噪声拟合、估计误差和夏普信息准则

例如，从k+1资产中选择（事后）最优投资组合的问题是多余的，只决定了波动性。准确地说，scaleparameter不仅决定了波动性，还决定了投资组合的符号（多头或短头）。然而，这是一个离散的选择，并不是渐进的（对于大T）。模型选择的一个特例是投资组合优化。据文献记载，在各种数据集上，使用样本内均值和协方差估计来构建马科维茨投资组合的（朴素的）投资组合优化，表现不如简单的基准，如等权投资组合（见DeMiguel et al.（2009）），其原因被归因于估计误差。在高层次上，选择等权投资组合还是马科维茨投资组合或介于两者之间的问题，可以被视为需要优化多少基础向量（例如主成分）的问题。如果只使用一个基向量，如等权，则估计风险很小，但如果在完整的基础上进行优化，则可获得马科维茨投资组合和更大的估计风险，如Chen和Yuan（2016）。SRIC根据夏普比率对噪声系数和估计误差进行定价，从而使样本系数和估计误差之间的权衡更加精确。也就是说，为什么在许多实证数据集中，同样加权的投资组合表现优于马科维茨投资组合的原因是两方面的。一是估计误差。另一个是一个人能得到多少回报。通常，大部分回报机会已经被等重投资组合（或第一个主成分）捕获。额外的投资组合选择几乎没有增加回报机会，通常太小，无法证明增加的估值风险是合理的。

交易效率对夏普比率有什么好处？什么时候没有？SRIC回答了这个问题。作为一个例子，我们看一看肯尼斯·弗伦奇（Kenneth French）的瑞典网站上的10个行业投资组合，DeMiguel等人（2009年）也使用了这些投资组合。虽然我们再次确认，对于5至10年的估算期，马科维茨投资组合不如同等权重的投资组合，但我们发现，对于2年及以下的估算期，这一点不再成立。虽然这主要是由于样本的前一半，但它说明了我们的观点，即估算误差即使在较小的估算范围内更大，也不可能是全部情况。直觉是，马科维茨投资组合依赖于样本均值，因此实际上是一种趋势或动量投资组合。虽然在5到10年的时间尺度上没有更高成分的趋势，但在2年或更短的时间尺度上有值得支付估计误差的趋势。RIC可以决定选择哪种模型，简单的模型如等重投资组合，或更复杂的模型如马科维茨投资组合。在总结贡献时，需要强调的其他事项是：i）与AIC（至少直接）不同，SRIC允许比较不同样本期估计的模型。ii）我们还推导了噪声系数和估计误差的不确定性范围；ii）由于与AIC的密切关系，本文对后者的噪声系数和估计误差进行了解释。至少作者们在思考这个问题时已经了解了很多关于AIC的知识。为了便于阐述，我们将本文限制在影响参数线性返回的情况下。

然而，这些结果在更一般的非线性依赖中仍然是渐近有效的。我们还将提到Steven Pav（Pav（2015c））的R软件包和围绕它的论文（Pav（2014，2015a，b）），它们提供了工具和定理，用于利用平方Sharpe比率服从χ分布（估计协方差时分别为F分布）的事实，对真实Sharpe比率进行统计推断（噪声系数）。下一节将介绍正式设置。第3节阐述了主要定理。第4节讨论了模型选择的结果，并与凯克信息标准进行了比较。第5节通过各种示例和ToyaApplication说明了结果。在第7节结束之前，第6节讨论了扩展。大多数证据都归入附录。2.建立一个概率空间(Ohm, （Ft）t≥0，P）。设Θ=Rk+1为（k+1）维参数空间。让rt∈ Rk+1，t∈ [0，T]是T年内的（k+1）维收益序列。Beit资产收益率、因子收益率或与特定预测变量相关的收益率。我们对收益率sθt=rtθ的夏普比感兴趣。这就是收益率由θ线性参数化的地方。在采样周期内调用[0，T]。用^u表示∈ Rk+1（年化）估计r的平均收益率和∑其（年化）协方差矩阵。^uTθ是sθ和θT∑θ及其方差的估计平均收益率。我们假设μu是真实平均收益μ的噪声观测，也就是μu=μ+ν，其中ν是协方差矩阵为∑的arandom变量。这里我们假设ν是正态分布的。我们进一步假设∑具有满秩。注意，我们假设ν的协方差矩阵与r按比例byT相同。

如果^u是样本期内实现的平均收益率，则为这种情况。当真实收益在噪声中观察时，我们假设协方差矩阵∑可以无误差地观察到。例如，在连续时间框架中也是如此。但是，即使没有连续的回波观测，它也接近实际情况，因为只要参数数量不太多，估计的协方差比估计的平均回波更精确几个数量级。例如，在下面的例子2.2中，即使有500只股票，我们也只需要几年观测数据中几个预测变量的协方差矩阵。我们不需要500只股票本身的协方差。我们将在稍后对此进行评论。我们使用符号k+1作为一维，它只会影响波动率，只有k参数会影响夏普比率。这种假设简化了分析，并且没有太多限制。这里，关注的数量是T年平均回报率。因此，即使是非正态回报，由于中心极限定理，其T年平均值也接近正态。然而，当矩有充分有界时，所有结果（对于大T）对于非正态分布仍然是渐近有效的。在投资组合回报线性参数化的地方，设置的应用就存在，因此在投资组合和资产管理中是充足的。其目的通常是预测收益，并最大化样本外夏普比率。在最简单的情况下，向量θ可以描述资产或（可交易）风险因素的投资组合权重i=1，k+1。请在示例2.1中对此进行说明。例2.1（投资组合选择）。设k+1返回流。设θt=kXi=0θi为权重为θ的投资组合的收益率。

利用^uri的年化实现平均收益率，∑其协方差，u（未知）真实平均值和T观测长度（全部年化），该设置满足上述设置。需要明确的是，我们不认为标准普尔500种不同的股票会有500只。我们不认为ritin示例2.1是因子或基本投资组合的回报，如前几个主要组成部分、按价格股息率、账面价值或动量等特征排序的股票长/短投资组合，以及在多年的数据中可以估计最佳因子投资组合。我们考虑的主要应用是估计线性预测的样本外预测能力。例2.2（回归，从业者的视角）。让i=1，n返回yit的市场。考虑以下线性模型yit=kXj=0xi，jtθj+εit（2），其中k+1外部预定特征的平均收益率为线性xi，jandt随机误差为εit。让我们∈ RN，Nbe yt的已知或未知协方差。例如，我们可以尝试通过市盈率、价格股息率、动量或其他变量等特征来预测标准普尔500指数中N=500的股票的回报率。现在，考虑一个用权重wt=^S下注的从业者-1textθ∈ r关于返回yt=（yt，…，yNt），其中^sti是一个加权矩阵，它将预测xtθ映射到portfolioweights。到那时，她将收到以下一系列的返回结果SYTTWT=yTt^S-1textθ=rTtθ，rTt=yTt^S-1text。理想情况下，它等于（未知）市场协方差，因此使用符号。但是，任何（！）权重方案，如等权重，只要是确定性的（或出于实际目的在时间t预先确定的），就可以。目前的设置将^Stas视为外生的。

我们的分析将以权重^St为条件。也就是说，我们感兴趣的是投资者作为权重模式^Stand参数θ的组合选择而获得的夏普比率，其中她最大化了后者。对于回报率rt，^u其年化（已实现）平均回报率和∑其协方差，设置如本节所述。重要的是要注意∑∈ Rk+1，k+1是维度k+1，预测因子的数量，通常远低于N，股票的数量，并且回归通常会在很长的时间范围内进行。实践者可以优化θ上的样本内夏普比，并应用本文导出的估计量，得到样本外夏普比的无偏估计。在本文中，如例2.2所示，我们从从业者的角度来看由θ参数化的投资组合回报。请注意，当她的加权矩阵^St与市场协方差St不同时，最优参数^θ不一定等于等式（2）中的真实参数θ。但从业者并不关心真正的参数，她关心的是使投资组合的夏普比率最大化的参数。然而，当市场协方差已知时，我们可以对这些投资组合进行广义最小二乘（GLS）解释。因此，θ将得到一致的估计。例2.3（回归，学者视角）。在例2.2中，估计θ的自然方法是最小化由逆协方差矩阵（广义最小二乘回归）加权的残差平方和：^θ=arg minθXt（yt- xtθ）TS-1t（yt）- xtθ）其中sti是市场协方差。

NowminθXt（yt- xtθ）TS-1t（yt）- xtθ）<=> 最小θ-2XtyTtS-1textθ|{z}wt+XtθTxTtS-1txtθ|{z}wTtStwt<=> 最大θ2^uTθ- θT∑θ与^uT=cXtyTtS-1txtand∑=CxTxts-1TX其中c>0是一个年化因子，^uTθ是加权预测wt=S的赌博年化平均回报-N个市场上的1textθ，即rTt=yTtS-1text，与θ相关的返回值，∑其协方差。因此，广义最小二乘回归与最大化加权投资组合的均值-方差效用（以及夏普比率）相同，反之亦然，前提是加权等于市场方差。实际上，如果估计值是θ中的隐含协方差等于实际协方差，那么估计值也会起作用。更准确地说，我们需要GLS中的二次项等于θ中的真（k+1）维协方差矩阵，即：XtxTt^S-1txt=XtxTt^S-第1节-1TXT这是市场协方差估计值^St的一致性条件。请注意，STI通常未知，广义最小二乘估计值（GLS）需要对其进行估计，方法与示例2.2中的从业者需要权重模式^St相同。从业者无需正确指定N维协方差St，无论她认为什么是产生回报的适当加权方案——这是一种启发——都将是确定的。本文中的分析，即样本外夏普比率的估计值取决于她对^S的选择，因此不受^S中任何估计者的影响。错误的选择会产生错误的回报，因为在GLS中错误的选择会产生效率较低的估计值。示例2.3显示，GLS与均值-方差优化相同，其中回归预测和均值-方差优化权重之间的转换由WT=s给出-1t^rt。

特别是，使最小二乘最小的参数也使锐度比最大化。因此，在参数估计方面，最小二乘回归和夏普比最大化是等价的。然而，在估计样本外统计数据和模型选择时，它们是不同的。对于回归（均值-方差效用），Kaike信息标准选择最大化样本外估计值的模型。相比之下，定理3.1中定义的SRIC选择样本外估计值最高的模型。备注2.4。在不同的解释中，与其观察T年的数据，并以^u作为样本平均值，^u可以是投资者从不同模型或类似于Black–Litterman模型（Black and Litterman（1991））中的量化猜测中获得的观点或先验信念。在这种情况下，ν对视图周围的不确定性进行建模，T描述其精度（方差的倒数）。我们区分样本内夏普比率ρ和样本外夏普比率τ：定义2.5（夏普比率）。参数θ的样本内夏普比为ρ（θ）=^uTθ√θT∑θ。（未观察到的）样本外夏普比率，用τ表示（对于真实夏普比率），然后从平均回报中去除噪声项：τ（θ）=uTθ√θT∑现在考虑一个投资者，他在所有参数θ中最大化夏普比率。由于样本内夏普和样本外夏普之间存在差异，两种最大化器都是不同的。我们使用以下符号：符号2.6。

用^θ表示一个参数向量，该向量使样本中的Sharperatio和letθ最大*成为最大化样本外夏普比率的参数。^θ ∈ arg maxθ∈Θρ(θ), θ*∈ arg maxθ∈τ（θ）我们缩写为ρ=ρ（θ），τ=τ（θ），τ*= τ(θ*), ρ*= ρ(θ*)我们总结了表1中的符号。值符号参数描述ρ（^θ）ρρθ最佳样本内参数的夏普比应用于样本内数据集ρ（θ*) ρ*θ*最佳样本外参数的夏普比应用于样本内数据集τ（θ）ττθ最佳样本内参数的夏普比应用于样本外数据集τ（θ）*) τ*θ*最佳样本外参数的Sharpe比率适用于样本外数据集1：样本内和样本外Sharpe以及true和EstimatedParameters的所有四种组合使用符号2.6，我们得到了本文的核心分解：^τ|{z}oos Sharpe=^ρ|{z}是Sharpe-(^ρ - ρ*)| {z}噪声系数- (τ*- ^τ）|{z}估计误差+τ*- ρ*| {z}噪声（3）分解（3）表示样本外夏普比率等于样本内夏普比率减去三项。首先，样本集内的估计参数与真实参数之间的夏普比差异，可以解释为噪声。其次，样本集外的估计参数与真实参数之间的夏普比差异，即估计误差。第三，样本内数据集和样本外数据集之间trueparameter的夏普比差异，即样本数据中的噪声。我们将在下一次定义中记录这种分解。定义2.7。样本内夏普比可以分解为^ρ=^τ+N+E+UNote，即^θ和θ*只有与正常数相乘时才是唯一的。当E[U]=0时，以下定义适用于n=ρ（^θ）- ρ(θ*) （噪声拟合），E=τ（θ）*) - τ（θ）（估计误差），U=ρ（θ）*) - τ (θ*) （噪音）。自然会出现两个问题。

首先，（1）^ρ是τ的最大采样率，其信息量有多大*真正的最优？选择（事后）最优参数^θ将导致一些噪声，因此其夏普比（预期）将高估真实夏普比。但要多少钱？第二，如果估计参数^θ，而不是真实参数θ*, 在样本外应用时，预计夏普比率是多少。也就是说（2）由于噪声和估计误差的组合，夏普比的降低有多高？第一个问题需要泰勒化，在技术上更为复杂，这就是为什么我们在这里只评论它。我们在下面第3节中回答第二个问题。在此之前，我们对已知协方差矩阵的假设进行了评论。优化夏普比时，有两种不同的噪声源。估计协方差矩阵中的噪声和估计收益中的噪声。这对应于两种不同的渐近性。如果我们确定时间范围并增加采样频率，例如从每月、每天到每小时，我们可以得到越来越准确的协方差估计。然而，对平均回报率的估计并没有变得更加精确。在连续时间观测的极限条件下，观测到的协方差无误差且已知，而平均收益则未知。另一方面，如果我们增加时间范围，收益估计也会变得不那么嘈杂。在这里，我们关注的是协方差矩阵已知的情况，并且只有均值回报是用噪声估计的。当平均回报中存在估计误差时，这是相关的情况，例如，在回归设置中，一些预测参数根据几个月或几年的样本数据进行了优化。