风险的无偏估计

因此，（5.3）中定义的高斯无偏估计量与（1.4）中给出的经典插件高斯估计量之间的差异等于^V@Ruα（x）-^V@Rnormα（x）=-\'\'σ（x）rn+1nt-1n-1(α) - Φ-1(α)!. （5.4）因此，as‘∑（x）是一致的，andrn+1nt-1n-1（α）n→∞---→ Φ-1（α），我们得到了样本越大，估计量之间的距离越近——插入估计量的偏差减小。上例中的程序可以应用于几乎任何（合理的）一致性风险度量。我们选择预期短缺作为例子来说明如何实现这一点。例5.4（正常情况下预期短缺的无偏估计）。如前所述，对于任意θ=（θ，θ），设X b在Pθ下以平均θ和方差θ极大分布∈ Θ=R×R>0。让我们来看看α∈ (0, 1). 连续分布下α级的预期短缺由ρθ（X）=Eθ给出[-X | X≤ qX（θ，α）]，其中qX（θ，α）是X和er Pθ的α分位数，与方程（5.1）中α级风险值的负值一致；参见麦克尼尔等人（2010）中的引理2.16。由于ρθ的平移不变性和正h均匀性，利用X、\'X和∑（X）对于n正分布的X是独立的这一事实，ρρ的一个很好的候选者是ρ（X，…，xn）=-\'x- “∑（x）an，（5.5）s ome（an）n风险的无偏估计12∈N、 在哪里∈ 存在一个序列（an）n∈假设ρ是无偏的：由于ρθ是正齐次的，我们得到了所有θ∈ Θρθ（X+^ρ）=θrn+1nρθ十、-\'X- an′σ（X）θqn+1n= θrn+1nρθX-\'Xθqn+1n-一√np（n）- 1） （n+1）·√N- 1′σ（X）θ！=θrn+1nρθZ-一√np（n）- 1） （n+1）Vn, （5.6）式中，Z~ N（0,1），Vn~ χn-而且两者都是独立的。注意，（Z，Vn）的分布不依赖于θ。因此，足以证明存在bn∈ 使得ρθ（Z+bnVn）=0。

（5.7）由于vn是非负的，风险度量ρθ是反单调的，我们得到（5.7）相对于bn是递减的。此外，0<ρθ（Z）=ρθ（Z+0Vn）。对于足够大的bn，我们得到ρθ（Z+bnVn）<0，作为ρθ（Z+bnVn）=bnρθ（Zbn+Vn）和ρθZbn+Vnbn→∞----→ ρθ（Vn）<0，这是由于L上预期短缺的Lebesgue连续性（见Kaina and R¨uschendorf，2009，定理4.1））。因此，再次使用ρθ的连续性，我们得出结论，存在bn∈ 如（5.7）所示。此外，bn的值与θ无关，就像族（ρθ）θ一样∈Θislaw不变量（见等式（2.1））和Z，vn是关键量。注意，我们只需要ρθ的正h同质性和单调性以及（5.7）来证明无偏估计量的存在。此外，bnin（5.7）的值，以及由此产生的anin（5.5）的值，可以在不受影响的情况下进行数值计算。6.渐近无偏估计7.如果示例3.1、3.2、3.3、3.4和3.5中的风险估计是有偏的（参见表1），那么我们在下面研究的渐近估计中可能仍然具有很好的性质。定义6.1。一个风险估计序列^ρ=（^ρn）n∈n将被称为无偏见的n∈ N、 如果ρ是无偏的。如果公正适用于所有人∈ N、 我们称之为序列^ρ无偏。如果ρθ（X+ρρn）n，序列ρρ称为渐近无偏序列→∞---→ 0表示所有θ∈ Θ.在许多情况下，分布的估计量在^FX的情况下是一致的→ FX（θ）。实际上，Glivenko-Cantelli定理给出了概率为1的经验分布凸集上的一致收敛性。直观地说，如果基于g分布的风险度量允许某种连续性，那么我们可以预期插件估计器满足^ρnn→∞---→ ρθ（X）几乎可以确定每个θ∈ Θ.

因此，对于任何θ∈ 我们还可以得到ρθ（X+ρρn）n→∞---→ ρθ（X+ρθ（X））=0，风险的无偏估计，这正是渐近无偏性的定义。现在让我们给出两个例子，它们显示了经验风险值估计量（1.2）和预期短缺的plug inGaussian估计量的渐近无偏性。备注6.2。提出的渐近无偏性定义与inDavis（2016）提出的一致性概念相似。这种一致性的概念要求，当时间段趋于一致时，校准误差的平均值迅速收敛到0。因此，当用风险度量本身来度量校准误差时，渐近u偏风险估计量将是一致的。另一方面，应该注意的是，我们的主要目标是获得最佳的风险估计，而不求出低估或高估的平均值，因为它们对投资组合绩效有不对称影响。我们得到以下结果。回想一下，我们研究的是i.i.d.序列X，X，X。让α∈ （0，1）并考虑经验α-分位数的负^ρn（x，…，xn）=-x(nα+1） ，n∈ N、 （6.1）我们称之为α级风险价值的经验估计值（也比较（1.2））。由^ρnw表示随机变量^ρn（X，…，Xn）。提议6.3。假设X在Pθ下对任何θ都是绝对连续的∈ Θ. （6.1）中给出的风险值的经验估计序列n是渐近无偏的。证据这个证明直接来自于经验量子的渐近性质。为了读者的方便，我们提供了大量的证据。在这方面，对于任何>0和dθ∈ Θ，乐坛，：=|ρn+F-1X（θ，α）|≥ , F在哪里-1X（θ，·）表示FX（θ，·）的倒数。

然后我们得到pθ[X+ρn<0]≥ Pθ[Acn，]FXθ、 F-1X（θ，α）- - Pθ[An，]，Pθ[X+^ρn<0]≤ Pθ[Acn，]FXθ、 F-1X（θ，α）++ Pθ[An，]。使用经验风险值估计器是一致的这一事实（Cont等人，2010年，示例2.10），即对于任何θ∈ 在Pθ下，我们得到ρnn→∞---→ -F-1X（θ，α）a.s.，我们得到Pθ[An，]n→∞---→ 0，对于任何>0和θ∈ Θ. 通常是外汇θ、 F-1X（θ，α）- ≤ 画→∞Pθ[X+ρn<0]≤ 外汇θ、 F-1X（θ，α）+,对于任何>0和dθ∈ Θ . 取极限，注意FX（θ，·）是连续的，我们得到pθ[X+^ρn<0]n→∞---→ 外汇θ、 F-1X（θ，α）= α、 对于任何θ∈ Θ，根据（5.2）得出结论。同样，我们可以证明（1.2）中给出的估计量也是渐近无偏的。此外，稍微改变命题6的证明。3可以证明，在正态假设下，（1.4）中给出的风险值的经典插件高斯估计序列也是渐近无偏的。另见Remark5。3.以类似的方式，我们获得了（3.2）中引入的高斯插件预期短期估计的渐近无偏性：在这方面，对于任意（θ，θ）=θ，设X在Pθ下正态分布，平均θ和标准偏差θ∈ Θ=R×R>0。对于固定α∈ （0，1），设ρθ（X）=Eθ[-X | X≤ qX（θ，α）]，风险14的无偏估计表示α级的预期短缺。在（3.2）之后，设置^ρn（x，…，xn）=-\'x+\'σ（x）R（Φ），n∈ N、 （6.2）其中Φ是高斯分布，R（Φ）是Φ下α级的预期短缺。假设X是正态分布的命题6.4，则估计量（6.2）对应于标准的MLE p插入估计量。假设X，X，X。是i.i.d.N（θ，θ）f还是任何θ∈ Θ. （6.2）中给出的预期短缺估计值序列是渐近无偏的。证据

首先，定理4.1 inKaina和R¨uschendorf（2009）表明，风险尾部值是连续的，这意味着对于几乎肯定收敛到Y的序列yn，所有yn都由作为Lp元素的随机变量控制，limn→∞ρ（Yn）=ρ（Y）。塞廷：=-“\'x+\'”σ（x）R（Φ），使Yn→ θ+θR（Φ）=:Y几乎肯定为n→ ∞. 但是，它直接跟随正态分布下的尾部风险值，用ρθ表示，ρθ(-θ+θR（Φ））=0，因此声明。7.评估偏差以及与监管回溯测试的关系风险管理中的一个重要概念是回溯测试。基本上，回溯测试程序以实证的方式评估模型对与欠平衡风险相关的量测数据的拟合度。在我们对偏差和监管回溯测试之间的关系进行简要评论之前（回溯测试框架的详细分析超出了本文的范围），我们介绍了一个简单的过程，可用于测量i.i.d.数据的估计偏差。假设我们有一个样本（xi）i=1，。。。，对于每个元素，我们得到了估计资本储备的值，用ρi表示。然后，样本（yi）由yi=xi+ρi，i=1，I（7.1）表示固定位置，表示X+^ρ。测量位置偏差的一个自然建议是将定义4.1中的ρθ替换为其经验对应物^ρemp。如果我足够大，经验估计器将产生可靠的结果。有鉴于此，测度^Z:=^ρemp（y，…，yI）（7.2）是评估风险估计器偏差的一个可能量。如果估计量是无偏的，则^Z将变为零。

对风险的低估反过来又反映在^Z的正值上，突出表明^Z的头寸需要额外的资本才能被接受。假设I=250且风险水平等于2%，则经验V@R0.02estimator（插入（7.2））只需计算样本（yi）第5个最差ou tcome的（负值）。另一种方法是，一个人可以计算出大于零的观测数量，并检查其大小是否可以接受（即接近5）。这将与标准超标率测试有关；参考例7。1.另一方面，经验ES0。02估计器将计算五个最坏情况观测值的平均值；在这里，我们还可以检查需要多少最坏情况下的观测才能使其均值为正。正如我们将在下面的例子中所说明的，至少对于风险价值而言，框架的监管回溯测试与无偏性之间存在紧密联系。对于日常时间序列分析，可以使用简单的滚动窗口程序获得^ρi的值，即假设我们在第一天之前也有观察到，对于任何给定的一天，我们使用过去n天来估计风险。风险的无偏估计15例7.1（风险回溯测试值）。标准（监管）回溯测试框架forV@R基于超标率程序；参见Giot and Laurent（2003）和（BCBS，1996）。更准确地说，我们将平均超标率与估计值进行比较V@R达到预期的超标率α。与无偏性的联系如下：在i.i.d.情况下，X+^ρ（X，…，Xn）的例外率收敛到安全位置为负的情况下的概率，给定pθ[X+^ρ（X，…，Xn）<0]，其中θ是未知的真参数。

另一方面，在Remark4中。3我们已经证明了，当且仅当等式（4.4）对任何θ为真时，该估计量^ρ是无偏的∈ Θ，即Pθ[X+ρn<0]=α。选择估值器时，应确保超标率接近α水平（通过回溯测试程序完成），从而确保估值程序是无偏的，至少在无症状意义上是无偏的，也可与备注4.4进行比较。备注7.2（关于风险估计的保守性）。监管机构V@R如果异常率高于预先规定的阈值，则回溯测试将麻醉程序归类为不合适；见（BCBS，1996年）。因此，这类测试关注的是模型的保守性，而不是模型的fit。在我们的上下文中，不要求（4.1）中的等式，而是对p性质ρθ（X+ρρn）感兴趣≤ 0表示所有θ∈ Θ.当然，除此之外，监管机构还对估算程序进行了全面分析，这两者都需要进行可接受的分析，并通过回溯测试。因此，从实际角度来看，通过回溯测试是一个重要特征。然而，仅基于可接受的超标率得出的关于估计器（整体）性能的结论必须谨慎；有关更多详细信息，请参阅以下部分。7.1. 一致的回溯测试和可引出性。这篇引人注目的文章（2011）评论了点预测的评估。他指出，回溯测试中的良好表现并不一定意味着给定的估计器是好的。示例7.3（完美的回溯测试性能）。下面是一个简单但说明性的例子，说明了作为估计器质量度量的超标率的缺点。考虑I=250以上，假设我们知道样本（xi）I=1，。。。，我很高兴并得到了支持[-1, 1].

然后，选择值1的245倍和值的5倍-当仅通过超标率进行测量时，1给出了完美的回溯测试性能。Neiting（2011）的第1.2节讨论了一个更详细的例子，该节强调了估计目标需要与绩效指标相关，这就引出了可引出性的概念。可诱导性本身的概念起源于Osban d和Reichelstein（1985），他们认为委托人与拥有未来收益优势信息的公司签订合同。合同涉及一个启发程序，在该程序中，公司报告的成本估算为veri fi edex post。该方法的目标是提供一种确保真实报告的方法，另请参见Davis（2016）的有趣讨论。对于正式定义，我们遵循Gneiting（2011），在第2节规定的法律不变风险度量设置中直接引入可引出性。回想一下，我们考虑了一系列分布FX（θ），θ∈ Θ并且一个不变律风险度量是一个函数R:D→ R∪{+∞}将累积d分布函数映射为实数（或+∞).这个例子是霍尔兹曼和欧勒特（2014）提出的。风险16A评分函数的无偏估计只是一个映射S：（R）∪ +∞)→ R≥0比较了两个风险度量值：S（x，y）度量从预测x到实现y的偏差；平方误差S（x，y）=（x- y） 作为一个标准的例子。评分函数S被称为相对于类{FX（θ）：θ的一致性forR∈ Θ}，ifEθ[S（R（FX（θ）），Y]≤ Eθ[S（r，Y）]（7.3）对于所有θ∈ Θ和所有r∈ R∪+∞; 这里Eθ表示随机变量y具有分布FX（θ）的期望。如果评分函数是一致的，则称之为严格一致的，并且（7.3）中的质量意味着r=r（FX（θ））。

例如，平方误差与有限秒时刻的概率度量等级严格一致。风险度量R被称为相对于{FX（θ）：θ的可导出性∈ 如果存在严格一致的scoring函数。在我们的语境中，最好的例子是V@Rα（在α级的风险值），该值可根据具有有限初始时刻的概率度量类得出。评分函数的一个可能的具体形式是（x，y）=（{x≥y}- α） （十）- y） ，（7.4）见第3.3节。英格内廷（2011）。使用性能标准“S=nnXi=1S（xi，yi），（7.5）表示x，xn预测和y，综合验证观测值，保证预测的最佳点，即一致性性质的对偶，优于所有其他估计量。这反过来又允许识别如例7所示的令人敬畏的估计器。3：事实上，与超标率相比，（7.5）还涉及从估计器x到实现Y的距离，因此示例中指出的困难通过该测试得以解决。备注7.4（回测的应用）。在以下实证研究的背景下（见第8.3节），预测x的作用将由考虑过的风险估计员（即。-^ρ）和y将是实现的现金流。然后，等式（7.4）中的得分函数等于(-^ρ，X）=α（X+^ρ）+（1）- α） （X+^ρ）-, （7.6）式中ξ+和ξ-分别表示泛型ξ的正部分和负部分。可以看到，该程序对应于加权惩罚方案：如果安全位置为正，则应用权重α，而对于负安全位置，则应用权重（1）- α） 被使用了。即使受到上述推理的推动，这种方法也和当前的规则性回溯测试方案并没有直接联系。

人们还应该注意到，这个过程会惩罚过于保守的估计量；见备注7.2。对于预期短缺，情况更为复杂，因为预期短缺本身是不合理的。然而，正如Fissler等人（2015）最近指出的那样，它与风险价值是可以共同得出的，并指出了适当的回溯测试程序。我们在第8节中应用了这些方法。3.我们的无偏估计程序。8.实证研究本节的目的是分析所选估值器在各种真实市场数据（市场）和模拟数据（模拟）上的表现。我们还想检查第7节（关于无偏性和回溯测试之间的联系）中的陈述是否得到数值分析的支持。我们的重点是几乎最相关的风险度量，V@R还有我的朋友。风险的无偏估计17我们使用的市场数据是来自数据库Fama and French（2015）的回报率，包含25个按账面市值形成的投资组合的回报率，以及从27年到27年期间的可操作性。2005年1月1日至2015年1月1日。我们对每个投资组合进行了2500次观察。样本被分成50个独立的子集，每个子集由50个连续交易日组成。对于k=1，2，49，我们使用第k子集估计风险度量，并在（k+1）子集上测试其充分性；见第8节。1和8.2了解详细信息。虽然数据样本可能存在依赖性和重尾，但我们在另外的模拟中考虑到情况并非如此。模拟可以清楚地量化偏差校正带来的改善。它使用i.i.d.正态分布随机变量，其均值和方差适用于25个投资组合中的每一个。每组参数的样本量设置为2500。8.1. 监管回溯测试风险价值。