拉普拉斯的看不见的手：市场结构在价格中的作用

这反过来可以重写为B`B-1.我们可以很容易地验证h1 |是不变的：h1 | B`B-1=h1 | W B-2=hBii | B-2=h1 |和相应的右特征向量，平稳分布，是|Biii:B`B-1 | Biii=W B-2 | Biii=W | 1i=| Biii。我们的详细平衡条件在这里与随机游动的详细平衡条件一致，即对于任何i~ j、 沿着边缘的每个方向上的跃迁频率是相等的，我们可以通过以下方式验证：（wb）-2） jiBii=Wji=Wij=（wb）-2） IJBJ6。2.定理3的证明：λ的界↓2（BDB）-1） 关于λ↑2（LC）。最终我们感兴趣的是BDB的第二大特征值-1（最大值为0，对应于平衡态射线），表示为λ↓2（BDB）-1） ，我们之前称之为市场的阻尼率，因为它随着-1/T表示平衡态微扰的半衰期。（特征值是实的，这很方便，但我们在这里开发和量化的线性系统的熟悉特性是，特征值位于左半开平面。）由于命题1，lc的每个特征值λ映射到一个特征值q（δ，λ）=-BDB的（1+2δ）λ+δλ-1.映射q在整个[0,1+2δ]中λ单调递减；如果1+2δ<2，则其对称上升至-λ=2时为2，它也等于-δ为2。（见图。）因此，有足够的条件↓2（BDB）-1） =q（δ，λ）↑2（LC））包括（a）包含在[0,1+2δ]中的LCI的光谱，或（b）λ↑2（立法会）≤δ.如果W“远离二分体”，特别是如果当地商品消费充足（即系数足够大），将出现第（a）条。如果δ≤ 1/2.即使在这些有利的情况之外，也要注意，对于任何λ>1+2δ，q（δ，λ）≤ -2.所有情况：（6.3）q（δ，λ）↑2（LC））≤ λ↓2（BDB）-1) ≤ max{q（δ，λ）↑2（LC）），-2} 16尤瓦尔·拉巴尼和伦纳德·J。

SCHULMANThis证明了定理3.0.51.01.52.0λ-2.0-1.5-1.0-0.5q（0，λ）q14, λq（1，λ）6.3。定理2的证明：“一致”特例。早些时候，我们提到了所有Cij∈ {0，1}有一个 > 1 s.t.对于所有i，|{j:Cij=1}|=|{j:Cji=1}|=. 在这种情况下，所有ri=1，B是恒等式，`=W，Wij=0，除非i~ 在这种情况下，Wij=1/.然后LC=L（U）。所以等式（6.3）证明了定理2.7。比较定理：市场拉普拉斯LCV。未加权拉普拉斯L（U）和均衡价格拉普拉斯L（E）。到目前为止，我们一直在与拉普拉斯LCC合作，该LCC包含关于市场参数C的非常详细的信息，而且，它以间接方式（通过均衡价格）依赖于这些参数。然而，一般来说，在研究市场时，我们可能不知道信用证或信用证；事情肯定不会像定理2那么简单。我们的目标之一是在收敛时间上（仍然是双边的）有一个界限，这个界限比定理3弱，但不需要边到边的信息：只有市场的连通性结构（即未加权网络的矩阵UO）——这是从实际消费和可选的均衡价格中揭示出来的。这个问题的关键是引理4，它将使我们在这一节中能够约束λ↓2（BDB）-1） 根据无权网络拉普拉斯L（U）或平衡拉普拉斯L（E）。在这两个结果中，我们在“效用函数复杂性”γ中给出了一个近似因子多项式；在前一个结果中，我们还支付了一个与“价格差异”成比例的系数|ψ（这两个参数在第4节中定义）。正如我们在下一节中讨论的那样，这两种依赖关系都是必要的。首先，我们证明了即使γ是常数，网络大小中的|ψ也可以是指数的。因此，在应用这些结果时，了解均衡价格是有利的。例12。取δ=1。

修正任何a>1并在参与者中创建市场1，n按如下顺序排列在链条中。Cijis仅适用于| i- j|≤ 1.对于这样的i，j，Cij=aj-i、 在某些边缘效应下，这个网络中的价格与a2i成正比。因此|ψ∈ Θ（a2n）。在证明定理5之前，我们首先建立了关于均衡价格的两个引理：引理13。马克西~jrirj≤ γ.拉普拉斯的无形之手。让我~ j应确保u=rirj=maxi~jrirj。应用公式（4.1）：u1+δ=r1+δir1+δj=CjiRiCijRj=CjiPkCik/rδkCijP`Cj`/rδ`≤urjriδcjipkcikjp`Cj`=μδcjipkcikjp`Cj`并应用Cji≤P`Cj`，引理如下。引理14。无论如何，我~ j、 γ-2.-2δ≤CijCjirδiRirδjRj≤ 1.即γ-1.-δ≤ `ij≤ 1.证据。上界之后是去掉分母中的大部分项，只留下rδiCijrδjrδjCjirδi。对于下界，我们应用引理13得到Ri≤ （γ/ri）δPkCik。将其应用于RjyieldsCijCjirδiRirδjRj≥CijCjiγ2δ（PkCik）（P`Cj`）≥ γ-2.-2δ. 作为D和BDB-1关于同谱，从现在起，所有的边界都是以后一种形式表述的，后者是对称的，更容易处理。我们继续证明定理5，替换λ↓带λ的2（D）↓2（BDB）-1).证据证据分成两个引理。第一个是我们市场阻尼率的一般界限（邻接矩阵W和拉普拉斯LC=L（W）），根据任何其他邻接矩阵W的两个特征：其拉普拉斯谱和ν（W，W）。第二个引理是ν（W，U）和ν（W，E）。引理15。设ν=ν（W，W）。Thenq（δ，min{νλ）↑2（L（W）），1+2δ，1+n- 1}) ≤ λ↓2（BDB）-1)≤ max{q（δ，λ）↑2（L（W））/ν，-2}.证据对于引理中的第一个不等式，回想一下λ↓2（BDB）-1) ≥ q（δ，λ）↑式（6.3）中的2（LC）；还要注意的是，q（δ，λ）在λ中单调递减，直到全局最小值为1+2δ。λ有两个上界↑2（LC）：λ↑2（立法会）≤ νλ↑引理4的2（L（W））和λ↑2（立法会）≤ 1+n-1因为Tr（LC）≤ N

因此λ↓2（BDB）-1) ≥ q（δ，min{νλ）↑2（L（W）），1+2δ，1+n-1}).对于第二个不等式，回想一下λ↓2（BDB）-1) ≤ max{q（δ，λ）↑2（LC）），-2} 根据公式（6.3）。如果λ↓2（BDB）-1) > -2那么q（δ，λ↑2（LC））>-2，然后我们必须有λ↑2（LC）<min{1/δ，2}。这意味着q在区间[0，λ]内是单调的↑2（LC）]；然后应用λ↑2（L（W））/ν≤λ↑2（LC）从引理4中，我们找到q（δ，λ）↑2（LC））≤ q（δ，λ）↑2（L（W））/ν）。备注16。引理15 ismax{q（δ，λ）上界的一个等价形式↑2（L（W））/ν，-2} =q（δ，min{λ）↑2（L（W））/ν，1/δ}）。备注17。在大多数情况下，引理15中的界由λ决定↑2（L（W））术语。对于δ≤ 1/2q在[0,2]中是单调的，所以这是有保证的。即使在这个范围之外，“大多数”图也有λ↑2（L（W））小到足以容纳（除非ν非常大；但是比较定理一开始就很弱）。然而，值得指出的是一个例子，即使在ν=1的情况下，当界不是由λ确定时↑2（L（W））。以完整的二部图K2，2为例。它的拉普拉斯谱是{0,1,1,2}。对于δ>1/2，这里的临界特征值不是λ↑2（L（K2,2））=1，但λ↑4（L（K2，2））=2，相应地，阻尼率为-2.18尤瓦尔·拉巴尼和伦纳德·J·舒曼莱玛18。ν（W，U）≤△ψγ2+δ和ν（W，E）≤ γ1+δ.证据考虑加权邻接矩阵的条目，W=B`B。应用引理14和等式（6.1）、（7.1）r1+δiRi√里尔杰γ-1.-δ≤ 权重系数≤r1+δiRi√Rirjj（第4节）我们用γψ来限制价格的变化，所以对于任何i，我们都有ifWij6=0，j:Wij/Wij≤~ψγ2+δ. 这意味着引理中的第一个界。引理中的第二个界紧随式（7.1）而来。这就完成了定理5的证明。注19（关于定理5中依赖于γ和|ψ的必要性）。

首先，关于γ：很明显，定理5中的边界必须依赖于γ，因为在未加权图中，非常“弱”的边，即那些表示参与者i对好j几乎不感兴趣的边，与任何其他边都不可区分；因此，它们的存在必然会削弱我们仅通过了解未加权图而获得的结果的质量。弱边在我们的参数中通过强制γ变大来表达自己。接下来，关于|ψ：第（1）部分和第（2）部分的主要区别在于，在后一部分中，我们不会因为价格差异而失去|ψ的系数。有人可能会问，界中的|ψ因子是否是分析的产物。答案是事实并非如此：对第（1）部分中的|ψ的依赖是不可避免的。在价格非常不平衡的市场中，即使γ是有界的，未加权图的拉普拉斯函数（U）也可能是实际市场拉普拉斯函数的一个指数级差代理。我们现在展示这个。示例显示了Lc和L（U）之间阻尼率的指数差距。我们的例子使用δ=1。修正任何A>1，并在参与者中创建市场-Nn排列成链，所以Cij>0当且仅当| i- j|≤ 1.我们将展示如何将系数Cijin设置为有界范围，以便ri=a | i |。我们为我描述Cij≥ 0; 结构将对称于原点。那么等式（4.1）首先是0，然后是0<i<n，然后是n:C1+2CA-1=ACC+A-1+CA-2（7.2）Ci，i+1A2iA1-iCi，我-1+A-i+Ci，i+1A-我-1=A2i+2Ci+1，iA-iCi+1，i+A-我-1+Ci+1，i+2A-我-2（7.3）中国-1，nA2n-2A2-nCn-1，n-2+A-n+1+Cn-1.nA-n=A2nCn，n-1A-n+1Cn，n-1+A-n（7.4）下一步专门研究所有Ci，i+1=A，然后Eq。

（7.3）变成2i+1A1-iCi，我-1+2A-i=A2i+2Ci+1，iA-iCi+1，i+2A-我-1事实证明，Ci+1会迅速转化为-2我们可以从写Ci中看到，我-1=A-2+αi，Ci+1，i=A-2+αi+1，并导出递推式αi+1=g（αi），其中g（x）：=-xA+2a拉普拉斯19的看不见的手映射了间隔(-1/A，1）进入自身。剩下的只是表明边界条件可以满足这些选择。式（7.2）变成了A/3=AC/（C+2/A），我们得到了C=3A-A、 在间隔时间内(-1/A，1）对于任何A>1。现在只剩下看到一个积极的解决方案。（7.4），成为-1/（A3）-n+2A1-n） =AnCn，n-1/（A1）-nCn，n-1+A-n） 由Cn，n解决-1=A+2A-一个距离0确实有界的。既然我们有了均衡价格的简单表示，我们就可以研究加权图了。请注意，`的所有非零项都在1的常数因子（取决于a）内。来自Eqs。（6.1）（i=0）和（6.2）我们看到Ri=3，Bkk=pA | k |/3，以及边i的权重~ i+1在a |i |+1/2的常数因子范围内。所以，把这张关于theorigin的图分开，我们可以看到它的电导与A成正比-n、 从契格不等式[2,1,42]中，我们可以得出结论，代数连接性在n中也是指数小的。相比之下，未加权链的代数连接性与1/n成正比。因此，在这个市场中，价格均衡比具有相同连接性结构但所有商品都具有相同价格的市场的价格均衡要慢得多。8.受噪声影响的市场阻尼率的明显含义是，它表明一个被破坏的孤立市场会以多快的速度收敛到均衡。但一个更有趣的含义是，市场不是孤立的，而是可以被建模为不断受到噪声干扰的市场。

在这种情况下，正如我们现在所展示的，阻尼率不是告诉我们市场的动态，而是告诉我们它的稳态，它不再是一个单一的平衡点，而是价格空间上的概率分布。我们不尝试对噪音进行“现实”的处理。我们分析了为便于分析而选择的噪声模型，并推测定性预测将适用于其他轻尾噪声模型。噪声模型是β基上的加性扩散。也就是说，|βi经历了等式（5.3）中导出的确定性演化，加上（球对称）布朗运动项的组合。系统在任何时候的描述都是|βi上的概率分布。确定性演化项将分布收缩到价格的均衡射线；而扩散项则是抵抗过度收缩的熵力。组合处理在LC的特征向量的基础上对角化，因此在D的基础上对角化；因此，对于具有特征值λ的D的任何特征向量，我们可以替换确定性动力学˙x=λx（鉴于命题1，这是动力学|˙βi=BDB的标量限制）-1 |βi fromEq。（5.3），其中x是当前状态在特征向量v上的投影），通过随机动力学对x上的概率分布（表示为F）进行：（8.1）F（t，x）t=κxF（t，x）- λx（xF（t，x）），其中κ测量噪声的强度。20 YUVAL RABANI和LEONARD J.SCHULMANEq。（8.1）是描述Ornstein-Uhlenbeck过程的福克-普朗克偏微分方程[44,37]。F（x，t）收敛到高斯密度-λπκeλx/κ因此，沿v特征向量的平稳分布是关于原点的高斯分布，具有标准偏差p-κ/2λ.

考虑到系统的最慢模式，我们给出了定理6。（定理中的限定价格条款是必要的，因为固定噪声率应用于β基，并且该基变化的算子范数根据价格范围限定，如我们从等式（6.1）中所见。）将噪声率标准化为κ/2=1，我们得出结论，在阻尼率为λ的市场中，在任何给定时间，价格都可能偏离约tp-从它们的平衡值中减去1/λ。注意，如果选择任意δ，即使对于所有Cijare 0或1且每个节点只有一个恒定数量的邻居的网络，-λ可能在常数（独立于n）和n中的倒数相等之间。因此，市场的连通性质量，即使是在这种有限形式的市场中，也可能对典型价格偏离均衡的大小产生与代理数量线性一样大的影响。这证实并量化了在快速阻尼（λ 0）市场均衡解具有高度预测性；而在一个缓慢衰减（λ仅略小于0）的市场中，情况就不是这样了。参考文献【1】阿隆。特征值和扩展器。Combinatica，6:83–961986。[2] N.阿隆和V.米尔曼。λ、 图的等周不等式和超凝聚体。组合理论杂志，B辑，38:73-881985。[3] C·M·安德森、C·R·普洛特、K-I·岛村和S·格拉纳特。实验一般平衡中的全局不稳定性：Scarf例子。《经济理论杂志》，115（2）：209–249，2004年。[4] K·J·阿罗、H·D·布洛克和L·赫维茨。关于竞争均衡的稳定性：2。《计量经济学》，27（1）：82-1091959年。[5] K·J·阿罗和G·德布鲁。竞争经济中均衡的存在。《计量经济学》，22:265-2901954。[6] K·J·阿罗和L·赫维茨。关于竞争均衡的稳定性：I.计量经济学，26:522–5521958。[7] N。

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