离散时间下鲁棒定价和套期保值的对偶公式

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英文标题：
《Duality formulas for robust pricing and hedging in discrete time》
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作者：
Patrick Cheridito, Michael Kupper and Ludovic Tangpi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we derive robust super- and subhedging dualities for contingent claims that can depend on several underlying assets. In addition to strict super- and subhedging, we also consider relaxed versions which, instead of eliminating the shortfall risk completely, aim to reduce it to an acceptable level. This yields robust price bounds with tighter spreads. As examples we study strict super- and subhedging with general convex transaction costs and trading constraints as well as risk-based hedging with respect to robust versions of the average value at risk and entropic risk measure. Our approach is based on representation results for increasing convex functionals and allows for general financial market structures. As a side result it yields a robust version of the fundamental theorem of asset pricing.
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中文摘要：
在本文中，我们推导了可依赖于多个标的资产的未定权益的鲁棒超边对偶和次边对偶。除了严格的超边缘和分边缘外，我们还考虑放宽版本，其目的不是完全消除短缺风险，而是将其降低到可接受的水平。这就产生了强劲的价格边界和更紧密的价差。作为例子，我们研究了一般凸交易成本和交易约束下的严格超边缘和分边缘，以及基于风险的套期保值，涉及稳健版本的平均风险值和熵风险度量。我们的方法基于增加凸泛函的表示结果，并考虑了一般金融市场结构。作为一个附带结果，它产生了资产定价基本定理的一个健壮版本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Duality_formulas_for_robust_pricing_and_hedging_in_discrete_time.pdf (326.35 KB)

2022-5-10 20:27:44 上传

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关键词：离散时间 套期保值 Mathematical Quantitative Presentation

离散时间下鲁棒定价和套期保值的对偶公式*Patrick Cheridito+Michael KupperLudovic Tangpi§2017年9月摘要在本文中，我们推导了可依赖于多个基础资产的或有权益的稳健超边和次边对偶。除了严格的超边际和次边际之外，我们还考虑了放松风险，其目的不是完全消除短缺风险，而是将其降低到可接受的水平。这就产生了强劲的价格边界和更紧密的价差。作为例子，我们研究了具有一般凸交易成本和交易约束的严格超边缘和分边缘，以及关于风险平均值和熵风险度量的稳健版本的基于风险的边缘。我们的方法基于增加凸泛函的表示结果，并考虑到一般金融市场结构。因此，它产生了资产定价基本理论的一个强大版本。2010年数学学科分类：91G20、46E05、60G42、60G48关键词：稳健价格界限、超边际、次边际、稳健资产定价基本定理、交易成本、交易约束、风险度量。1简介在定量金融中，超边际和次边际双重性是无套利争论的核心。通过将价格与套期保值联系起来，它们为无套利价格提供了界限。但它们也为对偶方法在投资组合优化问题中的应用提供了新的思路。

在传统的财务建模中，不确定性由单一的概率测度P来描述，带有贴现支付的或有权益的超边际和次边际价格由φ（X）=inf{m给出∈ R：存在一个Y∈ G使m- X+Y≥ 0 P-a.s.}（1.1）和- φ(-十） =sup{m∈ R：存在一个Y∈ G使得X- m+Y≥ 0 P-a.s.}（1.2）*我们感谢丹尼尔·巴尔特、彼得·卡尔、塞缪尔·德雷珀、马雷克·穆西埃拉、扬·奥布·洛伊、梅特·索纳和尼扎尔·图齐的富有成效的讨论和有益的评论。第一位作者部分获得了NSF拨款DMS-1515753的支持，第三位作者获得了维也纳科技基金会拨款MA 14-008的支持。+苏黎世ETH数学系，瑞士苏黎世8092号德国康斯坦茨大学数学与统计系，78464。§维也纳大学数学系，1090维也纳，奥地利。其中G是所有可变现贴现交易收益的集合。经典结果假设X依赖于一组基础资产，这些资产可以在没有交易成本或约束的情况下动态交易。然后G是一个线性空间，在适当的无套利条件下，我们得到φ（X）=supQ形式的对偶∈Me（P）EQX和- φ(-十） =infQ∈Me（P）EQX，（1.3），其中Me（P）是等价于P的所有（局部）鞅测度的集合；请参见[29]或[20]中的其他概述。在本文中，我们不假设所有未来事件的概率都是已知的。因此，我们不是从预先定义的概率度量开始，而是为一组基本资产指定一组可能的轨迹。这包括一系列的设置，从单一的二叉树模型到无模型的情况，在任何时候，所有资产的价格都可以位于R+（或R）中的任何地方。

我们将（1.1）和（1.2）中的P-几乎确定不等式替换为可接受的折扣位置的一般集合a，并考虑φ（X）=inf{m形式的超边和次边泛函∈ R:m- 十、∈ A.- G} 及- φ(-十） =sup{m∈ R:X- M∈ A.- G} 。（1.4）如果A是非负结果的圆锥体，则描述了严格的超边缘和次边缘，这要求完全消除短缺风险。或者，可以通过扩大集合a来考虑一定数量的风险。这会减少超边际价格和分边际价格之间的价差。此外，贴现交易收益集G不必是线性空间，可以描述具有交易成本和交易约束的一般市场结构。我们的主要结果定理2.1为（1.4）中的数量提供了X期望值的对偶表示。作为副产品，它产生了一个稳健的资产定价基本定理（FTAP），它将无套利的两个不同概念与广义鞅测度的存在联系起来。在标的资产有界的情况下，它适用于一般集合A和G，比如G- A是凸的。否则，它需要集合G- A足够大了。这可以通过假设金融市场足够丰富，或者如命题2.2所示，可接受性条件不太严格来保证。在第3节和第4节中，我们研究了A和G的不同规格，对于这些规格，可以明确计算对偶表示。第3节专门讨论了一个案例，其中包括所有非负面结果，对应于严格的超边缘和次边缘。我们考虑一般的半静态交易策略，包括对基础资产的动态投资和静态衍生品头寸。提案3.1涵盖了一般凸交易成本和对衍生品持有的限制。

提案3.2涉及动态卖空约束。在第4节中，werelax通过不同的概率度量定义了一系列风险度量来确定套期保值要求和控制短缺风险。这允许在模型不确定性设置中引入风险容忍度。然后，我们的价格界限就变成了稳健的好交易界限。命题4.2给出了一个明确的二元公式，其中短缺风险用稳健的平均风险值进行评估。命题4.4为稳健熵风险度量提供了相同的方法。我们的方法基于我们在附录中发展的增加凸泛函的表示结果。它允许将稳健的方法与交易成本、交易约束、部分对冲和良好交易边界相结合。稳健的套期保值方法可以追溯到[35]，并在[17,19,42]中进行了进一步研究。在[1,3,4,5,9,10,11,12,15,22,23,25,30,36,43]中已经衍生出了各种版本的鲁棒FTAP和超边缘对偶性。对于交易成本下的FTAP和超边际双重性，我们参考[14,21,32,38,45]及其参考文献。关于部分套期保值的文献从[27]的分位数套期保值方法开始，随后发展了更通用的基于风险的方法；参见例如[13,28,44]和与好交易密切相关的文献，例如[7,37,40,46]。论文的其余部分组织如下：第2节介绍了符号并陈述了论文的主要结果。在第三节中，我们研究了严格的超边和次边，并给出了在凸交易成本和交易约束下具有相应超边对偶的鲁棒FTAP。作为特例，我们得到了Kantorovich的输运对偶[39]的版本，其中包括鞅或超鞅约束。在第4节中，我们使用稳健的风险度量来削弱可接受性条件。

这就产生了比第3部分严格的超边际和次边际价格更接近的稳健的好交易边界。所有证据都在附录中给出。2主要结果我们考虑一个金融资产为J+1的模型，Sj和很多交易期t=0，1，T.作为样本空间，我们取一个非空子集Ohm 对于（R++×RJ）T，其中R++表示正半线（0+∞). 假设资产的初始价格已知，并给出byS=1和数字Sj∈ R、 j=1，J.其未来价格不确定，模型为Sjt（ω）=ωjt，t=1，T，j=0，J、 ω∈ Ohm. 为了陈述和证明本文中的结果，以S为单位进行报价是很方便的。这样贴现后，资产价格变为S≡ 1和<<Sjt=Sjt/St，j=1，J.然而，S上的衍生工具，SJ通常以名义价格SJ而非折扣价格Sjt为准。所以一般意外事件对S的折扣支付，具有成熟度的SJT由映射X给出：Ohm → R.我们捐赠Ohm 使用欧几里德度量，并表示所有Borel可测函数的空间X：Ohm → R乘以B。从时间0到T，通过投资金融市场可以实现的所有贴现交易收益由子集G给出 B包含0。G可能包含在时间T之前到期的衍生工具的贴现收益。然后将所得投资于时间T之前持有的沙子。所有可接受的贴现时间-T头寸都用子集a建模 B包含正coneB+：={X∈ B:X≥ 0}这样A+B+ A和A- G是凸的。相应的超边缘泛函是φ（X）：=inf{m∈ R:m- 十、∈ A.- G} ，在哪里 := +∞.它通过贴现的时间T支付确定每项负债∈ B、 所需的最低初始资本- X可以通过投资金融市场转变为可接受的头寸。

A=B+的情况对应于严格的超边缘化，这要求在每种可能的情况ω中都有一个或有类超复制∈ Ohm. 更大的接受集A放松了超边际需求，降低了对冲成本。由G和A诱导的次边缘泛函由下式给出：-φ(-十） =sup{m∈ R:X- M∈ A.- G} ，在哪里吃 := -∞.我们假设存在一个连续函数Z：Ohm → [1, +∞) 具有紧子级集{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} 尽管如此，z∈ R+。我们将考虑贴现支付函数的套期保值双重性，其增长由Z控制。让BZ B是由函数X组成的子空间∈ 根据这个假设Ohm 是σ-紧的。特别地，它是（R++×RJ）T的一个Borel可测子集Ohm 是在R（J+1）T中闭合的（R++×RJ）T的非空子集，任何连续函数z：Ohm → [1, +∞) 有界子级集具有紧子级集。X/Z是有界的，uz是所有上半连续X的集合∈ BZand CZX是所有连续X的空间∈ BZ。通过PZwe，我们表示上所有Borel概率测度的集合Ohm 满足可积性条件EPZ<+∞. 定义凸共轭φ*: PZ→ R∪ {±∞} 由φ*（P） ：=supX∈CZ（EPX）- φ（X））。那么以下是成立的：定理2.1。假设每∈ N、 存在一个z∈ R+使得n（Z- z）+-N∈ G- A.

（2.1）那么以下三个条件是等价的：（i）不存在X∈ G- A和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）存在一个概率测度P∈ 这样EPX≤ 0代表所有X∈ CZ∩ （G）- A） （iii）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*（P） ）为所有X∈ CZ。如果除了（2.1）之外，还有φ（X）=infY∈CZ，Y≥Xφ（Y）表示所有X∈ UZ，（2.2）然后（i）–（iii）也相当于以下三项中的每一项：（iv）不存在X∈ G- A使得所有ω的X（ω）>0∈ Ohm（v） 存在一个概率测度P∈ 这样EPX≤ 0代表所有X∈ 乌兹∩ （G）- A） （vi）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*（P） ）为所有X∈ 乌兹。（2.1）和（2.2）都是集合G上的条件- A（后者是因为φ由G定义）- A） 。（2.1）如果Ohm 是紧凑的，因为在这种情况下- z） +=0表示z∈ R+足够大。另一方面，如果Ohm 不是紧致的，例如，如果每n∈ N、 存在一个z∈ R+使得有一个投资机会产生至少n（Z）的贴现结果- z） +初始成本不超过1/n，或者，如果为1/n- n（Z）- z） +被认为是可接受的折扣头寸。下面的命题2.2提供了一类接受集，使得（2.1）不需要对G进行额外假设，命题2.3给出了（2.2）的等价条件。在下面第3节和第4节中的所有示例中，满足了（2.1）和（2.2）两个条件。（i）和（iv）是无套利条件，或者在接受集A大于B+的情况下，称为无良好交易条件。（i） 这意味着不存在以零初始资本开始的交易策略，其产生的结果超过可接受头寸的正比例ST，或者等效地，不存在将负初始财富转化为可接受头寸的交易策略。

[31]和[41]在经典框架中使用了相同的条件。（iv）略强。在A等于B+的情况下，它对应于[18]中引入并在[1]中使用的无模型独立套利。我们指出，对于A=B+，（i）和（iv）都弱于传统的无套利条件，这要求不存在产生非负收益的交易策略，该收益在样本空间的不可忽略部分为正（参见[33,34,29,23]）。（ii）和（v）推广了鞅测度的概念。例如，如果A=B+且标的资产是流动交易的，则它们由适当的鞅度量组成。但在存在比例交易成本的情况下，它们变成了ε-近似鞅测度，在卖空约束下，变成了超鞅测度（见第3节中的示例）。（iii）和（vi）给出了超边缘泛函φ的对偶表示。最大值意味着（iii）和（vi）的右边是达到的最高点。（iii）和（vi）直接转换为副标题功能的双重表示-φ(-十） 。如果条件（iii）成立，则-φ(-十） =minP∈PZ（EPX+φ）*（P） ）为所有X∈ CZ，并且表示扩展到所有X∈ UZif（vi）是满意的。此外，请注意，只要φ在bz上取值且φ（0）=0，子边函数也是如此，并且通过凸性φ（X）+φ得到(-十）≥ 2φ（0）=0，得到有序φ（X）≥ -φ(-十） 为了所有的X∈ BZ。可以将一大类验收集写成asA=nX∈ BZ:EPX+α（P）≥ 0代表全部P∈ PZo+B+（2.3）用于合适的映射α：PZ→ R+∪ {+∞}. 在极端情况下α≡ 0，A是正锥B+。另一方面，可以证明，如果α增长足够快，定理2.1的假设（2.1）是自动满足的：命题2.2。

条件（2.1）认为，对于映射α：PZ，ifa由（2.3）决定→ R+∪ {+∞}满意的（A1）infP∈PZα（P）=0和（A2）α（P）≥ 所有P的EPβ（Z）∈ PZ，其中β：[1+∞) → R是一个性质为limx的递增函数→+∞β（x）/x=+∞.下面的结果给出了假设（2.2）的双重条件，这在第3节和第4节中很有用。提议2.3。假设（2.1）成立。然后φ*（P） =supX∈CZ∩（G）-A） EPX≤ 好的∈UZ（EPX）- φ（X））=supX∈乌兹∩（G）-A） 所有P的EPX∈ PZ，不等式是一个等式当且仅当φ满足（2.2）。我们从子集I调用函数f 如果f（x），R到R增加≥ f（y）代表x≥ y、 在这一节中，我们集中讨论接受集A由正coneB+给出的情况。Ohm 假设为数字0<at的qtt=1（[at，bt]×RJ+）的非空闭子集≤ 英国电信，以及价格过程，Sj由S=1给出，Sj∈ R+，j=1，J和Sjt（ω）=ωjt，t≥ 1,ω ∈ Ohm. 它们产生过滤系数Ft=σ（Sjs:j=0，…，j，s≤ t） ，t=0，T作为增长函数，我们选择Z=1+Pj，t≥1（~Sjt）p对于常数p≥ 1.它显然是连续的，并且子级集{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} 都很紧凑∈ R+。此外，对于所有j和t，~Sjtbelongs到czt。对于任意集G B包含0的贴现交易收益，使得G- B+是凸的，条件（2.1）对每n等价∈ N、 j=1，J、 t=1，T，确实存在∈ G和K∈ R+这样X≥ n（~Sjt）p- （K）+- 1/n.（3.1）例如，在p=1的情况下，如果市场对所有资产提供看涨期权，随着每一个成熟度t=1。