噪声拟合、估计误差和夏普信息准则

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Noise Fit, Estimation Error and a Sharpe Information Criterion》
---
作者：
Dirk Paulsen and Jakob S\\\"ohl
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  When the in-sample Sharpe ratio is obtained by optimizing over a k-dimensional parameter space, it is a biased estimator for what can be expected on unseen data (out-of-sample). We derive (1) an unbiased estimator adjusting for both sources of bias: noise fit and estimation error. We then show (2) how to use the adjusted Sharpe ratio as model selection criterion analogously to the Akaike Information Criterion (AIC). Selecting a model with the highest adjusted Sharpe ratio selects the model with the highest estimated out-of-sample Sharpe ratio in the same way as selection by AIC does for the log-likelihood as measure of fit.
---
中文摘要：
当通过在k维参数空间上进行优化获得样本内夏普比时，它是对未知数据（样本外）的有偏估计。我们推导了（1）一个无偏估计器，该估计器同时调整了两个偏差来源：噪声拟合和估计误差。然后，我们展示（2）如何使用调整后的夏普比率作为模型选择标准，类似于Akaike信息标准（AIC）。选择具有最高调整夏普比的模型，选择具有最高估计样本外夏普比的模型，方法与AIC选择对数似然作为拟合度量的方法相同。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
--> Noise_Fit,_Estimation_Error_and_a_Sharpe_Information_Criterion.pdf (782.27 KB)

2022-5-10 20:32:11 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Econophysics Applications information Statistical

噪声拟合、估计误差和aSharpe信息准则*1和雅各布S–ohl**2John Street CapitalTU Delftu 2019年12月11日摘要当通过在k维参数空间上进行优化来获得样本内夏普比率时，它是对未知数据（样本外）的有偏估计。我们推导了（1）一个无偏估计量，该估计量同时调整了偏差来源：噪声系数和估计误差。然后，我们展示（2）如何使用调整后的Sharpe-ratioas模型选择准则，类似于Akaike信息准则（AIC）。选择具有最高调整夏普比的模型，选择具有最高估计样本外夏普比的模型，方法与AIC Does选择对数似然作为Fit度量的方法相同。关键词：模型选择、夏普比、Akaike信息准则、AIC、回测、噪声拟合、过Fit、估计误差、夏普比信息准则、SRIC*约翰街资本有限责任合伙公司，伦敦，英国，电子邮件：德克。Hpaulsen@googlemail.com**荷兰代尔夫特大学代尔夫特应用数学研究所，电子邮件：j。soehl@tudelft.nl1.简介夏普比率是衡量回报可预测性的一个简便方法。夏普比率是年化平均（超额）回报率与回报波动率的比率。这是一个有用的统计数据，因为它总结了回报分布的前两个时刻，在杠杆作用下是不变的，因此，无论投资者的风险回报偏好如何，它都是二阶近似的相关指标。在许多情况下，夏普比在样本数据集的一组参数上最大化。

无论是资产组合中的权重（Markowitz（1952））、风险因素敞口、回归中的预测变量，还是影响投资策略的其他参数，如趋势模型的时间范围。这样优化的（样本内）夏普比率高估了在看不见的数据（样本外）上可以预期的夏普比率。原因有两个。首先，in-sampleSharpe比率两次使用in-sample数据集。第一次估计最佳参数，第二次估计得到的夏普比率。由于估计的参数将针对样本内数据的噪声进行调整，在同一数据集上计算样本内的夏普比将高估真实参数的夏普比（噪声系数）。第二，估计的参数偏离了真实参数。因此，估计参数下的清晰度将小于未统计数据（估计误差）上真实参数下的清晰度。对于噪声系数和估计误差的更正式定义，请参考等式（3）中的误差分解。如图所示，考虑一个线性回归模型。假设我们感兴趣的问题是，通过市盈率和股息率等特征，标准普尔500指数中股票的回报在多大程度上是可预测的。在这种情况下，我们将对股票i=1的收益率进行建模，500 asrit=uit+εit，其中uit=MXj=1xi，jtθj0，其中εitis噪声为零均值，预期股票回报uitis在M特征xi，jt，j=1，…，中呈线性，具有未知系数θ的M。我们可以通过广义最小二乘法，或者通过使用适当比例的收益预测作为权重，最大化投资组合的夏普比率，得到一个^θ估计值。

如果我们估计样本数据集中的参数，并测量相同数据的可预测性，比如说通过Ror的夏普拉蒂奥，我们高估了真实的可预测性（噪声系数）。也就是说，即使不存在可预测性，噪声将保证我们仍能在样本R中观察到一个正值。其次，如果我们使用估计的系数θ并将其应用于一个独立的数据集，我们低估了真实的可预测性，因为估计系数中的估计误差会降低其预测能力。估计模型的预测能力低于未知真实模型（估计误差）。标准的统计测试处理真实模型的推断。标准测试询问^θ是否允许得出未知真θ的可预测性*大于给定置信水平下的阈值。因此，它们在噪声系数的样本估计中是正确的。相比之下，在本文中，我们对估计参数^θ下的夏普比感兴趣。因此，我们需要额外校正估计误差。当应用估计模型时，投资组合经理可以从样本中期望什么样的夏普比率？对一个fittedModel的样本外夏普比率的最佳估计是什么？我们通过推导样本外夏普比的无偏闭式估计来回答这个问题，当样本内夏普比是通过拟合k参数获得的。我们的估计器可以同时校正噪声和估计误差，并且只能基于可观测数据进行计算。特别是，我们不认为真正的夏普比率是已知的。这也是为什么估值器可以作为模型选择标准，这是我们的第二个贡献。由此产生的标准类似于Akaike信息标准，但以Sharperatio为目标，而非对数似然（见第4节）。

因此，我们称我们的估计为夏普比率信息准则。长期以来，投资组合选择（或回报预测）中估计误差对样本外绩效的有害影响已被认识（见Frankfurteret al.（1971）；狄金森（1974）；Jobson和Korkie（1980）。DeMiguel等人（2009年）指出，估计误差非常严重，以至于不进行优化的简单分配规则通常优于单纯优化。各种各样的想法已经出现，以打击估计错误。Jorion（1986）等人建议缩减回报估计。Kan和Zhou（2007）提出了将Markowitz投资组合与无风险资产和最小方差投资组合相结合的规则，以最大化样本外均值-方差效用的估计。Kirby和Ostdiek（2012）建议将投资策略参数化。虽然这并不能完全消除估计误差，但问题被简化为一个潜在的低维子空间，这允许使用更长的估计时间。也就是说，平均方差最优投资组合和最小方差投资组合之间的最佳权重可以在50年的数据中得到很好的估计，而特定股票的回报率可以通过不超过1年的回顾来进行最佳估计。参数化方法类似于本文涵盖的回归设置。Ledoit和Wolf（2014）回答了如何缩小协方差矩阵以优化预期样本外夏普比率的问题。

假设平均回报率为beknown，但必须估计协方差矩阵，这与我们的设置相反。对于普通最小二乘回归，调整后的R会修正样本中的Rf，例如，在线性回归的F检验中，这种修正隐含在非零均值分布中，通过F检验，即使在零可预测性的完全假设下，样本中也会有正的Rf。fit，但不是估计误差。在更一般的设置（例如回归或手头的设置，见下文）中，如果性能是根据对数似然函数来衡量的，则Akaike信息标准（AIC）-见Akaike（1974，aroundequation（2））、Akaike（1998a）、Akaike（1998b）-渐近调整噪声和估计误差。使AIC最小化的模型是具有最高估计样本外对数似然的模型。相比之下，在这里，我们关心的是最大化Sharperatio而不是对数可能性的问题。对于更一般的目标函数，West（1996）提供了计算样本外预测的光滑函数矩的工具。建议的方法是围绕真实参数使用泰勒展开。这在目前的线性情况下是不必要的。Hansen（2009）推导了一般情况下噪声系数和估计误差的联合渐近分布，作为其他极限实体的函数。尽管有这些文献，但令人惊讶的是，关于估计误差和噪声的量化，或者关于最大化多少参数的研究却很少。

当预测返回时，人们想知道预测是否足够好，以保证高效的样本外性能，或者何时包含额外的预测对其有害。与我们在本文中的目标最为相似，同时也是对其的补充，isSiegel和Woodgate（2007）。对于均值-方差投资组合的平均样本外收益和样本外方差，作者给出了一个渐近无偏估计。这在估计效率边界时非常有用。然而，对于夏普比率，结果估值器的阶数T有偏差，与无偏差调整的阶数相同（关于推导，请参见我们的附录）。此外，虽然技术上更复杂，但作者考虑了权重总和为1的情况。相比之下，我们不做这种限制，因为首先，我们希望考虑杠杆作用，其次，我们主要关注的是参数不是权重而是回归系数的情况。El Karoui（2013）估计了资产数量较大时的样本外方差。对于Sharpe比率，Bailey和de Prado（2014）以及Harvey和Liu（2015）推导了样本外Sharpe的估计值，前提是样本内Sharpe比率是通过最大化试验获得的。他们的方法基于计算多重假设检验的p值，并将其用作夏普比率的启发。Novy Marx（2015）研究了临界值，这可以被视为在真实模型下，调整后需求的预期值为真实R（假设因变量的真实方差已知且等于无偏样本估计）。尽管AIC是根据信息理论制定的——AIC最小化了所选模型和真实模型之间的估计库勒-莱布勒差异——但在许多情况下，有一种不同的、更直观的解释。

通过构造，AIC是对真实模型和估计模型之间的Kullback-Leibler偏差的估计。Kullback-Leibler差异可以写成真实模型和拟合模型之间预期样本外对数可能性的差异。因此，选择最小AIC模型时，会选择样本外对数似然估计值最高的模型。参见Stone（1977），他证明，在回归环境中，最小化AIC与最小化交叉验证误差（残差平方和）或Burnham and Anderson（2002，第61页）或第4.2节渐近等价，后者证明了当前设置的陈述。用于从N个独立信号中选择k个最佳。虽然假设检验的临界值基本上对数据中的噪声系数是正确的，但它们不会对估计误差进行调整。最近，Kourtis（2016）在假设真实Sharpe比率已知的情况下，通过在k维参数空间上最大化获得了对平方Sharpe比率的估计误差（但不是噪声系数）的近似修正。由于平方Sharpe比率（可以将负数变为正数）近似于均值-方差效用，这是高达o（1/T）阶的修正，与Kan和Zhou（2007，等式（16））中的修正相同，他们推导了样本外均值-方差效用的估计量，依赖于未知的最优值。他们的调整是AIC调整的一半，因为没有对噪声系数进行校正。Kan和Wang（2015）等结果计算了样本外夏普比率的分布。然而，他们的结果也取决于对真正的敏锐度的了解。相比之下，我们并不认为真正的夏普比率是已知的，并提供纯粹基于可观察数据的麻醉剂。SRIC目前有两个应用。

首先，一个投资者在k个参数上最大化一个投资策略，这可能是她的投资组合中的资产或回报预测，可能对其样本外夏普比率的估计感兴趣。其次，投资者可能感兴趣的是，有多少参数可以最大化她的策略。如果已经有一个基于市盈率的因素，那么价格股息率是否会增加业绩？这是一个模型选择的问题。Akaike信息标准（AIC）选择优化样本外对数可能性估计的投资组合。在高斯情况下，这与最大化样本外均值方差效用的估计相同。SRIC作为模型选择标准，选择优化样本外夏普比率无偏估计的投资组合。SRIC对附加参数的惩罚小于AIC。直觉是，（天真的）均值-方差投资者会因为样本估计过于乐观而承担太多风险。AIC因此受到了正确的惩罚。相比之下，夏普比率投资者不受绝对风险敞口的影响，只受风险回报交易的影响。然而，一个更现实的均值-方差投资者会缩小样本内估计（例如，使用本文中推导的估计），利用较少的杠杆，因此对夏普比率而非均值-方差效用更感兴趣。对这样的投资者来说，SRIC也是正确的模式选择标准。这是因为统计标准测试的目的是推断未知参数的预测能力，而不是推断将在样本外应用的参数，即受噪声污染的估计参数。

这一点在似然比检验中最为明显，其检验统计量（在高斯情况下）为χ（k）分布，而样本内和样本外日志似然度之间的差异为χ（2k）分布，这就是为什么Akaike信息标准以因子2惩罚参数数量（另见第4.2节）。校正样本中的夏普比以获得噪声和估计误差，结果非常简单。设^ρ为样本内夏普比，在k维参数空间和T年样本内数据上最大化。本文的主要结果是，如果我们在样本中定义=^ρ|{z}-kT^ρ|{z}估计的噪声系数和估计误差（1），其中SRIC代表夏普比率信息标准，则ne[样本外夏普比率]=E[SRIC]。特别是，SRIC是样本外夏普比率的无偏估计量。注意表达式的简单性，它只涉及样本内夏普、参数的数量和样本内周期的长度（以年为单位）。例如，如果存在一个投资策略，其中k=5个参数，且在T=10年的数据中，样本内的最优夏普为^ρ=1，则估计的样本外夏普为1-= 0.5.图1（Sharpe差异曲线）：样本内Sharpe比率，该比率是固定估计样本外Sharpe所需的比率，取决于假设10年样本内数据的参数数量。图1说明了SRIC作为模型选择标准，以及以夏普差异曲线的形式提供的样本外性能信息，即样本内夏普比率测量值和导致相同估计样本外夏普比率的参数数量的组合（对于T=10年的样本内数据）。这里，k是影响夏普比率的参数数量，即不计算投资组合的杠杆率。