拉普拉斯的看不见的手：市场结构在价格中的作用

这个特殊的特征值与我们的考虑无关：它只表示问题在价格中是尺度不变的，因此均衡价格形成一道光线。我们将通过在时间t为价格向量扰动写下α（t），并将其分解成与不变的| 1i成比例的部分，以及一个余数，在动力学中表达这一点，如下所示：对于某些实c，α（t）=| ci+|α（t）。关键是理解|α（t）的动力学。我们还将在下面展示所有的特征值都是非正的。因此，我们真正感兴趣的数量是λ↓2（D）。该量具有以下含义：存在一个可逆矩阵B（将在下面介绍），使得kxkB:=phx | B+B | xi，（i）对于所有的α，k |α（t）kB≤ k′α（0）kB·eλ↓2（D）t.（ii）对于某些α6=0，kα（t）kB=kα（0）kB·eλ↓2（D）t.因此λ↓2（D）可以被认为是平衡扰动的阻尼率；或者，-对数2λ↓2（D）是市场的收敛时间，在该时间内，均衡的任何扰动都将在范数中减半（在一定的优先基础上）。在给出结果之前，有必要正式引入加权图的拉普拉斯算子（或有时称为归一化拉普拉斯算子）的概念。为此，加权图是具有非负项的实对称矩阵A，其中没有行是0。行和列由图的顶点索引，我们说~ j、 如果Aij>0，则i和j通过边连接。对应于A的拉普拉斯矩阵是定义如下的矩阵L（A）。定义a=σ（a）为对角线矩阵，对于aii=PjAij，条目aii>0。那么L（A）=I- A.-1Aa-1.众所周知，对于任何A，0=λ↑1（L（A））≤ . . . ≤ λ↑n（L（A））≤ 核的秩是A的连通分量的个数。

请注意，L是0次齐次的，也就是说，对其参数的缩放不变性。我们将讨论几种不同加权图的拉普拉斯算子。最重要的是，被称为LC，它准确地量化了市场的阻尼率。因此，以下命题是本文的核心。命题1（阻尼率表征）。设（3.5）q（δ，λ）=-(1 + 2δ)λ + δλ.有一个对角矩阵B，D=B-1·q（δ，LC）·频带因此阻尼率为λ↓2（D）=λ↓2（q（δ，LC））。然而，应该说LCC对C的依赖相当复杂；而C本身可能很难精确地知道。因此，我们将致力于获得更明确的界限。然而，有一种非常特殊的情况下，LCI很容易记录下来：即“统一”情况，所有系数Cijare为0或1，每个参与者都有相同的“学位”，也就是说，有一个整数 > 1 s.t.对于所有i，|{j:Cij=1}|=|{j:Cji=1}|=. 在这种情况下，（a）均衡价格是一致的，（b）LC=L（U）。这种情况下的计算比ingeneral简单，并考虑到以下陈述。定理2（统一市场的界限）。在刚刚定义的特殊情况下，（3.6）q（δ，λ）↑2（L（U）））≤ λ↓2（D）≤ max{q（δ，λ）↑2（L（U）），-2} 下界是紧的，如果δ≤ 1/2或第6.2节中讨论的其他情况。一般情况在定理3中给出：它是定理2的严格推广，根据前述拉普拉斯LC给出，其定义将在第5节中给出。定理3（更一般市场的界限）。q（δ，λ）↑2（LC））≤ λ↓2（D）≤ max{q（δ，λ）↑2（LC）），-2}.如上所述，从市场数据C中读取LCI并不容易。因此，我们遵循定理3和“比较定理”，其中我们提供了更容易获得的数量的较弱界限。

这里的主要工具是谱图论中的一个引理，这个引理应该是已知的，但我们之前没有发现它。首先，定义：对于两个n×n加权邻接矩阵W，~W，设ν=ν（W，~W）=maxi，jWijWij·maxi，jWijWij,当分子和分母为0时，比率取1。（因此）≥ 1，仅当v=1时，~W是同一矩阵的比例副本。）引理4（拉普拉斯稳定性）。λ↑2（长（~W））≤ ν（W，~W）·λ↑2（L（W））。这个界限是最有可能的。（在这个引理中，W可以是任何加权邻接矩阵，不一定是我们的市场图，尽管这就是我们应用引理的方式。）拉普拉斯的无形之手。我们可以假设W是连通的，否则将引理分别应用于每个连通分量。请注意，总有一个c>0 s.t.Wij≤ ν1/2c~Wij≤ 对于所有i，j（这是对ν的替代定义）。回想一下，在参数的重缩放下，L是不变的，我们可以假设，W已经被缩放，所以Wij≤ ν1/2~Wij≤ 对于所有的i，j，设w=σ（w）和w=σ（~w）。设L=L（W）和<<L=L（<<W）。众所周知，ker L=span | wi。同样地，kerL=span | wi。根据谱定理λ↑2（L）=infx:hx | | wi=0hx | L | xihx | | xind应用转换| bi=w-1 | xi我们有（3.7）λ↑2（L）=infb:hb | | wi=0hb | wLw | bihb | w | biNote thathb | wLw | bihb | w | bi=Pi<jWij（bi- bj）Piwibi=：RW（b）RW（b）被称为W中b的罗利商。设b是一个达到等式（3.7）的向量，也就是说，L的第二个本征向量。因此hb | | wi=0和λ↑2（L）=hb | wLw | bihb | w | bi。我们使用b为第二个特征向量|L:|^bi=|bi生成一个代理^b- |1ih | w | bih | w | 1这满足了所需的H | w | bi=0。所以λ↑2（L）≤ R~W（^b）=Pi<j~Wij（^bi-^bj）Pi^wi^bi=Pi<jKWij（bi）- bj）πwi^biw的上界，我们有。≤ ν1/2Pi<jWij（bi）- bj）皮维比比8尤瓦尔·拉巴尼和伦纳德·J。

SCHULMANand下边界关于w的条目，我们有。≤ νPi<jWij（bi）- bj）Piwi^bi=νPi<jWij（bi）- bj）piwibibiwi^bi=νRW（b）piwibiwi^bi=νλ↑2（L）Piwibiwi^bi我们需要对最后一个分母下界。回想一下，有一个t s.t.^bi=bi- t、 设f（t）=Piwi（bi）-t） 。那么f是t中的一个二次型，前导系数为正，并且f/t=2tPiwi-Piwibi=2tPiwi；因此f在t=0时达到其全局最小值。因此，Piwibiwi^bi≤ 1和λ↑2（L）≤ νλ↑2（L）证明引理中的界。转向引理的最优性：实现这一点的一个例子必须将“w”权重从“b”权重集中起来，以便b中的大跳跃只发生在弱权重的边上。这是在一个由三条边组成的链W的例子中实现的，其中中间边的权重为1，外侧边的权重为x。可以计算λ↑2（L（W））=1+x。现在考虑W，其中外边缘的重量为x/ν。然后λ↑2（L（~W））/λ↑2（L（W））=ν1+xν+x。固定任何一个ν，考虑到大x的极限，我们可以看到这个比率的上确界是ν。为了应用引理，我们需要绑定ν；这将取决于两个基本参数。它们是γ，一种对效用函数复杂性的度量；和|ψ，它衡量网络中均衡价格的差异。比较理论的第一部分仅假设对基础网络（用U表示）以及数字γ和|ψ的了解。比较定理的第二部分假设，除了网络和γ，我们还知道均衡价格。如果一个人正在研究一个接近均衡的市场，这是合理的。

设E表示加权邻接矩阵的权重Eij=√里尔詹·埃杰西~ 网络的j（其他地方为0）。定理5（市场比较界限）。（1） 通过未加权拉普拉斯算子的束缚：q（δ，min{ψγ2+δλ）↑2（L（U）），1+2δ，1+n- 1}) ≤ λ↓2（D）≤ max{q（δ，λ）↑2（L（U））/（△ψγ2+δ）），-2}.（2） 通过拉普拉斯均衡价格的约束：q（δ，min{γ1+δλ）↑2（L（E）），1+2δ，1+n- 1}) ≤ λ↓2（D）≤ max{q（δ，λ）↑2（L（E））/γ1+δ），-2}.拉普拉斯9的看不见的手这些界限的复杂形式是误导性的；在许多情况下，也可能是在大多数情况下，最小值或最大值是通过包含λ的项来实现的↑因此，松弛度分别被△ψγ2+δ或γ1+δ的因子完全捕获。例外情况在引理15之后简要讨论。最后，我们提醒大家，一个市场的阻尼率并不重要，因为它所说的（不存在的）市场是真正孤立的；而是关于均衡模型对一个受到外部噪音冲击的市场的预测能力。第8节讨论了这一点，我们证明了在某个噪声模型中，对于价格在有界范围内的任何市场家族：定理6（稳态分布）。在稳定状态下，价格按多变量正态分布分布，最大方向方差与-1/λ↓2（D）4。平衡：存在性、唯一性和详细平衡平衡方程式（2.2）在r中是1次齐次的，因此非平衡向量r的任何标量倍数也是平衡向量。随后，当我们讨论唯一性时，暗示了“直至缩放”。由于市场的连通性，任何价格在均衡时都不可能为0。在我们的环境中，平衡的存在是阿罗定理、德布鲁定理[5]和麦肯齐定理[32]的推论（改进了沃尔德早期的论点，见[25,16]）。

事实上，由于效用函数是强凹的，并且是两次连续可微的，因此均衡是唯一的（直到价格标度）。然而，我们需要平衡的特殊性质，所以需要一个建立这些性质的存在性证明。在提供这一点的过程中，我们附带提供了一个独立的存在和唯一性的证明。采用概率论中的一个术语，我们说一个市场在价格r下处于详细平衡状态，如果每i，j，从i到j的支付等于从j到i的支付。从i到j的支付是dijrj。详细平衡条件是rIjrδjRi=rJjirδiRj，或（4.1）r1+δiCijRi=r1+δjcjirj。市场C具有唯一的均衡价格r，且该市场在价格r下处于详细的均衡状态。我们提醒，这是在δ>0的情况下，以及第2节详述的其他假设中。证据我们从独特性开始。引理8。最多可以有一个平衡向量。证据假设有两个向量r，r求解平衡方程（2.2），其中j使rj/rj最小，并且有一个邻居i（即，i s.t.Cij>0），它不使该比率最小。重新缩放rso rj=rj，ri≥ 对于所有i，对于j的某个邻居i，ri>rif。观察到，由于δ>0，数量ri/ri是价格向量r的一个非减损函数，对于i的邻居，在任何Rk中ri和ri的增加更为严格。然后在数值和分母中应用等式（2.2）：1=r01+δjr1+δj=piricijri>piricijri=1a矛盾。10 YUVAL RABANI和LEONARD J.SCHULMANLemma 9。存在满足公式（4.1）详细平衡条件的价格r。证据确定每两个顶点i，j的值ψi，j=kY`=1Ci`-1i`Ci`i`-1，其中i=i，i，ik=j是图形中的一条路径；我们声称这一点定义明确。考虑另一条路径i=i，i，ik=j，形成循环i，i，ik-1，j，ik-1.i、 我。

这一主张之后是c的无循环性质。因此，我们可以将ito固定为一个顶点，使得ψi，j≥ 对于所有j，定义（4.2）ψj=ψi，j（其中ψi=1）。为了将来参考，请注意ψ满足任何边i~ j等式（4.1）通过对ψ（4.4）ψj=r1+δjRir1+δiRj的另一个表达式进行缩积得到的等式（4.3）ψiCij=ψjcj。为了便于现在和下面使用，我们做了几个定义：（1）ψ=maxjψj=（maxjψj）/（minjψj）。这是对网络中价格差异的全球衡量，当然也可能被解释为对各种商品的可设计性差异的衡量。（2） γ=maxiPjCij。这是每个效用函数内多样性的局部度量。（请记住，每个非零CIJI至少为1。）（3） 对于p a价格向量，pmax=maxjpj，pmin=minjpj，和p=pmax/pmin。设|·|表示几何平均数，所以| p |=Qnp1/ni。继续证明，让K={p:|p |=1，~p≤ γ~ψ}. 让f:K→ Rn，fj（p）=p | 1+2δ1+δ（ψjPj（p））1+δ。让f:K→ Rn，fj（p）=fj（p）/|f（p）|。根据公式（4.3），f的固定点是公式（4.1）的解。现在我们证明了f通过构造将K映射成K，|f（p）|=1；我们要展示的是thatgf（p）≤ γ~ψ. 这相当于表明]f（p）≤ γ~ψ. 我们有FJ（p）≤ |p | 1+2δ1+δψmaxγpδmin1+δfj（p）≥ |p | 1+2δ1+δψminpδmaxp的1+δso∈ K、 ]f（p）≤ψγpδ1+δ≤~ψγ(γ~ψ)δ1+δ= γ~ψ.因此事实上f:K→ K.由于K是紧凸的，f在K上是连续的，Brouwer不动点定理确保f在K上有一个不动点。拉普拉斯11的看不见的手最后，我们使用需求函数公式（2.1）计算了详细平衡价格r（4.5）Xidij=r1+δjXiriCijRi=r1+δjXir1+δjCjirδiRj=RjXiCjirδi=1在j处的总需求，在第二个等式中，我们应用了详细平衡条件公式（4.1）。这表明满足详细平衡的价格r必然满足平衡条件Seq。

(2.2).根据引理8、9，Arrow Debreu市场拥有一个独特的解决方案，并且满足了详细的平衡。上述论点尤其意味着，在阿罗-德布鲁均衡中，任何两种价格都在γψ.5的因子范围内。根据局部相互作用，动力学的二次展开我们现在开始计算D，动力学的核心，由等式（3.3）给出：|˙αji=Dji |αii。为了说明该计算的结果，有必要定义三个矩阵：首先，带有条目（5.1）`ji=sCijCjiRirδiRjrδj的（对称）矩阵及其“补码”LC=I- `.接下来是对角线矩阵B，其条目为（5.2）Bjj=r1+δ/2jR1/2jψ1/2j。我们工作的关键是，LCC包含了表示系统动力学所需的所有信息；这被封装在命题1中，正如我们所记得的，该命题指出BDB-1=q（δ，LC），其中q（δ，λ）=-（1+2δ）λ+Δλ，如式（3.5）所示。本节其余部分将专门介绍命题1。证据计算的起点为公式（2.1）。我们分别考虑D的对角项和非对角项。引理10。条目Djjare:Djj=CjjRjrδj- （1+δ）+XiδCijCjiRirδiRjrδjAnd因此djj=-1.- δ+`jj+δXi`ji。12 YUVAL RABANI和LEONARD J.SCHULMANProof。Djj=Xidijαj|0i=Xiαj|0ipiCijp1+δjPkCik/pδk=αj|0i“pjCjjp1+δjPkCjk/pδk+Xi6=jpiCijp1+δjPkCik/pδk#=αj|0i“e-Δαjcjjj-δαj+rδjPk6=jCjk/rδk+Xi6=jriCijrjeαjcjj+r1+δje（1+δ）αjPk6=jCik/rδk#=-δrδjrjjj+δCjjr2δjRj+Xi6=j-里奇(-δrjCij+（1+δ）r1+δjRi）r2+2δjRi=δCjjr2δjRj-δCjjrδjRj+Xi6=jRiriδrjCijr2+2δjRi-（1+δ）Cijr1+δj！我们使用公式（4.1）将上一次求和中的因子替换为一个依赖于rj的项，该公式给出Ri=r1+δiCijRjr1+δjCji。

SoDjj=δCjjr2δjRj-δCjjrδjRj+Xi6=jriδrjCijr1+δjCjir2+2δjRir1+δiCijRj-（1+δ）Cijr1+δjCjir1+δjr1+δiCijRj=δCjjr2δjRj-δCjjrδjRj+Xi6=jδCijCjirδjRirδiRj-（1+δ）CjiRjrδi=cjjrδj-Xi（1+δ）CjiRjrδi+XiδcijjrirδiRjrδj=CjiRjrδj- （1+δ）+XiδCijCjiRirδiRjrδj引理11。条目Djk，k6=j是：Djk=rkCkjr1+δjRk+δr1-δkckkkjr1+δjRk+Xi6=kδriCijCikrδkr1+δjrith拉普拉斯证明的无形之手。Djk=Xidijαk|0i=Xiαk|0ipiCijp1+δjphch/pδh=αk|0i“pkCkjp1+δjPhCkh/pδh+Xi6=kpiCijp1+δjphch/pδh#=αk|0i“rkeαkCkjr1+δj（Ckke-δαk/rδk+Ph6=kCkh/rδh）+Xi6=kriCijr1+δj（Cike-Δk/rδk+Ph6=kCih/rδh）#=（r1+δjRk+δr1+δjkk/rδk）rkCkjr2+2δjRk+Xi6=kδriCijr1+δjCik/rδkr2+2δjRi=rkCkjr1+δjRk+δr1-δkckkkjr1+δjRk+Xi6=kδriCijCikrδkr1+δjRi动力学矩阵D不是对称的，但我们可以通过改变基|βi=B |αi来对称化它。因此，我们研究了通过相似变换得到的β上的动力学：（5.3）|βi=BDB-1 |βiNow（BDB-1） jk=sRkψkr2+δjRjψjr2+δkrkCkjr1+δjRk+δr1-δkckkjr1+δjRk+Xi6=kRiδriCijCikrδkr1+δjRi！我们使用公式（4.1）将上一次求和中的因子替换为一个依赖于RK的项，得到（BDB-1） jk=sRkψkr2+δjRjψjr2+δkrkCkjr1+δjRk+δr1-δkckkjr1+δjRk+Xi6=kδcijrkckkir1+δjRirδiRk=sRkψkr2+δjRjψjr2+δkrkCkjr1+δjRk+sRkψkr2+δjRjψjr2+δkδr1-δkckkkjr1+δjRk+Xi6=ksψkRjRkψjrδkrδjδcijckirrδi14 YUVAL RABANI和LEONARD j.Schulm将恒等式（4.3）应用于边j~ 前两个学期是k，而我~ j和我~ 第三个术语中的k。（BDB）-1） jk=SCJKCKJRRδjRkrδk+sδCKJCJKRδjRkrδksδCkkRkr2δk+Xi6=ksδCIJCJIRδiRjrδjsδCKICIRRδiRkrδk=SCJKCKJRδjRkrδk+XisδCIJCJIRδiRjrδjsδCKICICIRRδiRkrδk=`jk+δXi`ji`IK二次展开式。收集Djjand和Djk的计算结果，我们得到了：-1） jk=(-1.- δ+`jj+δPi`ji如果j=k`jk+δPi`ji`ik如果j6=k，我们最终可以完成命题1的证明：-（1+2δ）LC+δLC=-（1+δ）I+`+δ`=BDB-1.6.

关于市场的动力学拉普拉斯LCIn一般术语命题1给出了我们一直在寻求的：系统动力学的一个表达式，用一个对称矩阵表示，其非对角项在网络的边缘上得到支持。为了使这一点更加量化，我们首先要充分履行我们之前的承诺，并展示如何将LC表示为网络适当边权重W的拉普拉斯LC=L（W）。如前所述，这要求LC=I- W-1W w-1，相当于`=w-1W w-其中w=σ（w）。它将简化编写wi=wii的符号。现在等价地，wii=w | 1i表示包含w的对角线项的向量，wi=Xjwi`ijwj | wii=`wii。所以我们希望确定I的核心- ` = 立法会。我们证明了这个核等于B | 1i。首先，为了验证B | 1i是否在内核中，我们从Eqs中获取。（5.2）和（4.4）对于所有k，（6.1）Bkk=srkr1+δiRi（其中iis为引理9中定义的任何固定顶点）。现在（LCB | 1i）j=sr1+δiRiXk√rkLCjk=sr1+δiRi√rj-Xk√rk\'jk！拉普拉斯的看不见的手15如果我们把等式（4.1）和（5.1）结合起来，我们会看到`jk=Cjk√rjRj√r1+2δk代入，我们有（LCB | 1i）j=sr1+δiRi√rj（1）-RjXkCjkrδk）=0（根据需要）。因此我们有wi=Bii，也就是说w=B；由（6.2）W=B`Bis构成的矩阵W是对应于拉普拉斯LC的加权邻接矩阵。由于LCI的所有Biiare正项和非零非对角项构成一个连通图，因此秩1的LCI的核和LCI的所有剩余特征值都是正的。众所周知，以上所有内容均以2.6.1为界。相应的随机游走。虽然我们的工作并没有严格要求，但我们停下来描述与无向边加权图W相对应的随机游动。扮演asr。w、 在列向量上，它是通过wi重新缩放w的每个列i得到的随机矩阵，相当于Bii，即wb-2.