拉普拉斯的看不见的手：市场结构在价格中的作用

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英文标题：
《The Invisible Hand of Laplace: the Role of Market Structure in Price
  Convergence and Oscillation》
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作者：
Yuval Rabani and Leonard J. Schulman
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  A fundamental question about a market is under what conditions, and then how rapidly, does price signaling cause price equilibration. Qualitatively, this ought to depend on how well-connected the market is. We address this question quantitatively for a certain class of Arrow-Debreu markets with continuous-time proportional t\\^{a}tonnement dynamics. We show that the algebraic connectivity of the market determines the effectiveness of price signaling equilibration. This also lets us study the rate of external noise that a market can tolerate and still maintain near-equilibrium prices.
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中文摘要：
关于市场的一个基本问题是，在什么条件下，价格信号会以多快的速度导致价格均衡。从质量上讲，这应该取决于市场的关联程度。对于一类具有连续时间比例t^a}吨动态的Arrow-Debreu市场，我们定量地解决了这个问题。我们证明了市场的代数连通性决定了价格信号均衡的有效性。这也让我们能够研究外部噪音的比率，即市场能够容忍并保持接近均衡的价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> The_Invisible_Hand_of_Laplace:_the_Role_of_Market_Structure_in_Price_Convergence.pdf (390.39 KB)

2022-5-10 21:26:10 上传

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关键词：看不见的手 拉普拉斯 市场结构 看不见 普拉斯

拉普拉斯的看不见的手：市场结构在价格趋同和波动中的作用尤瓦尔·拉巴尼和伦纳德·J·舒尔曼摘要。关于市场的一个基本问题是，在什么条件下，价格信号会以多快的速度导致价格均衡。从质量上讲，这应该取决于市场的关联程度。对于一类具有连续时间比例t^atonnement动力学的Arrow-debrumarket，我们定量地解决了这个问题。我们证明了市场的代数连通性决定了价格信号均衡的有效性。这也让我们能够研究市场能够承受的外部噪音的速度，并且仍然保持接近均衡的价格。1.介绍在自由市场中，价格的上涨或下跌表明需求或供应过剩；如果价格调整的动力运作良好，信号可以使货物清关，价格平衡。因此，关于市场的一个基本问题是，在什么条件下，以及以多快的速度，Sprice信号会导致价格均衡。然而，如何最好地模拟价格动态是一个棘手的问题。各种t^atonnement（非交易）[48]和交易流程都被视为模型。这个问题在Arrow Debremarkets[32,5]的背景下得到了特别的研究：很早就有人证明，如果商品是总替代品[4]，那么连续时间t^atonnement会收敛到一个平衡点，但在其他情况下，正如Scarf[40]所展示的，它可能不会。这推动了对t^atonnement替代形式的研究[41,31,43,47,29,23,27,8]，它们具有更强的收敛性。

然而，无论是t^atonnement还是现有的交易模型（见下文），都不是完全还原论的理论；也就是说，我们没有一个单独的战略交易模型，从这个模型中，在市场层面上形成一个动态稳定的阿罗-德布鲁市场，并与给定的禀赋保持平衡。尽管在理论上存在这种困难，但在实践中，价格信号肯定能稳定价格。在一个典型的市场中，在很长一段时间内，价格在一个接近平衡的区域内以温和的幅度波动，商品大致清淡。在任何冲击之后，市场都会恢复到一个新的接近平衡区。这毕竟是研究平衡理论的基本原理。此外，在过去的15年里，实验室证据已经积累起来，支持t^atonnement dynamics[36,3,26,20,15]，即使在Scarf\'s或Gale\'s[19]等市场，它也会做出令人惊讶的预测。简言之，毫无疑问，价格信号的“看不见的手”的确是在非实体市场中运作的。一个好的经济理论应该捕捉其运作的数量方面。这种量化应该包括关于收敛速度的信息，至少在稳定平衡附近；理想情况下，ISF拨款856-11、BSF拨款2012333和I-CORE Algo部分支持关于典型失衡模式的信息。LJS部分得到了NSF拨款1319745和BSF拨款2012333的支持。地址：耶路撒冷希伯来大学，雷切尔和塞利姆贝宁计算机科学与工程学院，以色列耶路撒冷9190401，yrabani@cs.huji.ac.il; 加州理工学院工程与应用科学MC305-16，加利福尼亚州帕萨迪纳91125，美国，schulman@caltech.edu.2尤瓦尔·拉巴尼（YUVAL RABANI）和伦纳德·J·舒尔曼特（LEONARD J.SCHULMANthat）可以从经验上观察到，因为不快速衰减的模式可能会由于外部刺激而持续存在。

我们强调，一个真正的定量理论不能是片面的（只从上面或从下面限定收敛速度）——如果我们想要比较两个市场，或者理解振荡是由于刺激还是系统的长期模式造成的，我们需要上下限。在本文中，我们朝着这种量化迈出了一步。考虑到已经讨论过的市场失衡建模挑战，我们的方法非常保守：我们完全在Arrow-Debreu市场框架内工作，并将自己限制在萨缪尔森[38]中所述的最简单的价格动态、连续时间比例调节（CTPT）。有关这一主题的概述，请参见[33,35]，关于这一特定类别的动态市场的实验证据，请参见[26,15]。（值得注意的是，尽管正式不涉及贸易，但t^atonnement过程可以预测贸易动态。）我们将自己限制在一个环境中，在这个环境中，这些动态会趋于一致，即总替代制度[4]（另见[6,45]），而且，由于我们追求的是相当精确的结果，我们假设效用以一种可预测的形式出现；为此，我们再次做出最标准的假设，即代理具有CES实用程序。此外，由于我们希望建立收敛速度的上界和下界，我们将自己完全限制在平衡附近的系统行为上。也许可以将我们的结果推广到整个价格空间，但我们必须指出，这在经济上是有充分动机的，因为简单的CTPT规则有许多与均衡一致的扩展。

我们遵循托尔斯泰关于家庭的著名格言，但不是小说家，我们把注意力集中在幸福市场上，对我们来说，幸福市场意味着接近平衡的市场。因此，我们排除了几乎所有可用于调整市场模型的参数，但我们希望研究的参数除外：市场的连通性结构。有人预计，在所有参与者两两互动的市场中，对价格失衡的反应将相对尖锐和迅速；而参与者只对大多数其他人产生间接影响的人，则会更温和、更缓慢地进行调整。我们将通过拉普拉斯矩阵的频谱来相当精确地量化这一现象，拉普拉斯矩阵是从市场的连通性结构中推导出来的。具体而言，该矩阵的第二特征值，也称为网络的代数连通性，将在大多数情况下决定市场动态的收敛速度。如果市场以固定的速度持续受到外部噪音的冲击，那么收敛速度反过来决定了价格与均线的典型距离，这也将被量化。更准确的说法有待下一节的定义。拉普拉斯算子，也被称为热核，起源于物理学（研究热扩散）、不概率性（研究随机游走）和电气工程（研究电阻网络）；在过去的几十年里，它在金融、组合数学和理论计算机科学中得到了广泛的应用。然而，我们不知道它在经济市场结构研究中的其他应用。1.1. 其他相关工作。

在继续我们的发展之前，我们提到，并非所有的市场动力学研究都是关于非交易过程的；非均衡贸易模型也已经发展并证明是收敛的，比如埃奇沃思过程[46]或哈恩过程[21,22]；然而，由于几个原因，这些与我们的研究不太相关，包括前者需要大型联盟的协调；而后者收敛到一个通常与特定捐赠不一致的均衡。更多信息请参见[17]。简单地说，尽管拉普拉斯的“看不见的手”3在交易过程中追求我们的主题是可取的，但尚未找到具有所有所需属性的模型。也许，当我们把研究集中在一个均衡的邻域时，模型之间的区别并不那么显著。关于t^atonnement稳定性的研究历史始于希克斯[24]，他讨论了t^atonnement在市场上某些条件下的局部稳定性。萨缪尔森[38,39]指出，希克斯条件既不充分，也不是稳定性所必需的。梅茨勒[34]表明，希克斯条件对于总替代品公用事业的稳定性是足够的。我们还提到了最近在理论计算机科学中关于t^atonnement[13,18,14,9,12,11,7]和相关过程[49]的一系列工作。这些论文考虑了具有CES效用（不一定是总替代品）的Fisher市场，以及一些超出此类效用函数的情况。渔民市场是特例市场，在该市场中，所有参与者对所有商品的初始捐赠总额按相同比例进行分配。因此，改变商品的相对价格不会改变参与者的相对购买力，只会改变他们所期望的消费篮子。

从计算角度来看，这类市场很有吸引力，因为有有效的算法来计算均衡价格和分配。上述论文提出了CTPT的几种离散时间解释，并建立了离散时间t^atonnement收敛时间的全局上界。从我们的角度来看，这一系列工作的亮点是[11]一篇论文，该论文将离散时间t^atonnement与梯度下降的凸优化方法联系起来，并对整个CES谱（包括ρ<0的互补情况）的收敛时间进行了上界。这些论文的结果与我们的相当不可比。从积极的一面来看，结果适用于更广泛的效用函数，并适用于整个价格空间，而不仅仅是接近均衡的价格空间。

从负面来看，结果适用于费希尔市场；最本质的区别在于，这些著作没有解决我们主要的问题，即根据市场结构来量化收敛速度，事实上，它们的框架根本没有考虑市场结构，它们只提供了最坏情况下收敛时间的单边（上限）界。另一方面，研究人员一直对其他市场结构效应感兴趣：由于这些研究不会直接影响我们的研究，我们不尝试进行调查，但只提供了几点建议：[30]看看买卖双方只能沿着既定的链接进行交易的市场、形成此类链接的动机以及此类网络中的交易效率；[28]考虑了Arrow Debreum市场，在这种市场中，直接贸易只能沿着已建立的联系进行，从而使同一商品在不同的地方具有不同的价格；[10]研究了买卖双方只能通过中间交易者进行互动的市场，研究了这些交易者的力量，以及连通性结构对均衡价格的影响。2.模型我们考虑一个Arrow-Debreu市场，其中每个参与者i被赋予一个唯一的完全可分割商品的数量i>0，也用i表示。有n个≥ 2个参与者，参与者i根据CES效用函数对商品j的分配xijo进行估值：ui（x）=Xj（cijxij）ρ！1/ρ参数ρ由所有人共享，并处于总替代方案ρ中∈ (0, 1). 简单地通过换算单位，我们可以假设所有供应量si=1；这就需要用调整后的市场取代任何一个cijin-4 YUVAL RABANI和LEONARD J.Schulmanorial市场。CIJC的系数差异很大，但不能完全概括；它们必须满足以下三个条件。（a） 非负性：cij≥ 0

（b） 市场的连通性：每个i，j都有i=i，i，ik=j s.t.Qk`=1ci`-1i`>0。（c） 无流通：让我，我，ik=ibe通过顶点的任意循环。那么qk`=1ci`-1i`=Qk`=1ci`i`-1.（注意这些条件不受补给重新缩放的影响。）这是（b）和（c）的结果，系数是弱无向的，即当且仅当cji=0时，cij=0。因此，将参与者设想为图的顶点是有用的，如果cij>0，则i，j由无向边连接。这个图中可能有自循环。设Cij=cδij。设U为该图（“未加权”市场图）的邻接矩阵，如果Cij>0，由Uij=1定义；如果Cij=0，由Uij=0定义。它将简化表达式，用δ=ρ/（1）替换常规参数ρ- ρ） （注意1/（1）-ρ） 是替代弹性，表示所需商品相互替代的程度）。在本文的所有定理中，δ是（0，∞); 这相当于ρ是（0，1）中的任意值。在Arrow-Debreu模型中，在价格pi，而不是全部为0的情况下，参与者i有预算bi=pi，然后分配给商品j，以优化篮子效用；这导致i对j的以下要求：（2.1）dij（p）=piCijp1+δjPkCik/pδk（参数p通常会被理解，我们将缩写为dij）。观察到这些需求在通过任何正乘数αi重新调整系数Cijb时是不变的。动力学（将在第3节中描述）仅取决于需求和供给，因此我们从现在开始重新调整Cij，使每i，minj:Cij>0Cij=1（当然，有些Cij>0）。这种重新缩放也保留了条件（a、b、c）。总之，对于任何给定的δ，市场完全由数据C指定。我们让P是价格P的以下函数：Pi（P）=PkCikpδk。

所以dij=piCijp1+δjPi（p）。设dj=pidij表示商品j的总需求。如果dj=1表示所有j，则价格处于均衡状态。在本文中，我们使用r表示均衡价格的向量，Ri=Pi（r）=PkCikrδk；然后，平衡条件可以改写为以下方程组：（2.2）1=r1+δjXiriCijRiwithdij（r）=r1+δjricijrib，即i对j.3的平衡需求。在接下来的第4节中，我们证明了价格均衡向量r的存在性、唯一性和某些性质。本文的重点是r附近的动力学；我们现在描述这些动态和我们的结果。拉普拉斯的看不见的手53.1。动力学如前所述，对于价格向量p（3.1）˙pj=（dj），动态在连续时间内是成比例的t^atonnement- 1） pjand我们在平衡扰动下研究这些动力学，对于小的α，pj=rjeα。那么（3.2）˙αj=˙pjpjIf cj是1的函数≤ J≤ n、 | ci或| cji∈ RN表示带有第j个条目cj的列向量；ifc是一个标量，|ci∈ Rn表示一个列向量，包含所有条目c。在平衡状态下，通过定义，˙p=|0i，因此，参考等式（3.2）的动力学，我们在α=|0i处有˙α=|0i。因此˙αj=Xi流行音乐播音员αi|0i·α从现在起我们缩写为Dji=流行音乐播音员αi|0i，所以上面变成（3.3）˙αi=D |αi。r的任何标度都是一个平衡，所以（3.4）| 0i=D |1i。3.2. 后果在动力系统中，人们非常熟悉的是，式（3.3）形式的动力学中的控制参数是D的任何特征值的最大实部；如果最大值为正，则系统不稳定。正如我们将在下面看到的，我们的算子D的特征值是实的，因此可能是指数λ↓1（D）≥ . . . ≥ λ↓n（D）。然而，正如我们从等式（3.4）中看到的，其中一个特征值为0。