噪声拟合、估计误差和夏普信息准则

问题是：在θ模型下，实际市场价格过程p的（对数）可能性是多少？答案是借助于吉尔萨诺夫定理给出的。由于时间连续，每个可能性（密度）都为零。因此，对数似然函数唯一有意义的定义是相对于参考概率的相对密度。自然参考测度是可预测性为零的概率测度，即几何布朗运动。为此，假设dPTPT=dWt（19）是概率分布P下的几何布朗运动。假设ZT=T^u（θ）-T∑（θ，θ）ThenZT=ZTXt（θ）TYtdt+ZTXt（θ）TdWθT-ZTXt（θ）TXt（θ）dt=ZTXt（θ）TdWt-ZTXt（θ）TXt（θ）dt。因此，通过（多元）吉尔萨诺夫定理（参见任何关于随机分析的书，例如，使用线性Xt（θ）=Xtθ产生，略微滥用符号∑（θ，θ）=θT∑θ，u（θ）=uTθ和ν（θ）=νTθ，其中∑=trtxttdt，u=trtxttdt和ν=trtxttwt）。Kallenberg（2002）或Oksendal（2003）），Wt=Wt- diag（[Z，W]t）=Wt-RTXt（θ）dt是Qθ=exp（ZT）P下的布朗运动。特别是在Qθ：dptpt=dWt=d＠Wt+Xt（θ）dt下，其中是＠Wta布朗运动。因此，QθD=Pθ是我们正在寻找的概率度量，dPθdP=dQθdP=eZT。拿日志就是证明。8.6. 与西格尔和伍德盖特（Siegel and Woodgate）的关系：利用估计误差优化投资组合的表现与西格尔和伍德盖特（2007）有一个有趣但乍一看并不明显的联系。我们将展示如何使用他们的结果作为样本外夏普比率的估计值，如第2节所述。

然后我们证明，即使作者证明了他们的均值和方差估计是渐近无偏的阶数，Sharpe比率的结果估计是有偏的阶数，与没有调整的情况下的数量级相同。要看到这一点，首先请注意，我们可以不用Siegel and Woodgate（2007）中的波动率调整，因为增加采样频率和年化平均值、方差和夏普比率可以让方差调整收敛到零，而平均值调整保持不变。第二，假设有一项无风险资产，因此*和σ*, 这是最小方差投资组合的均值和方差，用西格尔和伍德盖特的符号表示，等于零。准确地说，无风险资产会使∑退化，但我们可以想象一个序列，其中一个资产收敛到一个无风险资产。在极限（有限采样频率，一项无风险资产）下，我们使用Siegel和Woodgate（2007）中的公式（8）对均值和方差进行偏差调整估计：^uadj=u-N- 3T^B2,2^σadj=σ，其中^B2,2=^ρ（单位为u*= 0），u是均值-方差组合的目标均值，σ是样本波动率，n是西格尔-伍德盖特框架中的资产数量。因此，我们得到的估计样本外夏普为^uadj^σadj=^ρ-N- 3T^ρ（20），其中u/σ=^ρ是样品中的最大夏普比。请注意，由于无风险资产，有效前沿是一条线，所有目标收益的夏普比率相同。公式（20）与SRIC类似，但调整了n- 3而不是k=n- 2这将是对无偏估计量的调整。要了解这一点，请注意w∈ 恩哈恩斯-1自由度，我们必须考虑额外的无风险资产（不影响夏普比率，无法计算），使自由度-2.

因此，Siegel and Woodgate（2007）中关于夏普比率的偏差修正缺乏一个自由度。8.ReferencesAkaike，H.（1974年）。统计模型识别的新视角。自动控制，IEEE学报，第19（6）：716–723页。Akaike，H.（1998年a）。最小AIC程序的贝叶斯分析。在Akaike Hirotugu的精选论文中，第275-280页。斯普林格。Akaike，H.（1998年b）。信息论与极大似然原理的推广。赤池裕土的论文选集，第199-213页。斯普林格。Bailey，D.H.和de Prado，M.L.（2014）。消除的夏普比率：校正选择偏差、回测过度拟合和非正态性。投资组合管理杂志，40（5）：94。布莱克，F.和利特曼，R.B.（1991）。资产配置：将投资者观点与市场均衡结合起来。《固定收益杂志》，1（2）：7-18。伯纳姆，K.P.和安德森，D.R.（2002）。模型选择和多模态推理：一种实用的信息论方法。斯普林格。陈俊和袁，M.（2016）。在大市场中有效地选择投资组合。金融计量经济学杂志，14（3）：496-524。DeMiguel，V.，Garlappi，L.，和Uppal，R.（2009年）。最优与幼稚的多元化：1/n投资组合策略有多有效？《金融研究评论》，22（5）：1915-1953。狄金森，J.P.（1974）。投资组合分析中估计程序的可靠性。《金融与定量分析杂志》，9（3）：447-462。El Karoui，N.（2013年）。关于高维马科维茨投资组合的已实现风险。《金融数学杂志》，4（1）：737-783。法兰克福，G.M.，菲利普斯，H.E.，和西格尔，J.P.（1971）。投资组合选择：不确定均值、方差和协方差的影响。《金融与定量分析杂志》，6（5）：1251-1262。汉森，P.R.（2009）。

样本内和样本外：它们的联合分布及其对模型选择的影响。初步版本2009年4月。Harvey，C.R.和Liu，Y.（2015）。回溯测试。可通过SSRN 2345489获得。Jobson，J.D.和Korkie，B.（1980）。对马科维茨有效投资组合的估计。《美国统计协会期刊》，75（371）：544-554。Jorion，P.（1986年）。投资组合分析的Bayes-Stein估计。《金融与定量分析杂志》，21（3）：279-292。卡伦伯格，O.（2002）。现代概率论的基础。斯普林格。简，R.和王，X.（2015）。关于阿尔法的经济价值。可通过SSRN 1785161获得。Kan，R.和Zhou，G.（2007）。具有参数不确定性的最优投资组合选择。《金融与定量分析杂志》，42（03）：621-656。Kirby，C.和Ostdiek，B.（2012）。优化样本均值方差有效投资组合的绩效。可通过SSRN 1821284获得。库蒂斯，A.（2016）。估计有效投资组合的夏普比率。金融研究快报。Ledoit，O.和Wolf，M.（2014）。portfolioselection协方差矩阵的非线性收缩：Markowitz与Goldilocks。可通过SSRN 2383361获得。马科维茨，H.（1952年）。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77-91。诺维·马克思（2015）。基于多个信号的回溯测试策略。工作文件。Oksendal，B.（2003年）。随机微分方程。斯普林格。Pav，S.E.（2014）。用这个奇怪的技巧进行投资组合推断。他是金融界的专家。帕夫，S.E.（2015a）。通过upsilon分布推断Sharpe比率。ArXiv预印本XIV:1505.00829。帕夫，S.E.（2015b）。关于夏普比率的注释。帕夫，S.E.（2015c）。包装更清晰。西格尔，A.F.和伍德盖特，A.（2007）。使用estimationerror优化投资组合的绩效。管理科学，53（6）：1005-1015。斯通，M.（1977）。通过交叉验证和Kaike准则，模型选择的渐近等价性。

皇家统计学会杂志。B系列（方法学），第44-47页。韦斯特，K.D.（1996）。关于预测能力的渐近推断。计量经济学：计量经济学学会期刊，1067-1084页。