复杂网络上的噪声投票模型

相互作用参数固定为h=1，系统尺寸固定为N=2500，平均度数固定为k=8。hρ是不同类型网络的噪声参数的函数。还包括derivedinis的平均场对近似结果，以供比较。正如我们在图7中所观察到的，我们的方法正确地捕捉了系统在两种情况下的行为（a.10）-3） 噪声参数的极大值（a和3）：对于smalla（有限系统的投票模型结果）和largea（完全无序）都能很好地再现向SHρist=0的渐近收敛性和向SHρist=1/2的收敛性。相反，我们的分析方法无法再现噪声参数中间值的数值结果(-3.a。3).在完全连接的拓扑结构中，局部效应的所有轨迹都会丢失——这正是由顺序参数测量的结果。一方面，由于全球秩序的发展——越来越不受局部效应的影响——导致a的价值下降，a的结构在完全无序的大范围内发生变化。因此，只有在局部效应不存在或可忽略的拓扑结构中，才可以预期任何值的精确数值结果。在上面给出的方差分析结果的补充图S1中，表明只有当使用退火网络近似来推导Nhρist和σst[n]之间的关系时，分析结果和数值结果之间的差异才会出现，而不是在后者的导数中，后者只与整体相关性相关。除了界面密度对噪声参数的函数依赖性外，我们的方法还能够捕捉网络的影响，这对于。10-2界面密度，即。

e、 ，以达到更高的秩序。噪声参数（a和10-2） ，它完全无法重现smalla系统的行为，也无法解释除平均度以外的任何网络属性的影响。虽然成对近似可以捕捉中间值a的短程阶特征，但平均场结果推导中隐含的假设不允许重现小a区域的长程阶特征。注意a=0的极限情况（voter11/2810-710-610-510-410-310-210-1100101a0。00.10.20.30.40.5hρistered–os-R\'enyi Analyticallerd–os-R\'enyi numericalBarab\'asi Albert analyticalBarab\'asi Albert numericalBarab\'asi Albert Numericalbortomous analyticalBarab\'asi Albert Numericalborman-field对约如图7所示。对于三种不同类型的网络：Erd¨os-R¨enyi随机网络、Barab¨asi-Albert无标度网络和二分法网络，平均界面密度在线性对数标度下随噪声参数变化的稳态。符号：数值结果（平均超过20个网络，每个网络10个实现，50000个时间步perrealization）。实线：分析结果[见等式（21）]。虚线：平均场对近似值（参见）。交互参数固定为h=1，系统大小固定为N=2500，平均度数固定为k=8。模型）是平均场对近似的奇点，导致存在两种不同的解：与图7所示结果相关的非零解（在有限尺寸限制下正确），以及零解（在有限尺寸限制下正确）。3.3从上述nAs的自相关性推断网络特性，从任何初始条件来看，系统迅速达到动态稳定状态，其活动特性可以在图1中清楚地观察到。

为了描述这种稳态的动态性质，现在让我们关注n的稳态自相关函数，定义为asKst[n]（τ）=hn（t+τ）n（t）ist-hnist，（22），其中τ起时滞作用。在完全连接的情况下，在之前的文献中已经表明，自相关性呈指数衰减，指数与噪声参数Kst[n]（τ）=σst[n]e成正比-2aτ。在不同网络拓扑的情况下，平均场预测是预计不会对网络产生影响，因此，本文给出的数值结果表明，网络确实对n的稳态自相关函数形式有显著影响。将上述不相关网络的退火近似引入一阶矩（6）的时间演化方程，并将其与精心选择的初始条件相结合，利用上述报告的分析结果（详情见附录H），我们可以得出kst[n]（τ）=σst[n]-sE-（2a+h）τ+Se-2aτ，（23），其中定义的asS=2a+hh1.-Nσst[n]-N. （24）12/28该表达式可与图8中的数值结果进行对比，图8中我们给出了无度异质性（规则2D晶格）和高度非均匀度分布（二分法网络）网络的两种极端情况下的自相关函数，通过方差进行归一化。注意y轴上的对数刻度。0 2 4 6 8 10 12 14τ0.750.800.850.900.951.00Kst[n]（τ）σ2st[n]二分法分析数学规则二维分析规则二维数值图8。二分网络和规则二维晶格的对数线性尺度下n的自相关函数。符号：数值结果（平均10个网络，每个网络2个实现，每个实现200000个时间步）。实线：分析结果[见等式（23）]。

参数值固定为asa=0.01，h=1，系统尺寸为asN=2500，平均度数为k=8。值得注意的是，在没有程度异质性的情况下，新变量becomes=σst[n]。这可以通过应用，i、 式（14）中度分布的平均值ki=k，σst[n]=n（2a+h）2a+hN, （25）并将这一结果引入方程（24）的定义中。因此，对于没有程度异质性的网络，kst[n]（τ）=σst[n]e-2aτ2D晶格。相反，对于具有非零度异质性的网络，通常S6=σst[n]，因此自相关函数由两个不同的指数衰减分量组成[见等式（23）]。当大于0时，指数-（2a+h）τ的衰变速度比e快-2aτ。因此，对于长时间滞后，我们期望任何网络的归一化自相关函数都是平行的-2aτ在对数线性范围内，垂直位移与其异质性程度成正比，并由于与单指数行为的初始偏差。图8所示的二分法网络的数值结果证实了这一描述。对于给定的系统，方程（14）和渐近近似表达式（16）和（17）都不允许通过仅测量稳态方差of n，σst[n]来推断两个模型参数a和h的值，以及基本度分布的归一化方差σk/k。因此，如果不事先了解模型参数a和H，仅使用这些关系就不可能得出结论，在给定系统中观察到的波动是否因网络的异质性程度而有贡献。

相反，自相关函数kst[n]（τ）的特殊函数形式——具有两个指数衰减分量，其指数为A和H的不同函数——允许从方程（23）结合方程（16）或方程（17），通过仅测量聚合变量的时间相关性来推断a，handσk/kt的值，假设我们也能知道系统的大小。请注意，13/28式（16）或式（17）的使用可通过自洽性来确定，这取决于从中获得的值。例如，对于二分法网络，将方程式（23）与图8中给出的数值结果进行简单拟合，结合方程式（16）得出拟合参数值SA=0.0099，h=0.94和σk/k=2.539，与计算数值结果所用的实际值a=0.01，h=1和σk/k=2.625非常接近。通过这种方式，我们可以将系统的行为作为一个整体进行汇总。讨论在本文中，我们提出了一种新的分析方法来研究随机相互作用粒子系统中复杂42，44，45非均匀性上相互作用单元的随机二元态模型，并提出了将网络结构视为参数非均匀性的不相关网络的退火近似。基础拓扑的程度（平均场预测），但也取决于程度分布上更复杂的平均值。特别是，我们已经表明，程度的异质性——即潜在程度分布的方差——在实际系统中具有重要的实际意义，因为它表明网络的不同行为对系统的局部有序性产生影响，发现更大程度的异质性导致稳态下的平均有序水平更高。

有趣的是，我们还发现潜在度分布的异质性在确定系统时间相关性的功能形式方面发挥了相关作用。最后，我们展示了如何利用后一种效应，通过只研究整个系统的总体行为，来推断有关底层网络的一些信息——其标准化程度的不确定性——这是一个令人感兴趣的问题，因为宏观总体水平的变量比微观个体水平的变量更容易测量。不同类型网络上的数值模拟已用于验证我们的分析结果，发现除局部顺序外，所有研究性质都有显著的一致性，对于中等水平的噪声，局部顺序存在显著差异。

这种差异的根源在于退火网络近似，考虑到不相关网络假设对所提出的分析方法至关重要，我们没有施加任何特定的结构约束来避免用于数值模拟的网络中的相关性，发现这一点更为显著。48，58附录a主方程我们在这里推导出一个关于节点概率分布P（s，…，sN）的一般主方程，其中单个节点i={0，1}r+iisi=0si=1and-对于节点i处于状态si=0的概率和处于状态si=1的概率，我们可以直接写出微分方程，分别是dP（si=0）dt=-r+iP（si=0）+r-iP（si=1），dP（si=1）dt=-R-iP（si=1）+r+iP（si=0）。（A1）这里介绍单个节点步进运算符E+1和-1i，其对节点状态f（si）的任意函数的影响定义为asE+1if（si=0）= f（si=1），E+1if（si=1）= 0，E-1if（si=0）= 0，E-1if（si=1）= f（si=0），（A2）14/28我们可以重写方程（A1）asdP（si=0）dt=-r+iP（si=0）+r-iE+1iP（si=0），dP（si=1）dt=-R-iP（si=1）+r+iE-1iP（si=1）。（A3）将这两个方程分别乘以（1）-si）和si，我们可以把它们聚集在一个微分方程中，dP（si）dt=（1）-si）-r+iP（si）+r-iE+1iP（si）+ 硅-R-iP（si）+r+iE-1iP（si）, （A4）并注意到（1）-si=E+1i[si]和si=E+1i[（1-si）]，我们可以重新排列术语asdP（si）dt=E+1i-1.先生-iP（si）+E-1i-1.(1 -si）r+iP（si）. （A5）每个节点i的N节点ep（s，…，sN）∈ [1，N]，dP（s，…，sN）dt=N∑i=1E+1i-1.先生-iP（s，…，sN）+N∑i=1E-1i-1.(1 -si）r+iP（s，…，sN）.

（A6）B一阶矩时间演化方程——在本节中，我们将展示如何获得一阶矩时间演化的一般方程[正文中的方程（4）]。首先，让我们使用方程（A2）中阶跃算子的定义和每个双节点状态变量si={0，1}的二进制字符，推导出节点状态f（si）的给定函数的四个关系式，这将简化以后的计算。虽然函数fMight也依赖于其他变量，f=f（s，…，si，…，sN），但我们将注意力限制在f（si）的情况下，不失一般性。对于前两种关系，我们有∑硅E+1i-1.[sif（si）]=∑硅E+1i[sif（si）]-sif（si）= 1·f（1）-0·f（0）+0-1·f（1）=0，（B1）和∑硅E-1i-1.[(1 -si）f（si）]=∑硅E+1i[（1）-si）f（si）]-(1 -si）f（si）= 0-1·f（0）+1·f（0）-0·f（1）=0，（B2）si（A6）对应于互补态概率的降低。关于另外两种关系，我们可以写∑西西E+1i-1.[sif（si）]=∑西西E+1i[sif（si）]-sif（si）= 0·（1·f（1）-0·f（0））+1·f（0）-1·f（1））=-1·f（1）=-∑sisif（si）、（B3）和∑西西E-1i-1.[(1 -si）f（si）]=∑西西E+1i[（1）-si）f（si）]-(1 -si）f（si）= 0 ·(0 -1·f（0））+1·f（0）-0·f（1））=1·f（0）=∑si（1）-si）f（si）。（B4）15/28∑{s} 单个节点的变量，∑{s}≡∑s∑s···∑sN，（B5）和∑{s} jt表示除sj以外的所有变量的所有可能状态组合的总和，∑{s} j≡∑s···∑sj-1.∑sj+1···∑sN。（B6）请注意，这两个定义通过∑{s}=∑{s} j∑sj，（B7），它允许我们将系统所有可能配置的总和拆分为一个变量值的总和和系统其余配置的总和。

通过使用（B5）中的符号，节点状态的给定函数的平均值f（s，…，sN）可以写成df（s，…，sN）E=∑{s} f（s，…，sN）P（s，…，sN）。（B8）（A6）节点i的状态，dhsiidt=∑{s} sidP（s，…，sN）dt=∑{s} N∑j=1siE+1j-1.hsjr-jP（s，…，sN）i+∑{s} N∑j=1siE-1j-1.h（1-sj）r+jP（s，…，sN）i.（B9）将j=i和j6=i分开，我们发现=∑{s} 是的E+1i-1.先生-iP（s，…，sN）+∑{s} 是的E-1i-1.(1 -si）r+iP（s，…，sN）+∑{s} N∑j6=isiE+1j-1.hsjr-jP（s，…，sN）i+∑{s} N∑j6=isiE-1j-1.h（1-sj）r+jP（s，…，sN）i.（B10）如果我们现在使用关系式（B7）从{s}上的一般和中，提取j=i的项的Sif值上的和，而我们提取j=i的项的sj值上的和，我们得到Dhsiidt=∑{s} 我“∑西西E+1i-1.先生-iP（s，…，sN）!+∑西西E-1i-1.(1 -si）r+iP（s，…，sN）!#+N∑j6=i∑{s} jsi“∑sjE+1j-1.hsjr-jP（s，…，sN）i+∑sjE-1j-1.h（1-sj）r+jP（s，…，sN）i！#，（B11）我们可以很容易地识别关系式（B1）和（B2）对于j=i的术语，以及关系式（B3）和（B4）对于j=i的术语。这样，我们可以写HSIDT=∑{s} 我-∑西西尔-iP（s，…，sN）+∑{s} 我∑si（1）-si）r+iP（s，…，sN）！，（B12）在将总和再次组合在一起后=∑{s}r+i-（r+i+r）-i） 是的P（s，…，sN），（B13），我们最终找到了正文中一阶矩的时间演化方程，dhsiidt=hr+ii-h（r+i+r）-i） sii。

（B14）关于二阶交叉矩时间演化的16/28C方程Hsisjissiji（5）方程（A6），利用（B8）中平均值的定义，我们可以写出二阶交叉矩dhsisjidt=∑{s} sisjdP（s，…，sN）dt=∑{s} N∑k=1sisjE+1k-1.skr公司-kP（s，…，sN）+∑{s} N∑k=1sisjE-1k-1.(1 -sk）r+kP（s，…，sN）.（C1）对于k6=i，j的和的项，我们可以用关系式（B7）来写∑k6=i，j∑{s} ksisj“∑skE+1k-1.skr公司-kP（s，…，sN）!+∑skE-1k-1.(1 -sk）r+kP（s，…，sN）!#= 0，（C2），其中等式来自关系式（B1）和（B2）的应用。类似地，我们可以使用关系式（B3）和（B4）来转换方程（C1）中k=i6=j的项∑{s} isj“∑西西E+1i-1.先生-iP（s，…，sN）!+∑西西E-1i-1.(1 -si）r+iP（s，…，sN）!#=∑{s} isj“-∑西西尔-iP（s，…，sN）+∑si（1）-si）r+iP（s，…，sN）#=-∑{s} 西斯杰-iP（s，…，sN）+∑{s} （1）-sjr+iP（s，…，sN）=hr+isji-h（r+i+r）-i） sisji，（C3）和，等价地，k=j 6=i作为∑{s} jsi“∑sjsjE+1j-1.hsjr-jP（s，…，sN）i+∑sjsjE-1j-1.h（1-sj）r+jP（s，…，sN）i！#=hr+jsii-h（r+j+r）-j） 西斯吉。（C4）注意，对于表达式（C3）和（C4），我们都假设I6=j。为了研究另一种情况，当ni=j时，我们需要注意，作为变量si={0，1}的可能值，那么si=si，因此dhsiidt=dhsiidt=hr+ii-h（r+i+r）-i） sii，（C5），其中我们使用了上一节推导的一阶矩的结果（B14）。因此，我们可以写出一个关于二阶交叉矩的方程=hr+isji+hr+jsii-如果I6=jhr+ii，则hqi jsisji-h（r+i+r）-i） 如果i=j，（C6）其中qi j=r+i+r-i+r+j+r-j、 最后，使用Kronecker delta，我们得到了正文中给出的表达式，dhsisjidt=hr+isji+hr+jsii-hqi jsisji+δi jhsir-ii+h（1-si）r+ii.