复杂网络上的噪声投票模型

（C7）NW的17/28D方差我们在这里推导出N的稳态方差的解析表达式[正文中的等式（14）]。让我们从上一节中获得的二阶交叉力矩的（1）开始，方程式（C7），dhsisjidt=a（hsii+hsji）+hki∑M∈nn（i）hsmsji+hkj∑M∈nn（j）hsmsii-2（2a+h）西丝+ δi j“a+hhsii+hki∑M∈nn（i）hsmi-2hki∑M∈nn（i）hsmsii#。（D1）现在应用正文中描述的不相关网络的退火近似[见等式（10）]，我们可以用整个系统的和替换邻域集合上的和，发现DHSISjidt=a（hsi+hsji）+hNk∑mkm（hsmsii+hsmsji）-2（2a+h）hsisji+δij“a+hhsii+hNk∑mkmhsmi-2hNk∑mkmhsmsii#。（D2）牢记协方差矩阵的定义，σi j=hsisji-Shihsji，我们可以从正文中的方程式（6）和方程式（D2）中找到其时间演化的方程式，dσi jdt=dhsisjidt-dhsiidthsji-hsidhsjidt=-2（2a+h）（hsisji）-西西吉∑mkmh（hsmsii）-hsmihsii）+（hsmsji-hsmihsji）i+δi ja+hhsii+hNk∑mkmhsmi-2hNk∑mkmhsmsii,（D3）可以仅用协方差矩阵和一阶矩表示，dσi jdt=-2（2a+h）σi j+hNk∑mkm（σmi+σmj）+δija+hNk∑mkmhsmi+H-2hNk∑mkmhsmi谢-2hNk∑mkmσmi.（D4）在稳定状态下，同时使用一阶动量列表=1/2[正文中的等式（7））的稳定状态解，我们发现σi j=hNk∑mkm（σmi+σmj）+δija+h-2hNk∑mkmσmi2（2a+h）。（D5）注意，为了符号的简单性，我们删除了协方差（13）18/28的稳态解的子指标，通过简单地将方程（D5）与i和j相加，σst[n]来找到一个关于n的稳态方差的方程=∑i jσi j=hNk∑i jmkm（σmi+σm j）+∑我a+h-2hNk∑mkmσmi2（2a+h）=香港∑imkmσmi+∑jmkmσm j！+Na+h-2hNk∑imkmσmi2（2a+h）=Na+h+2hk1.-N∑imkmσmi2（2a+h）。（D6）现在让我们介绍变量集Sx，x∈ {0,1, 2,.. .}, 和定义的asSx=∑imkxikmσmi。

（D7）这样，我们可以用这些新变量中的一个重写n的稳态方差，S，σst[n]=na+h+2hk1.-NS2（2a+h）。（D8）为了找到新变量的方程，我们可以再次使用（D5）中协方差矩阵的方程，将其乘以kjand求和，得到变量的解。然后我们可以进行类似的操作，找到一个Sas的方程，一个S的函数，一个Sas的函数，等等。一般来说，对于任何x，我们都有x=∑i jkxikjσi j=hNk∑i jmkxikjkm（σmi+σm j）+∑ikx+1ia+h-2hNk∑mkmσmi2（2a+h）=hNk∑jkj∑imkxikmσmi+hNk∑ikxi∑jmkjkmσm j+∑ikx+1ia+h-2hNk∑imkx+1ikmσmi2（2a+h）=hSx+hkxs+Nkx+1a+h-2hNkSx+12（2a+h），（D9），其中超高符号用于度分布的平均值[见正文中的等式（3）]。从方程（D9）中，我们可以得到变量Sx的表达式，仅用Sand Sx+1表示，Sx=hkkxS+Nkx+1a+h-2hNkSx+14a+h.（D10）通过将方程（D10）倒置，我们可以将所有变量Sx+1写成前面的变量Sx+1=-（4a+h）Nk2hSx+NkxS+Nkha+hkx+1, （D11）具有一般形式sx+1=ASx+Bx。（D12）19/28很容易看出，这种递推关系的解为x+1=AxS+x∑m=1Ax-mBx，（D13）如果选择第一项中的而不是，则允许我们仅以其中一项的形式书写所有变量sSx+1，请注意，如果存在一个包含sInsideBx的项，则需要进行此选择。因此，我们可以在（D11）asSx+1中写出原始递归关系的解=-（4a+h）Nk2hxS+x∑m=1-（4a+h）Nk2h十、-锰kmS+Nkha+h公里+1.

（D14）如果我们现在重写方程（D14）asSx+1-（4a+h）Nk2hx=S+x∑m=1-（4a+h）Nk2h-锰kmS+Nkha+h公里+1, （D15）我们发现这个方程的左边在x的极限内消失→ ∞,利克斯→∞Sx+1-（4a+h）Nk2hx=极限→∞∑i jkx+1kjσi j-（4a+h）Nk2hx=-（4a+h）Nk2h利克斯→∞∑i j-2hki（4a+h）Nkx+1kjσi j=0，（D16），其中我们使用了等式（D7）中给出的变量sx的定义。方程（D16）中的最后等式成立的一个必要且充分的条件是：我：-2hki（4a+h）Nk< 1 ==> i:ki<（4a+h）Nk2h，（D17）这通常是正确的，对于h>0和k总是正确的≥ 2.因此，在X→ ∞极限，我们可以把等式（D15）的右边等于零，S+∞∑m=1-（4a+h）Nk2h-mNkm！S+∞∑m=1-（4a+h）Nk2h-mNk2ha+h公里+1！=0，（D18），并通过这种方式找到S，S的解决方案=-Nk2ha+h∞∑m=1-2h（4a+h）Nkmkm+11+N∞∑m=1-2h（4a+h）Nk嗯。关于方程（D19）中的和，我们可以使用几何级数的和∞∑m=1Amkm+z=kz∞∑m=1Amkm=Akz+11-Ak，如果| Ak |<1，（D20），其中收敛条件与方程式（D17）中之前给出的条件完全相同，因此对于h>0和k通常为真且始终为真≥ 2.通过这种方式，将结果（D20）应用于等式（D19），我们得到s=Nka+hk1+2hk（4a+h）Nk（4a+h）Nk-嗯k1+2hk（4a+h）Nk=Nka+h（4a+h）k（4a+h）Nk+2hk4a+h-香港（4a+h）Nkk（4a+h）Nk+2hk, （D21）20/28，其中分母可以重写为4a+h-香港（4a+h）Nkk（4a+h）Nk+2hk= 4a+hk[（4a+h）Nk+2hk]k-（4a+h）Nkk（4a+h）Nk+2hk=4a+hk[（4a+h）Nk+2hk]（k）-k） +2hk（4a+h）Nk+2hk=4a+hk（k）-k） +2hkk（4a+h）Nk+2hk= 4a+2hkk（4a+h）Nk+2hk,（D22）从而找到S的最终表达式，S=Nka+h（4a+h）k（4a+h）Nk+2hk4a+2hkk（4a+h）Nk+2hk.

（D23）如果我们现在回到稳态方差σst[n]的方程，作为S的函数，方程（D8），我们使用方程（D10）找到S的函数S的表达式，S=Nka+h+香港1.-NS4a+h，（D24）然后我们可以写出一个稳态方差方程，作为S的函数，σst[n]=n“1+2h1.-N4a+h+N-3+N香港2SNa+h（4a+h）#。（D25）最后，在这里介绍我们在方程（D23）中的发现，我们得出了整体变量n的稳态方差的最终表达式，如正文中所示，σst[n]=n1+2小时1.-N4a+h+N-3+N香港k（4a+h）Nk+2hk2a+香港k（4a+h）Nk+2hk. （D26）nWe方差的渐近近似在这里发展了nWe相对于系统sizeN的稳态方差的一阶近似。考虑到这一点，我们必须考虑两种不同的渐近近似状态：一种是针对smalla（对应于正文中的等式（16）），另一种是针对large a（对应于正文中的等式（17））。网络的等级，ki<√Nk，允许我们将方程（D26）写成σst[n]=n1+2小时1.-N4a+h+N-3+N香港k（4a+h）Nk1+ON-1/2!2a+香港k（4a+h）Nk1+ON-1/2!. （E1）21/28通过这种方式，我们注意到，根据乘积的阶数，方程（E1）中第三项的近似将导致不同的结果。特别是当噪声参数为o（N）阶时-1） 或者更小，则为O（N）阶的乘积atmost，我们可以继续近似为σst[N]=N1+2小时1.-N4a+h+N-3+N香港k（4a+h）Nk！2a+香港k（4a+h）Nk！+O（N）-1/2)=N1 + 21.-N+N-3+N香港！2aN+hkk！+O（N）-1/2),（E2）在N中的第一阶变成σst[N]=NN香港！2aN+hkk！+O（N）-1/2).

（E3）现在使用度分布方差的定义，σk=k-k、 我们找到了正文中给出的小a的稳态方差n和一阶n的近似值，σst[n]=nHσkk+12aN+hσkk+1+ O（N3/2）。（E4）请注意，其余条款最多为O（N3/2）级。相反，当是阶数（N）或更大时，那么乘积至少是阶数（N）的乘积，我们可以将方程（E1）近似为σst[N]=N1+2小时1.-N4a+h+N-3+N香港k（4a+h）Nk！2a+香港k（4a+h）Nk！+O（N）-3/2)=N1+2小时1.-N4a+h+N-3+N香港！2a（4a+h）N+hkk！+O（N）-3/2)=N1+2小时1.-N4a+h+N-3+N香港！2a（4a+h）N+O（N-3/2).（E5）注意，剩余项现在比之前的近似值[等式（E2）]小一个数量级。对于First22/28，我们有σst[N]=N1+2h4a+h+hkk！2a（4a+h）+O（N）-1/2)=N1+4ah+hk-k+kk！2a（4a+h）+O（N）-1/2), N中的naorder，σst[N]=N1+h2a+hσkk2a（4a+h）+ O（N1/2），（E7），其中剩余项最多为O（N1/2）阶。F临界点近似在本节中，我们推导了双峰单峰跃迁临界点的解析近似[方程（18）inahnσst[n]=n（n+2）/12n指出全连通系统的临界值a为o（n）阶-1） 由于网络结构的变化似乎是有序的（N）（参见正文中的图2），那么我们可以预期临界点的值仍然是有序的（N）-1） 因此，我们可以使用方程（E4）中的小a渐近近似，σst[n]=nHσkk+12acN+hσkk+1+ O（N3/2）=N（N+2）。

（F1）该方程的解导致，对于大N，导致正文中讨论的临界点的值，ac=hNσkk+1+ O（N）-3/2），（F2）与orderO（N）临界值的假设一致-1). 请注意，假设临界值为ofO（N）a（E7）acO（N-1） 与最初的假设不一致。G序参数：界面密度ρ我们在本节中获得了序参数ρ的解析表达式[正文中的等式（21）]。ρ定义为接口密度或活动链路的密度，即连接处于不同状态的节点的链路的分数。根据连通矩阵Ai j，ρ=∑i jAi j[si（1-sj）+（1-si）sj]∑我是jAi j=∑i jAi j（si+sj）-（sisj）∑i jAi j，（G1）（10）ρ=∑i jkikjNk（si+sj）-（sisj）∑我是jkikjNk=∑我是jkikjNk（si+sj）-sisj）。（G2）23/28将我们的注意力限制在方程（G2）的稳态平均值hρist上=∑我是jkikjNkhsist+hsjist-西斯基斯特, （G3）Sihsist=1/2稳态下的协方差矩阵，σi j=hsisjist-1/4，为了写ρist=-Nk∑i jkikjσi j，（G4），在这里我们可以识别变量S[见方程（D7）]，hρist=-2秒Nk. （G5）最后，颠倒n的方差和变量之间的关系（D25），我们可以根据n，hρist的方差写出稳态平均界面密度ρ=-（hN）“（4a+h）（2a+h）1.-N1.-Nσ[n]-N-a+h1.-NhN#，（G6）如正文所示。nWe的H自相关函数在这里推导出了稳态自相关函数的解析表达式，定义为asKst[n]（τ）=hn（t+τ）n（t）ist-hnist，（H1），其中τ起时滞作用。

就第二个时间点t+τ而言，我们假设系统在t时为atn（t），因此我们可以将n（t）视为初始条件，Kst[n]（τ）=hhn（t+τ）|n（t）in（t）ist-hnist，（H2），根据单个变量{si}，并考虑到hnist=N/2，可以写成asKst[N]（τ）=∑i jhsi（t+τ）{sl（t）}isj（t）ist-N.（H3）因此，我们需要一个HSI（t+τ）|{sl（t）}i的表达式，我们通过将噪声投票模型的转换率引入方程（B14）-，dhsi（t+τ）|{sl（t）}idτ=a，得到一阶矩的时间演化方程-（2a+h）hsi（t+τ）|{sl（t）}i+hNk∑mkmhsm（t+τ）|{sl（t）}i.（H4）为了积分方程（H4），我们必须首先得到b（t+τ）的表达式≡hNk∑mkmhsm（t+τ）|{sl（t）}i，（H5），我们可以通过将方程（H4）乘以hki/Nk，并对i，ddτhNk求和得到∑ikihsi（t+τ）{sl（t）}i=啊哈∑伊基-（2a+h）hNk∑ikihsi（t+τ）|{sl（t）}i+hNk∑伊基∑mkmhsm（t+τ）|{sl（t）}i.（H6）24/28通过这种方式，我们得到微分方程db（t+τ）dτ=ah-（2a+h）b（t+τ）+hb（t+τ）=ah-2ab（t+τ），（H7），其解为b（t+τ）=h1.-E-2aτ+ b（t）e-2aτ，（H8）b（t）（H4）dhsi（t+τ）|{sl（t）}idτ=a-（2a+h）hsi（t+τ）|{sl（t）}i+b（t+τ），（H9）具有一般解hsi（t+τ）|{sl（t）}i=Zτe（2a+h）τa+b（t+τ）dτ+ce（2a+h）τ=Zτe（2a+h）τa+h1.-E-2aτ+ b（t）e-2aτdτ+ce（2a+h）τ=a+hZτe（2a+h）τdτ+b（t）-HZτehτdτ+ce（2a+h）τ=1.-E-（2a+h）τ+b（t）-啊E-2aτ-E-（2a+h）τ+ 总工程师-（2a+h）τ。（H10）现在应用初始条件hsi（t）{sl（t）}i=si（t），我们得到hsi（t+τ）{sl（t）}i=1.-E-（2a+h）τ+b（t）-啊E-2aτ-E-（2a+h）τ+ si（t）e-（2a+h）τ。

（H11）我们现在准备返回自相关函数（H3）并在稳态下写入Kst[n]（τ）=∑i j1.-E-（2a+h）τsj（t）圣+∑i j*b（t）-啊E-2aτ-E-（2a+h）τsj（t）+st+∑i jDsi（t）sj（t）e-（2a+h）τEst-N.（H12）假设系统在t处的状态是我们的初始条件，b（t）可以写成b（t）=hNk∑ikihsi（t）|{sl（t）}i=hNk∑ikisi（t），（H13），因此我们有自相关函数Kst[n]（τ）=1.-E-（2a+h）τ∑i jhsj（t）ist+NkE-2aτ-E-（2a+h）τ∑i jmkmhsm（t）sj（t）ist-E-2aτ-E-（2a+h）τ∑i jhsj（t）ist+e-（2a+h）τ∑i jhsi（t）sj（t）ist-N.（H14）Hsist=1/2稳态下的方差矩阵，σi j=Hsist-hsist=hsisjist-1/4，我们发现[n]（τ）=-E-2aτN+kE-2aτ-E-（2a+h）τ∑jmkmσm j++ E-（2a+h）τ∑i jσi j+. （H15）25/28最后，在前面的方程中确定n和变量的方差[见方程（D7）]，并根据它们的指数衰减对术语重新排序，我们找到了正文中讨论的n的自相关函数的表达式Kst[n]（τ）=σ[n]-SkE-（2a+h）τ+Ske-2aτ。（H16）正文中给出的变量的定义，作为n的方差的函数，可以通过逆转方程（D25）直接获得。我是补充数字S110-710-610-510-410-310-210-1100101a0。00.10.20.30.40.5hρistered–os-R\"enyi analyticalBarab\"asi Albert analyticalBarab\"asi Albert NumericalChitomous AnalyticalChitomous NumericalArab\"asi Albert NumericalChitomous AnalyticalArab\"asi Albert Albert NumericalChitomous AnalyticalChitomous NumericalArab\"场对约k=8平均场对约k。平均界面密度的稳态，作为线性对数标度中噪声参数a的函数，对于三种不同类型的网络，平均度k=8：Erd¨os-R¨enyi随机网络，Barab¨asi Albert无标度（平均超过20个网络，每个网络实现10个，每个实现50000个时间步）。实线：分析结果[见方程式（G6）]。

虚线：平均度数=8的平均场对近似值（见）。虚线：平均值=2499h=1N=2500参考值1。Gunton，J.D.，San Miguel，M.和Sahni，P.S.一阶相变的动力学。相变临界值。现象。，第8卷，269-466页（学术出版社，1983年）。《晶格模型中的非平衡相变》（剑桥大学出版社，1999）。霍普菲尔德，J.J.具有紧急集体计算能力的神经网络和物理系统。过程。纳特尔。阿卡德。Sci。79, 2554–2558 (1982).4. 克利福德P.和萨德伯里A.空间冲突模型。Biometrika 60581–588（1973年）。克劳利，M.J.&梅，R.M.《种群动态和植物群落结构：一年生植物和多年生植物之间的竞争》。J.Thero。比奥。125, 475–489 (1987).6.图书馆，1992年）。Pastor Satorras，R.和Vespignani，A.流行病在无标度网络中传播。菲斯。牧师。Lett。，3200–3203 (2001).8. Watts，D.J.随机网络上全局级联的简单模型。过程。纳特尔。阿卡德。Sci。99, 5766–5771 (2002).9.Serrano，M。\'A.&Bogu＠n\'A，M.集群网络中的渗透和流行病阈值。菲斯。牧师。Lett。，88701(2006).10. Castellano，C.，Fortunato，S.和Loreto，V.社会动力学的统计物理学。牧师。摩登派青年菲斯。81, 591–646 (2009).11.Castellano，C.和Pastor Satorras，R.网络流行病中的竞争激活机制。Sci。众议员，371；内政部：10.1038/srep00371（2012）。Albert，R.&Barab\'asi，A.-L.复杂网络的统计力学。牧师。摩登派青年菲斯。74, 47–97 (2002).13.《为什么社交网络不同于其他类型的网络》。菲斯。牧师。E、 36122（2003）。Barrat，A.，Barthelemy，M.和Vespignani，A.复杂网络上的动力学过程（剑桥大学出版社，2008年）。15。纽曼，M.E.J.网络：导论（牛津大学出版社，2010年）。兰比奥特，R。

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