复杂网络上的噪声投票模型

作为对转换的定量描述，我们将使用N的方差：记住，N（N+2）/12nσst[N]=N（N+2）/12之间离散均匀分布的方差确认以这种方式获得的分布确实是均匀的。4/280.00.20.40.60.81.0nNa）a=10-4<ac0 5000 10000 15000 20000 25000 300000。00.20.40.60.81.0nNb）a=2.10-3> 图1。Barab\'asi-Albert无标度网络中状态节点的分数。单一实现。相互作用参数固定为h=1，系统尺寸固定为N=2500，平均度数固定为k=8。n的方差将不相关网络的退火近似转化为单个变量的二阶交叉矩的方程ssi，方程（8），我们可以用整个系统的和替换相邻集合上的和。如果我们用协方差矩阵σi j重写这个方程，定义为σi j=hsisji-Hsihsji，（12）我们可以使用σ[n]=hni的关系式-hni=∑我是Jhsiji-∑ihsii∑jhsji=∑i jσi j（13）通过简单地对Iandj求和，找到n的方差方程。最后，经过一些代数运算（详见附录D），我们发现，在稳定状态下，σst[n]=n1+2小时1.-N4a+h+N-3+N香港k（4a+h）Nk+2hk2a+香港k（4a+h）Nk+2hk, （14） 在必要且充分的条件下i:ki<（4a+h）Nk2h，（15）这通常是正确的，对于h>0和k总是正确的≥ 2.请注意，方程式（14）推导中使用的唯一近似是对不相关网络退火近似中涉及的邻接矩阵的估计。5/28对于所研究的三种类型的网络，方差σst[n]作为噪声参数的函数的行为如图2所示。

正如我们所观察到的，尽管对噪声参数的中间值进行了小范围但系统性的高估，但数值稳态方差的特征由等式（14）中的解析表达式正确捕捉。特别是，我们的方法很好地描述了它的依赖性和底层网络结构的影响。相比之下，之前文献中提出的平均场解（包括在图2中进行比较）无法再现Erd–os-R\"enyi随机网络和噪声参数a值的良好近似值。10-1.10-710-610-510-410-310-210-1100101a10-210-1100101102103σ2st[n]NN414Erd–os-R\"enyi Analyticallerd–os-R\"enyi numericalBarab\"asi Albert analyticalBarab\"asi Albert numericalBarab\"asi Albert numericalBarab\"asi Albert Numericalboryous analyticalBarab\"asi Albert数值。对于三种不同类型的网络：Erd¨os-R¨enyi¨网络，每个网络实现10次，每个实现50000个时间步，噪声的稳态方差不是噪声参数的函数。实线：分析结果[见等式14]。虚线：临界点的分析结果[见等式18]。虚线：平均场近似值（参见）。相互作用参数固定为h=1，系统尺寸固定为N=2500，平均度数固定为k=8。关于系统的极限行为→ 什么时候→ ∞, 我们可以观察到，对于图2所示的数值和分析结果，网络对稳态方差的影响在两个极限下都消失了，我们恢复了预期的行为。

值得注意的是，在→ 0所有网络的方差趋于t/4，我们逐步恢复投票者模型行为；在极限状态下→ ∞无论拓扑结构如何，方差都趋向于t/4，因为它对应于一个纯粹的噪声系统，由随机采用数值或（相当于与段[0，N]相关的一维随机游动）的九个独立单元组成。关于网络结构的影响，我们可以在图2中观察到，对于噪声参数的任何特定值，0<a<∞, 底层拓扑的更大程度的异质性（以相应程度分布的方差衡量）会导致N的更大稳态方差。下一小节中给出的结果进一步证实了这种行为，其中我们分别显示了噪声参数a的两个不同值下的稳态方差作为基本梯度分布σk方差的函数。正如我们所观察到的，即使数值结果被系统地高估，我们的分析方法[方程（14）]也能够捕捉这种相关性的一般特征，并代表着与无网络影响的平均场预测相比的显著改善。为了利用图2所示的方差特性研究双峰-单峰过渡，将均匀分布对应的方差值作为水平线包括在内，以便在相应的交点（用垂直虚线标记）处容易识别每个网络的临界值。请注意，均匀分布线上方（下方）的方差值对应于处于双峰（单峰）阶段的系统。

第一个观察结果是，当嘈杂的投票人模型嵌入到网络拓扑中时，仍然会发生所指的转换，从而证实了临界点对基础拓扑的6/284244依赖性，这一效应似乎被我们的方法正确捕捉到，而从平均场的角度来看，通过定义，它完全没有被注意到。通过对系统尺寸的稳态方差σst[n]进行一阶近似，这种依赖性的具体特征将变得清晰，使我们能够描述系统在小范围和大范围内的渐近行为，并找到临界点ac的明确表达式。即使方程（14）不允许直观地分析网络对稳定状态方差的影响，也不考虑临界点的显式解析解，我们在这里开发了一个适用于小型和大型的一阶系统。事实上，这种近似的结果强烈依赖于系统大小N和噪声参数a之间的关系，因此我们考虑了两种不同的近似区域。特别是当噪声参数为o（N）阶时-1） 或更小，则乘积最多为o（N）阶，方程（14）关于系统尺寸N的一阶近似值导致σst[N]=NHσkk+12aN+hσkk+1+ O（N3/2），（16）对应于小和大的方差的渐近行为。

相反，当阶数为O（N）或更大时，乘积aN至少为O（N）阶，方程（14）的一阶近似值变成σst[N]=N1+h2a+hσkk2a（4a+h）+ O（N1/2），（17）对应于大a和大n的方差的渐近行为（详见附录E）。为了更精确地描述这两个关于噪声参数的渐近近似的有效范围，我们在图3中给出了数值结果的方差，以及迄今为止给出的三个相应的解析表达式：方程（14）中的解析结果，Mallain方程（16）的渐近表达式和largeain方程（17）的渐近表达式。请注意使用Barab’asi Albert freea标尺*定义为a的值，使函数（17）和（16）的对数值之间的距离最小。注意，对于这两种渐近近似，方差σst[n]成为σk方差的显式函数，对应于两个不同的噪声参数值a的数值结果。特别是，考虑到上述渐近近似的有效范围（见图3），我们分别选择了交叉点A之前[panela]和之后[panelb]的噪声参数值*, 这两种网络类型都处于不同的区域，导致网络类型之间存在显著差异（见图2）。（14） 有效范围，但如果超出此范围，则明显不准确。因此，我们可以使用这些近似值来代替方程（14），以便更好地理解系统的行为。

通过这种方式，我们可以得出结论，就其对模型结果的影响而言，底层网络最相关的属性不是其平均度，而是其度分布相对于其平均度平方的方差σk/k，这是其度异质性的标准化度量。图4显示的结果表明，该分析显著优于无网络影响的平均场预测，尤其是对于具有高度异质性的网络。然而，请注意，这两种渐近近似都是由不相关网络的退火近似引起的：对数值结果的系统性高估，以及无法解释具有较大结构相关性的拓扑的结果。临界点参数a和读取稳态方差n取值σst[n]=n（n+2）/12，对应于a7/2810-710-610-510-410-310-210-1100101a10-1100101102103σ2st[n]Na*分析结果数值结果符号近似（小a）渐近近似（大a）图3。Barab’asi-Albert无标度网络的稳态噪声方差是噪声参数的函数。符号：数值结果（平均20个网络，每个网络10个实现，每个实现50000个时间步）。实线：分析结果[见等式（14）]。虚线：smalla的渐近逼近[见等式（16）]。虚线：大a的渐近逼近[见等式（17）]。虚线：两种渐近近似（a）之间的交叉点*= 0.014157). 相互作用参数固定为h=1，系统尺寸固定为N=2500，平均度固定为k=8。n之间的均匀分布。因此，通过将该定义应用于等式（14）中给出的方差解析表达式，可以找到临界点A的数值解。

然而，对于临界点的完全解析描述，我们必须使用上面给出的一种渐近近似，代数可解的forac。特别是，要记住一个完全连通系统的临界点的值是有序的（N-1） 由于网络结构的变化似乎是O（N）阶（见图2），那么我们可以预期临界点的值仍然是O（N）阶-1） 因此，我们可以使用方程式（16）中的小a渐近近似值，得出C=hNσkk+1+ O（N）-3/2），（18）至一级客栈（详情见附录F）。该表达式和文献42、44中先前提出的平均场近似值与图5中的数值结果进行了对比，图5中我们给出了不同类型网络的临界点C值，作为相应度分布σk方差的函数，我们注意到，在图5中，我们的分析方法系统地高估了数值结果，其根源再次在于不相关网络的退火近似。虽然等式（18）和平均场近似都能够捕捉到过渡的有限尺寸特征，但事实上→ 什么时候→ ∞—, 只有我们的方法才能重现底层网络结构对临界点的影响。特别是，我们观察到基本度分布的aof，如等式（18）所预测的。通过观察厄尔多随机网络和二分法网络对应的临界点之间的变化，可以定量评估这种相关性的重要性，后者几乎是前者的一个因素。

虽然4244知识的持续性，但迄今为止，噪声选民模型和Kirman模型均未记录临界点对基础网络特征的依赖性（参见不同模型中的类似效应）。8/28050100150200σ2st[n]Na）a=0.002<a*Erd–os-R\'enyiBarab\'asi-Albert二分法0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0σ2kk201234σ2st[n]Nb）a=0.1>a*Erd¨os-R¨enyiBarab¨asi Albert二分法数值结果分析结果交感近似值（小a）渐近近似值（大a）平均场近似值。图4。n的稳态方差作为每个点的两个噪声值的度分布σk方差的函数（按增加σk的顺序：Erd¨os-R¨enyi随机网络、Barab¨asi Albert无标度网络和每次实现50000个时间步）。实线和正方形：分析结果[见等式（14）]。虚线：小a的渐近逼近[见等式（16）]。虚线：大a的渐近近似值[见方程式（17）]。虚线：平均场近似值（参见）。交互参数固定为h=1，系统大小固定为N=2500，平均度固定为k=8.3.2局部顺序我们可以用顺序参数ρ来描述系统的局部顺序，其定义为界面密度或活动链接密度，即连接不同状态节点的链接的分数，ρ=N∑i=1Ai j[si（1-sj）+（1-si）sj]N∑i=1Ai j，（19）其中i是邻接矩阵的元素。ρ的较大值意味着更大的无序度，对应于ρ=1/2的arandom态分布，而ρ=0对应于全序。

此外，请注意，与ton相反，order参数确实考虑了节点之间连接的结构。虽然之前没有在Kirman模型中对其进行过研究，但界面密度ρ通常用于描述选民模型的时间演化。在没有噪声的情况下，投票模型的特征是存在两个吸收态（n=0和n=n），它们都对应于全阶（ρ=0）。因此，重点是9/280.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0σ2kk20是如何实现的。20.40.60.81.01.21.41.6ac×10-3 ERD–os-R’enyiBarab’asi Albert二分法分析结果平均值约为数值结果图5。噪声参数a的临界值是底层网络度分布方差σk的函数。为了保持除度分布方差外的所有参数不变，每个点使用不同的网络类型（按增加σk的顺序：Erd¨os-R¨enyi随机网络、Barab¨asi Albert无标度网络和二分法网络）。符号：数值结果（平均超过20个网络，每个网络10个实现，每个实现50000个时间步）。实线：分析结果[见等式（18）]。虚线：平均场近似值（见42,44）。交互参数固定为h=1，系统大小固定为N=2500，平均度数固定为k=8。i、 它总是活跃的。因此，重点不再是它如何达到任何最终配置，而是在初始条件的影响消失后（即在稳定状态下）表征其行为。

在NoiseVoter模型的背景下，最近的研究表明，在短暂的初始瞬态后，平均界面密度在ahρisthρist>0hρist=1/2处达到一个平台，平均场对近似已被用于寻找Hρista的解析解，作为噪声水平和底层网络平均度的函数。该解析解已被证明是噪声参数大值的良好近似值，但未考虑小噪声区域。首先，让我们强调，对于任何非零值的噪声，界面密度ρ的个别实现仍然是有效的，就像variablen的情况一样（见图1）。作为一个例子，我们展示了'[panela]和单峰模式[panelb]。而在第一组（a<ac）中，系统几乎是全序的，具有不同持续时间和振幅的周期性偏移，走向无序；在第二种情况下（a>ac），系统的无序程度较高，有一些向全秩序的大幅偏移。将上述不相关网络的退火近似引入方程（19）中给出的序参数的定义中，并关注稳态平均值，我们得到了hρist=∑i jkikj（Nk）hsist+hsjist-2hsjsjist. （20） 通过这种方式，可以通过将稳态平均界面密度表示为迄今为止给出的分析结果，即方差σst[n]（详见附录G），hρist，找到稳态平均界面密度的显式解=-（hN）“（4a+h）（2a+h）1.-N1.-Nσ[n]-N-a+h1.-N嗯。（21）10/280.00.10.20.30.40.5ρa）a=10-4<ac0 5000 10000 15000 20000 25000 300000。00.10.20.30.40.5ρb）a=2·10-3> 图6。Barab’asi-Albert无标度网络上的接口密度。单个实现（与图1所示的实现相同）。