P）=T-1Xt=0JXj=1EP（εjt）1-p′jStp′jEP[~SjT |英尺]-~Sjt~Sjtp′j+xi∈Iδ1-q\'iiq\'i伊菲- 你好q′i，其中p′j:=pj/（pj）- 1） ，q′i:=qi/（qi）- 1） ，0/0:=0和x/0:=+∞ 对于x>0。此外，如果命题3.1的（3.1）和条件（i）成立，则φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*G（P））表示所有X∈ 乌兹。3.1.3欧洲看涨期权和边际分配约束let gjt：Ohm ×R→ R如上文第3.1小节开头所述，并假设家庭（Hi）i∈I所有折扣欧洲看涨期权支付（~Sjt）的考虑- K） +，j=1。J、 t=1。

，T，K∈ R+。此外，假设任意数量的期权具有折扣支付（~Sjt-K） +可以购买或以pj、+t和pj的价格出售，-t、 分别是K。如果林克→+∞pj，+t，K=0，对于所有j和t，条件（3.1）保持不变。因此，如果另外满足命题3.1的（i），则得到φ（X）=maxPEPX-T-1Xt=0JXj=1EP“Stgj*tEP[~SjT |英尺]-~Sjt~Sjt！{Sjt>0}#, 为了所有的X∈ UZ，（3.4），其中最大值超过所有P∈ Pz使得对于所有j=1，…，P[Sjt=0且Sjt>0]=0，J和t=0，T- 1b）pj，-t、 K≤ EP（~Sjt）- （K）+≤ pj，+t，k对于所有j=1，J、 t=1。T和K∈ R+。EP（~Sjt）- K） +可以写为+∞KP[~Sjt>x]dx。因此条件b）对P的分布施加约束，在极限情况下，pj，+t，K=pj，-t、 K，它完全决定了∧SjtunderP的分布。特别是如果gjt≡ 0和pj，+t，K=pj，-t、 K=pjt，K∈ 对于所有的j，t，K，从第3.1项的（3.1）和（i）中可以看出，在R+上存在唯一的边际分布+∞Kνjt（x+∞)dx=pjt，K，K∈ R+，使得φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ UZ，（3.5），其中M由所有P组成∈ 令人满意的，令人满意的，~sj是Pb下的鞅）~Sjtunder P的分布对于所有j=1，J和t=1，T.（3.5）是Kantorovich的输运对偶[39]的一个变体，最近在不同的组中以鞅输运对偶的名称进行了研究；参见例如[4,5,30]。3.2带卖空约束的半静态套期保值现在假设动态交易不会产生交易成本，但只会产生非负数量的资产，我们可以举行婚礼。如上所述，人们可以静态投资于具有贴现支付功能的衍生品∈ CZ，我∈ 一、 根据一个策略θ位于凸子集Θ中 含大米0。

莱思：Θ→ CZX可以是h（0）=0的凸映射，并假设G由TXT=1JXj=1θjt形式的折扣结果组成■Sjt+Xi∈IθiHi- h（θ），其中（θt）Tt=1是非负J维可预测策略，θ∈ Θ. 那么，命题3.1的以下变体成立：命题3.2。如果满足（3.1），则命题3.1的条件（i）-（iv）是等价的，其中φ*G（P）=supθ∈ΘEP（Pi）∈IθiHi- h（θ）如果)S，~sj是P下的超鞅+∞ 否则，M={P∈ PZ：φ*G（P）=0}.3.2.1动态和静态卖空约束如果在交易策略的动态和静态部分存在卖空约束，即Θ=RI∩ RI+，h（θ）=Pi∈Ihiθifor prices hi∈ R、 根据命题（3.1）的命题3.2和命题3.1的条件（i），φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ UZ，其中M是所有度量P的集合∈ 例如，a）~S，■Sji是Pb）EPHi下的超级艺术家≤ 嗨，我∈ I.3.2.2由于只有交易策略的动态部分受制于卖空约束，因此Supermartingale transport Duality（超级马丁格尔运输）提供∈i所有折扣看涨期权（~Sjt- K） +，j=1，J、 t=1，T，K∈ R+。i任意数量的（~Sjt）- K） +可以以pj、+t、K的价格买卖≤ pj，-t、 K分别满足条件（3.1），前提是limK→+∞对于所有的j和t，pj，+t，K=0。所以，如果加上命题3的（i）。1成立，从命题3.2得到φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ UZ（3.6），其中M由度量值P组成∈ 令人满意的，令人满意的，■SJ是Pb）pj下的超级艺术家，-t、 K≤ EP（~Sjt）- K） +=R+∞KP[~Sjt>x]dx≤ pj，+t，k对于所有j=1，J、 t=1。

、T和K∈ R+。在特殊情况下pj，+t，K=pj，-t、 K=pjt，K∈ R+，条件b）满足当且仅当对于所有j和t，P的分布等于满足R的度量+∞Kνjt（x+∞)dx=pjt，K表示所有K∈ R+。在这种情况下，（3.6）变成了Kantorovich的运输对偶[39]的一个超级鞅版本。4关于风险度量，在本节中，我们放松了严格的超级鞅要求，并考虑了形式=\\Q的可接受折扣集合∈Q{X∈ BZ:ρQ（X）≤ 0}+B+，（4.1）其中Q PZ是一组非空的概率测度，对于每个Q∈ Q、 ρQ:BZ→ R是一个凸风险度量。更具体地说，我们专注于转换损失风险度量：ρQ（X）=分钟∈REQlQ（s）- 十）- s对于损失函数lQ:R→ R.在负号之前，它们与Ben-Tal和Teboulle[6]的优化确定性等价物一致。对于无界随机变量，在[16]的第5节中进行了研究。我们做了以下假设：（l1）每个lqi都是递增的，并且与limx凸→±∞（lQ（x）- x） =+∞（l2）supQEQlQ（ν（Z））<+∞ 对于递增函数φ：[1+∞) → R满足极限→+∞~n（x）/x=+∞（l3）l*Q（1）=0表示所有Q∈ Q、 我在哪里*Q（y）=supx∈R（xy）- lQ（x）），y∈ R.那么下列条件成立：即lQ（x）≥ x的lQ（y）≥ 伊莱玛4.1。每问∈ Q、 ρQ是bz上的一个实值凸风险测度，ρQ（0）=0，对偶表示ρQ（X）=maxP∈PZ，P<<QEP[-X]- 情商L*QdPdQ. （4.2）此外，（4.1）中给出的验收集A的形式为（2.3）映射α：PZ→ R+∪ {+∞}满足（A1）和（A2）。4.1稳健的风险平均值现在假设，如第3节所述Ohm 是数字0<at的qtt=1（[at，bt]×RJ+）的闭子集≤ 考虑过滤系数Ft:=σ（Sjs:j=0，…，j，s≤ t） 由Sjt（ω）=ωjt生成。我们选择一个连续函数Z：Ohm → R以至于≥ 1+Pj，t≥1Sjt。

然后子级集合{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} ，z∈ R+是紧凑型的，所有的SJT都延伸到CZ。对于固定级别0<λ≤ 来自给定非空子集Q的1和Q PZ，考虑riskAVaRQλ（X）：=λZλVaRQu（X）du，X的平均值∈ BZ。众所周知（参见[29]）可以写成asAVaRQλ（X）=min∈R情商- 十） +λ- s, 十、∈ BZ，并且具有formAVaRQλ（X）=maxP的对偶表示<<Q、 dP/dQ≤1/λEP[-十] ，X∈ BZ。相应的健壮接受集isA=\\Q∈QnX∈ BZ:AVaRQλ（X）≤ 0o+B+让我们假设资产S，SJ可以根据一定比例的交易成本进行动态交易，如果S，Sj由ε，…，给出重新平衡，εJ≥ 0.此外，存在一系列具有贴现支付（Hi）i的衍生品∈我 CZH可以通过出价和ASKPRICE进行静态交易-i、 h+i∈ R.由此产生的贴现交易收益集G由formTXt=1JXj=1（θjt）的结果组成~Sjt- εj|θjtSjt-1 |）+Xi∈I（θiHi）- θ+ih+i+θ-ih-i） ，（4.3）式中（θt）为J维（Ft）-可预测策略，θ∈ 里。在这些条件下，我们有以下几点：主张4.2。如果Q是凸的，σ（PZ，CZ）-闭合且满足∈QEQ~n（Z）<+∞ 对于递增函数φ：[1+∞) → R这样limx→+∞~n（x）x=+∞, （4.4）以下是等效的：（i）不存在X∈ G- A和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）不存在X∈ G- A使得所有ω的X（ω）>0∈ Ohm（iii）M 6=（iv）φ是BZandφ（X）=maxP上的实值∈MEPX适用于所有X∈ UZ，其中M是所有概率测度P的集合∈ （a）（1）- εj）~Sjt≤ EP[~SjT |英尺]≤ （1+εj）~sjt对于所有j=1，J和t=0，T- 1b）h-我≤ 伊菲≤ 如果我∈ Ic）dP/dQ≤ 对于某些Q，1/λ∈ 问题：例4.3。如果Z=1+Pt，j≥1Sjt，可积条件（4.4）由以下四个概率测度族满足：1。全Q∈ 让cjt≤ EQ（~Sjt）≤ Cjt对于给定的常数0≤ cjt≤ Cjt。2.

全Q∈ 让cjt≤ 等式[（￠Sjt/￠Sjt-1.- 1） |英尺-1] ≤ Cjt对于给定的常数0≤ cjt≤ Cjt。3.所有问题∈ Pz，其中Yjt=log（~Sjt/~Sjt）-1） ，j=1，J、 t=1，T，在有界集合M中与平均向量（EQYjt）形成高斯族 有界集合∑中的RJTand协方差矩阵CovQ（Yjt，Yks） RJT×JT。4.任意集Q的σ（PZ，CZ）-闭凸壳 （4.4）。可以很容易地检查前两个族是否凸且σ（PZ，CZ）-闭合。但thirdone通常不是凸的。因此，为了满足命题4.2的假设，我们必须传递到σ（PZ，CZ）-闭凸壳。4.2第4.1小节中的稳健熵风险度量，假设Ohm 是一个封闭的子类TQTT=1（[at，bt]×RJ+）t，用于数字0<at≤ bt，考虑由（Sjt）产生的过滤（Ft），j=0，J、 让Z：Ohm → R是一个连续函数，使得Z≥ 1+Pj，t≥1Sjt。对于给定非空集Q中的固定风险规避参数λ>0和Q PZ，考虑熵风险度量Tqλ（X）=λlog EQexp(-λX），X∈ BZ。它允许替代代表sentqλ（X）=分钟∈Rexp（λs）- 1.- λX）λ- s= maxP<<QEP[-X]-λEQdPdQlogdPdQ, 十、∈ BZ；参见例[16]。由此产生的健壮接受集isA=\\Q∈QnX∈ BZ:EntQλ（X）≤ 0o+B+。如果贴现交易收益G的集合如（4.3）所示，则得到命题4的以下变量。2：提案4.4。

如果Q是凸的，σ（PZ，CZ）-闭合且满足∈QEQexp（ν（Z））<+∞ 对于递增函数φ：[1+∞) → 带边缘的R→+∞~n（x）x=+∞, （4.5）以下是等效的：（i）不存在X∈ G- A和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）不存在X∈ G- A使得所有ω的X（ω）>0∈ Ohm（iii）存在一个P∈ 这样EPX≤ 0代表所有X∈ 乌兹∩ （G）- A） （iv）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- η（P））对于所有X∈ UZ，其中η：PZ→ R+∪ {+∞} 由η（P）=（infQ）给出∈Q、 P<<量化宽松dPdQlogdPdQ/λ如果P满足a）–b）和P<< Q代表一些Q∈ Q+∞ 否则，a）–b）与命题4.2中的条件相同。例4.5。对于Z=1+Pj，t≥1Sjt，以下是PZ（4.5）的凸σ（PZ，CZ）-闭子集：1。全Q∈ 让cjt≤ EQ（~Sjt）≤ Cjtand EQexp（εjt（~Sjt））≤ djt对于给定的常数0≤ cjt≤ Cjtandεjt，Djt>0.2。全Q∈ 让cjt≤ 等式[（￠Sjt/￠Sjt-1.- 1） |英尺-1] ≤ Cjtand EQexp（εjt（~Sjt））≤ DJT针对给定的条件0≤ cjt≤ Cjtandεjt，Djt>0.3。任意集Q的σ（PZ，CZ）-闭凸壳 PZ（4.5）。请注意，示例4.3.3也满足条件（4.5）。因此，它的σ（PZ，CZ）-闭凸外壳符合命题4.4的假设。证据。1递增凸泛函的表示在准备定理2.1的证明时，我们首先导出CZ和UZ上一般递增凸泛函的表示结果。如第2节所述，Ohm 是（R++×RJ）TandZ的非空子集：Ohm → [1, +∞) 一个连续函数，使得{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} 对所有人来说都很紧凑∈ R+。如果（Xn）是一系列函数Xn：Ohm → R逐点递减到函数X：Ohm → R、 我们写了↓ X.连续函数的空间X：Ohm → R使得X/Z有界，形成一个向量格；也就是说，它是一个线性空间，对于所有X，Y∈ CZ，最小点X∧ Y和X∧ 1也属于CZ。

设ca+Zbe为所有Borel度量的集合usatisfyinghZ，ui:=RZdu<+∞. 我们称之为函数ψ：CZ→ 如果ψ（X）增加R≥ ψ（Y）代表X≥ Y并定义凸共轭ψ*CZ:ca+Z→ R∪ {+∞} 按ψ*CZ（u）：=supX∈CZ（hX，ui- ψ（X））。定理A.1。设ψ：CZ→ R是一个增凸泛函，其性质为everyX∈ CzLimz存在一个常数ε>0→+∞ψ（X+ε（Z）- z） +）=ψ（X）。（A.1）则ψ（X）=最大u∈ca+Z（hX，ui- ψ*CZ（u））适用于所有X∈ CZ。（A.2）证据。修正X∈ CZ。它是从ψ的定义开始的*Czψ（X）≥ supu∈ca+Z（hX，ui- ψ*CZ（u））。（A.3）另一方面，Hahn–Banach扩张定理（例如，以[2]中定理5.53的形式）应用于平凡子空间{0} CZ与控制函数ψX:CZ→ R、 由ψX（Y）给出：=ψ（X+Y）- ψ（X），得到线性泛函ζX:CZ的存在性→ 受ψX支配的R。由于ψXis增加，ζX也必须如此。如果我们能证明，对于czn中的每个序列（Xn）↓ 存在一个常数η>0，使得ψX（ηXn）↓ 0，然后ζX（Xn）↓ 0，我们从Daniell–Stone定理（参见[24]中的定理4.5.2）中得出，对于度量值uX，形式为ζX（Y）=hY，uXi的ζXis∈ ca+Z。因此hX，uXi- ψ（X）≥ hX+Y，uXi- ψ（X+Y）表示所有Y∈ CZ。特别是ψ*CZ（uX）=hX，uXi- ψ（X），表示式（A.2）来自（A.3）。现在，选择ε>0，使（A.1）保持不变，m>0，使X保持不变≤ mZ。设置η=ε/（4m）和fixδ>0。存在一个z∈ R+使得ψX（ε（Z- z） +）≤ δ、 根据我们对Z的假设，集合∧={Z≤ 2z}是紧凑的。因此，我们从迪尼引理中得到xn:=maxω∈∧Xn（ω）↓ 0.从X7开始→ ψX（X）是从R到R的凸函数，它是连续的。特别地，存在一个ψX（2ηxn）的nsuch≤ 所有n的δ≥ N