风险的无偏估计

更不用说，从财务角度来看，ρ（X）值是财务未来头寸X的风险量化，通常被解释为必须向头寸X中增加的金额，以便X变得可接受。因此，具有ρ（X）的位置X≤ 0被认为是可接受的（无需添加额外的mon ey）。先验地，风险度量的定义与更大的概率没有任何关系。然而，在大多数实际应用中，人们通常会考虑法律不变的风险度量。粗略地说，相对于概率测度P，风险测度被称为定律不变量，如果ρ（X）=ρ（~X），只要X和~X的定律在P下重合，参见例如（F¨ollmer and Knispel，2013，第5节）。因此，ρ通常依赖于潜在的概率测度Pθ，因此，我们得到了一系列风险测度（ρθ）θ∈Θ，我们再次用ρ表示。这里，ρθ是在Pθ下获得的风险度量。由于具有定律不变性，r isk-测度可以用X的累积分布函数来识别。更准确地说，我们得到以下定义。用实值随机变量的累积分布函数的第D次经济凸空间表示。定义2.3。风险测度族（ρθ）θ∈如果存在函数R:D，则称为定律不变量→ R∪ {+∞} 这样对于所有θ∈ Θ和X∈ Lρθ（X）=R（FX（θ）），（2.1）FX（θ）=Pθ（X≤ ·) 表示参数θ下X的累积分布函数。我们的目标是在θ∈ Θ未知，需要从数据样本x中估算，xn。如果θ已知，我们可以从Pθ直接计算相应的风险度量eρθ，而不需要考虑族（ρθ）θ∈Θ. 目前有各种估算方法，最常见的是插件估算；详见第3节。定义2.4。

风险度量的估计量是Borel函数^ρn:Rn→ R∪ {+∞}.风险的无偏估计6有时我们称之为^ρnalso风险估计量。^ρn（x，…，xn）值对应于估计的资本金额，在将资本添加到头寸后，该金额应分类为可接受的未来头寸x。给定随机样本X，X，Xn，我们也用随机变量ρn（ω）表示：=ρn（X（ω），Xn（ω）），ω∈ Ohm,对应于估计量^ρn。通过^ρ，我们表示风险估计量的序列^ρ=（^ρn）n∈N.如果没有歧义，我们也将^ρ称为风险估计器，有时甚至用^ρ代替^ρN。定义2中给出了估计器的概念。4是非常普遍的。在实际估计风险度量时，一种非常常见的方法是将潜在随机变量的分布估计与风险度量的估计分开。这就产生了我们在下一节中讨论的成熟的插头不估值器。3.插件估计估计风险的常用方法是插件估计；seeAcerbi（2007）；Cont等人（2010年）；F–ollmer和Knispel（2013）及其参考文献。这种方法背后的想法是使用高度开发的工具来估计X的分布函数，并将此估计插入所需的风险度量中。用^fx表示未知分布的估计量，并从方程（2.1）中调用函数R。然后插件估计器^ρplugini由^ρplugin（x）：=R（^FX）给出。

（3.1）更具体地说，考虑具有一系列法律不变风险度量（ρθ）θ的参数情况∈Θ，我们从（2.1）中得到，插件估计量由^ρplugin（x）=R（FX（^θ））=ρθ（x）给出，其中^θ表示给定样本x的参数估计量。现在让我们给出一些具体的例子，其中我们提供了非参数和参数情况下所考虑风险的插件估计量的显式公式。示例3.1（经验分布插件估算）。作为一个例子，我们可以使用插件估计器的经验分布。假设X，Xnare独立，具有与X相同的分布，样本X=（X，…，xn）就在眼前。然后，经验分布由^FX（t）：=nnXi=1{xi给出≤t} ，t∈ R、 式中，1a是事件A的指示器。它是离散分布，因此R（^FX）易于计算。例3.2（核密度估计）。假设X是（绝对）连续的，对于X的密度，最流行的非参数估计技术之一是所谓的核密度估计，参见Rosenblatt（1956）；帕尔岑（1962年）。与其估计分布本身，不如专注于估计概率密度函数，因为在连续序列中，我们可以从另一个中恢复。给定s示例x=（x，…，xn），内核函数k:R→ R和带宽参数h>0（详见Silverman（1986），未知密度f的估计器^f由^f（z）=nhnXi=1K给出Z- xih, Z∈ R.风险的无偏估计7最常用的核函数是高斯核和E-panechnikov核K，由K（u）给出=√2πe-u和K（u）=（1）- u） 1{| u|≤1}.带宽参数的最佳值也可以估计，但这取决于其他假设。

例如，可以证明，如果样本是高斯的，那么带宽参数的最佳选择约为1.06^σn-1/5，其中^σ是样品的标准偏差。例3.3（正常情况下的插入式估计器）。假设X通常分布在Pθ下，对于任何θ=（θ，θ）∈ Θ=R×R>0，其中θ和θ分别表示均值和方差。给定样本x=（x，…，xn），让^θ和^θ表示估计的参数（使用极大似然估计得到）。然后，假设ρ是平移不变且正同质的（详细信息请参见f¨ollmer and Schied（2011）），经典的插入式估计器ρρ可以计算如下^ρ（x）=R（FX（θ））=ρθ（x）=ρθθx-^θ^θ+^θ!= -^θ+^θR（Φ），（3.2），其中Φ表示标准正态分布的累积分布函数。如果我们对估计风险价值感兴趣，则E q（3.2）中给出的估计值与方程式（1.4）中定义的估计值一致。例3.4（t分布的插入式估计器）。假设X在Pθ下有一个广义dt分布，对于任何θ=（θ，θ，θ）∈ Θ=R×R>0×N>2，其中θ、θ和θ分别表示平均值、方差和自由度参数。给定样本x=（x，…，xn），让^θ、^θ和^θ表示估计参数（例如使用期望最大化方法获得；有关详细信息，请参阅Fernandez和Steel（1998）。然后，假设ρ是平移不变量且正齐次，插件估计器可以表示为^ρ（x）=-^θ+^θs^θ- 2^θR（t^θ），（3.3），其中Tv对应于具有v自由度的标准t分布。特别是，对于α级的风险值，我们得到R（t^θ）=-T-1^θ(α).例3.5（使用极值理论的插入式估计器）。假设X对于任何θ都是绝对连续的∈ Θ.

对于任何阈值水平u<0，我们定义了θ下X的条件超额损失分布∈ Θas[FX]u（θ，t）=Pθ（X）≤ u+t | X<u），对于t≤ 粗略地说，皮肯兹-巴尔克马-德哈恩定理表明，对于任何θ∈ Θ，如果你→ -∞,然后，条件超额损失分布应收敛到某种广义帕累托分布（GPD）。我们指的是麦克尼尔（1999）；McNeil等人（2010）以及其中的参考文献，以了解更多细节。如果风险度量仅取决于X的下尾，则可以使用该结果为风险度量估计器提供近似公式。例如，对于风险价值或预期短缺，尤其是当风险水平较小时，情况就是如此∈ （0，1）被考虑。在对分布FX（θ）施加一些温和条件下的给定阈值水平。这包括正态分布、对数正态分布、χ分布、t分布、F分布、γ分布、指数分布和均匀分布。风险8u<0，样本x=（x，…，xn）的无偏估计，并使用所谓的历史模拟方法（详情见McNeil（1999）等），我们确定了任何t<u设置^FX（t）=kn的^FX1+^ξu- t^β-1/^ξ，（3.4），其中k是低于阈值水平u的观察数，而（^ξ，^β）对应于GPD家族中的形状和尺度估计数。估算值^ξ和^β可仅通过低于保留水平u的观测值（负值）计算，例如使用概率加权矩法（详情请参见McNeil（1999）和其中的参考文献）。现在，假设（2.1）中给出的函数R依赖于分布的尾部，即任意θ∈ 我们只需要FX（θ）|(-∞,u） 为了计算R（FX（θ）），可以使用（3.4）获得插入估计量的公式。尤其是对于α级的风险价值∈ （0，1），如果只有α<^FX（u），那么我们得到了估计量^V@RGPDα（x）=^F-1X（α）=-u+^β^ξαnk-^ξ- 1..

（3.5）请注意，这种估计实际上可能被认为是非参数的，因为它近似于一大类分布的ρ（X）值，包括几乎所有实际使用的分布。4.风险的无偏估计非常令人担忧的是，插件程序通常会导致低估风险，如第1节所述。我们的目标是引入一类新的估计器，我们称之为无偏估计器，不受这种不足的影响。定义4.1。对于ρ（X），如果对于所有θ，则称为无偏估计∈ ρθ（X+ρρn）=0。（4.1）无偏估计量具有经济上可取的特征，即将风险资本的估计量^ρ加到位置X上，使得位置X+^ρ在所有可能的情况下θ都是可接受的∈ Θ. 等式（4.1）中的等式可确保估算资本不太高。值得指出的是，除了i.i.d.的情况外，X+ρndoes的分布也依赖于X，X，…，的依赖结构，Xnand不仅是关于（边缘）定律。从特殊的角度来看，给定一个历史数据集，甚至是一个压力情景（x，…，xn），数字^ρn（x，…，xn）用于确定头寸x的资本公积，即担保头寸的风险ξn（x，…，xn）：=x+^ρn（x，…，xn）可接受的最小金额。由于参数θ未知，最好将安全位置ξn的风险降至最低，该位置现在被视为随机变量X。，Xn。如果我们对任何θ都这样做∈ Θ，那么我们估计的资本储备将接近真实（未知）资本储备。为此，对于θ的任何值，我们希望位置ξ的（总体）风险等于0∈ Θ. 这正是定义意义上的偏见。1.备注4.2（与u偏差的统计定义有关）。

定义4。1与统计意义上的无偏性不同：对于所有θ，估计量^ρ称为统计无偏，ifEθ[^ρn]=ρθ（X）∈ Θ，（4.2），其中Eθ表示Pθ下的期望算子。虽然从理论角度来看，条件（4.2）总是可取的，但对风险度量感兴趣的机构可能不会优先考虑它，因为估计资本储备的平均值并不确定风险9的无偏估计风险9的风险头寸X+^ρn。让我们更详细地解释一下：在实践中，主要目标是以这样的方式定义估计器，使其在各种回测或压力测试程序中表现良好。执行测试的类型通常由监管机构给出（例如，见BCBS，2011）。在风险价值的情况下，通常会考虑所谓的故障率程序。如第1节所述，该程序侧重于异常率，即估计资本储备不足的情景比率。这种非线性函数不同于由估计资本储备平均值给出的线性度量，强调了对abias进行不同定义的必要性。另见备注4。3.进一步解释。备注4.3（与概率无偏性的关系）。InFrancioni and Herzog（2012），作者引入了概率无基估计的概念：用FX（θ，t）=Pθ（X）表示≤ t） ，t∈ r X在Pθ下的累积分布函数。然后，估计量^ρ被称为无偏概率，ifEθ[FX（θ），-^ρn）=FX（θ，-ρθ（X）），对于所有θ∈ Θ. （4.3）直观地说，左侧对应于我们估计的资本储备不足的平均概率，而右侧对应于理论资本储备不足的概率。

这种方法适用于i.i.d.示例2的严格限制设置中的风险价值。1.事实上，在这种情况下，这与我们对定义中的无偏见的定义是一致的。1：的确，假设FX（θ）是连续的，X，Xn，Xare i.i.d.那么^ρnand X是独立的，henceEθ[FX（θ，-^ρn）=Pθ[X+^ρn<0]。另一方面，我们知道，对于ρθ是α级的风险值，我们得到FX（θ，-ρθ（X））=α，所以（4.3）等价于顶部θ[X+ρn<0]=α。（4.4）现在很容易证明这等于ρθ（X+ρρn）=inf{X∈ R:Pθ[X+ρn+X<0]≤ α} = 0.在我们这里考虑的一般情况下，需要一个更灵活的概念来定义风险估计偏差。特别是，效率低下的平均概率不包含有关资本效率水平的信息。然而，这是一个关键概念，例如，在考虑预期短缺时；比较例5。4.备注4.4（与液位调整有关）。InFrank（2016年）和Francioni and Herzog（2012年）建议对α水平进行调整，以考虑偏差。该方法专门针对交叉概率水平的无偏估计（例外情况）；Seemark4。3.我们使用备注4.3中介绍的符号来讨论这个问题。如果参数θ∈ Θ已知的是-F-1X（θ，α）。然后，通过将风险值与位置相加得到的位置X的预期超出次数等于α：Eθ[1{X]-F-1X（θ，α）<0}]=Pθ[X<F-1X（θ，α）]=α。事实上，不仅可以对单个α进行估计，还可以对所有α进行估计∈ (0, 1). 我们用^ρ（α）表示估计值，ob表示，作为α的函数，它们通常是连续的和递减的（α越低，需要的风险资本越高，以确保跨越该水平的概率小于α）。

如果一个已建立的估计程序在手边，用f族（^ρ（α））α表示∈（0,1），在e上可以调整α以消除估计偏差。特别是，如果估计后风险率的平均超越无偏估计应与α匹配，则将寻找调整后的水平αadj，从而α=Eθ[1{X]-^ρ（αadj）<0}]=ZFX（θ，y）p^ρ（αadj）（dy）；这里，p^ρ（αadj）表示^ρ（αadj）的密度。当估计器的密度为han d时，可以在数值上找到所需的α调整。请注意，这一要求与（4.4）完全匹配，不同之处在于没有修改估计器，而是调整了α水平。与方程（1.1）中的无偏估计器的比较表明，高斯情况下的调整αadj也取决于样本量n，这在实践中可能是不可取的。此外，该方法特别适用于valueat risk。我们参考Francioni和Herzog（2012）和Frank（2016）了解详细信息和示例水平调整算法。备注4.5（与次加性和基于损失的风险度量有关）。有意思的是，分析定义4中给出无偏性的最低要求。1有用：唯一的要求是位置X∈ 如果ρ（X），则可接受Lis≤ 这直接关系到ρ的适当归一化。更重要的是，它不要求ρ是一致的，甚至不要求ρ是基于损失的，asinCont等人（2013年），或El Karoui和Ravanelli（2009年）中的次加性。因此，建议的估算方法也适用于这些有趣的风险度量类别。然而，详细的分析超出了本文的范围。5.示例在本节中，我们举了一些示例，强调无偏风险估计量概念的应用。例5.1（平均值的无偏估计）。假设X对任何θ都是可积的∈ Θ，并考虑一个可接受的位置，如果它具有非负均值。

这对应于风险度量族ρθ（X）=Eθ[-十] ，θ∈ Θ.显然ρ是定律不变的。与方程（4.1）相对应，如果0=ρθ（X+ρρ）=Eθ，则风险估计器^ρ在此设置中是无偏的[-（X+^ρ）]=ρθ（X）- Eθ[^ρ]。因此，估计量^ρ是无偏的当且仅当它是统计无偏的f或任何θ∈ Θ. 因此，样本平均值的负值由^ρn（x，…，xn）=-Pni=1xin，n∈ N、 是位置X风险度量的无偏估计量。示例5.2（正态下风险值的无偏估计）。设X在Pθ下正态分布，m平均θ和方差θ为θ=（θ，θ）∈ Θ=R×R>0。对于固定的α∈ （0，1），设ρθ（X）=inf{X∈ R:Pθ[X+X<0]≤ α}, θ ∈ Θ，（5.1）表示α级的风险值。由于X是绝对连续的，等式（4.1）中定义的无偏性等于所有θ的顶部θ[X+^ρ<0]=α∈ Θ. （5.2）风险无偏估计11该概念与风险价值概率无偏估计的定义一致（详情见备注4.3）。我们将估计量^ρ定义为^ρ（x，…，xn）=-\'x- \'\'σ（x）rn+1nt-1n-1（α），（5.3）式中-1代表学生t分布与n的累积分布函数- 1自由度和‘x:=nnXi=1xi，’σ（x）：=vUtn- 1nXi=1（xi- \'x），分别表示均值和标准差的有效估计量。我们证明了估计器^ρ是一个无偏风险估计器：注意X~ N（θ，（θ））在Pθ下。利用X，\'X和\'σ（X）对于任何θ都是独立的这一事实∈ Θ（见巴苏（1955）），我们得到：=rnn+1·X-\'X\'σ（X）=X-\'-Xqn+1nθ·sn- 1Pni=1（Xi-\'Xθ）~ tn-1.因此，随机变量T是一个关键量，Pθ[X+^ρ<0]=Pθ[T<qtn-1（α）]=α，这是证明的结论。备注5.3。