风险的无偏估计

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英文标题：
《Unbiased estimation of risk》
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作者：
Marcin Pitera and Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The estimation of risk measures recently gained a lot of attention, partly because of the backtesting issues of expected shortfall related to elicitability. In this work we shed a new and fundamental light on optimal estimation procedures of risk measures in terms of bias. We show that once the parameters of a model need to be estimated, one has to take additional care when estimating risks. The typical plug-in approach, for example, introduces a bias which leads to a systematic underestimation of risk. In this regard, we introduce a novel notion of unbiasedness to the estimation of risk which is motivated by economic principles. In general, the proposed concept does not coincide with the well-known statistical notion of unbiasedness. We show that an appropriate bias correction is available for many well-known estimators. In particular, we consider value-at-risk and expected shortfall (tail value-at-risk). In the special case of normal distributions, closed-formed solutions for unbiased estimators can be obtained. We present a number of motivating examples which show the outperformance of unbiased estimators in many circumstances. The unbiasedness has a direct impact on backtesting and therefore adds a further viewpoint to established statistical properties.
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中文摘要：
风险度量的估计最近得到了很多关注，部分原因是与可引出性相关的预期不足的回溯测试问题。在这项工作中，我们从偏差的角度对风险度量的最佳估计程序进行了新的、基本的阐述。我们表明，一旦需要估计模型的参数，在估计风险时就必须格外小心。例如，典型的插件方法引入了一种偏见，导致系统性地低估风险。在这方面，我们引入了一种新的无偏性概念来估计风险，其动机是经济原则。一般来说，提出的概念与众所周知的无偏统计概念并不一致。我们证明，对于许多著名的估计量，适当的偏差校正是可用的。特别是，我们考虑了风险价值和预期短缺（风险尾值）。在正态分布的特殊情况下，可以得到无偏估计的闭式解。我们给出了一些激励性的例子，表明在许多情况下无偏估计的性能优于无偏估计。无偏性对回溯测试有直接影响，因此为已建立的统计特性添加了进一步的观点。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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2022-5-11 00:34:41 上传

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关键词：无偏估计 UNBIASEDNESS Applications Quantitative Econophysics

风险的无偏估计Marcin PITERA和THORSTEN Schmidta摘要。风险度量的估计最近得到了很多关注，部分原因是与可诱导性相关的预期风险或下降的回溯测试问题。在这项工作中，我们从偏差的角度对风险度量的最佳估计程序提供了一种新的、基本的解释。我们表明，一旦需要估计模型的参数，就必须在估计风险时格外小心。对于ex-amp-le，典型的插件方法引入了一种偏差，导致对风险的非系统性低估。在这方面，我们引入了一种新的无偏性概念来估计风险，这是由经济学原理驱动的。一般来说，提出的概念d与众所周知的无偏统计概念并不一致。我们证明，对于许多著名的估计量，适当的偏差校正是有效的。特别是，我们考虑了风险价值和预期短缺（风险尾值）。在正态分布的特殊情况下，可以得到无偏估计的封闭形式解。我们给出了一些激励性的例子，表明在许多情况下无偏估计的性能优于无偏估计。无偏性对回溯测试有直接影响，因此为已建立的统计特性增加了进一步的观点。关键词：风险价值、风险尾值、预期短缺、风险度量、风险度量的估计、偏差、风险估计、可引出性、回溯测试、风险度量的无偏估计。1.引言风险度量的估计是金融行业中最重要的一个领域，因为风险度量在风险管理和监管资本的计算中发挥着重要作用，参见McNeil等人（2010）对该主题的深入论述。

最值得注意的是，定量风险管理的一个主要方面是统计性质，如inEmbrechts和Hofer（2014）所强调的。本文认真对待这一挑战，并不是针对风险度量本身，而是针对估计的风险度量。风险评估中的统计方面最近引起了很多关注：参见相关文章SDAVIS（2016）和Cont等人（2010）；Acerbi和Sz\'ekly（2014）；齐格尔（2016）；Fissler等人（2015年）；弗兰克（2016）。令人惊讶的是，事实证明，风险估计员的统计特性——与偏差的存在相关——尚未得到彻底分析。从实践的角度来看，这些属性非常重要，因为风险偏差通常会导致对风险的系统性低估。我们的主要目标是从经济和统计角度对无偏性进行定义。其主要动机是观察到，从理论角度来看，对偏差的经典（统计）定义可能是可取的，但金融机构或监管机构可能不会优先考虑，因为回溯测试目前是评估估计的主要来源。日期：首次发布日期：2016年3月8日，此版本：Au gu st 2017年25日。作者对推荐人和助理编辑的宝贵意见和建议表示感谢，这些意见和建议有助于改进论文。第一作者的部分工作由波兰国家科学中心通过项目2016/23/B/ST1/00479提供支持。风险的无偏估计2监管和科学界对两个最受认可的风险指标：预期缺口和风险价值进行了激烈的辩论(V@R)巴塞尔协议III项目（BCBS，2013）刺激了这场辩论，该项目更新了对初始市场风险模型的资本要求负责的法规（参见。

（波士顿商学院，2006年；波士顿商学院，1996年）。简而言之，旧的V@R在1%的水平上，被2.5%的水平上的ES所取代。事实上，这样的修正可能会减少偏差，但只有在正确的情况下。学术界对这一事实的反应并不一致：虽然ES是连贯的，并考虑了整个尾部分布，但它缺乏一些良好的统计特性V@R.参见e.g.Cont等人（2010年）；Acerbi和Sz\'ekly（2014）；齐格尔（2016）；Kellner和R¨osch（2016）；Yamai和Yosh iba（2005年）；Emmer等人（2015年），了解更多细节和有趣的讨论。此外，据信ES预测更难进行回溯测试，从监管机构的角度来看，这是一个至关重要的属性。这场辩论中的另一个论点来自resu lts Ingneting（2011）（另见韦伯（2006）），表明ES是不可引出的。这一有趣的概念最初是从经济学的角度由伊诺班德和赖切尔斯坦（1985）提出的；其主要动机是通过惩罚虚假报道来确保恶意报道。我在第7节。1我们对这个话题进行了详细的讨论。缺乏启发性导致了关于是否（以及如何）有可能测试包装的讨论，我们参考了Carver（2014）；齐格尔（2016）；Acerbi和Sz\'ekly（2014）；Fissler等人（2015年），以获取关于该主题的更多详细信息。最近，Fissler等人（2015年）表明，ESis与V@R.In特别是，回溯测试是可能的；请参阅第8.2节，了解我们设置中ES的回溯测试算法；然而，必须谨慎地解释结果。我们的文章有两个目的。首先，我们引入了一个基于经济动机的无偏性定义：如果将风险资本的估计量添加到风险头寸中，使头寸可接受，则风险资本的估计称为无偏；见定义4.1。

令人惊讶的是，到目前为止所考虑的估计量并非如此。第二，我们想从巴塞尔标准要求的角度出发，对回溯测试进行新的阐释。开始点是一个简单的观察，即有偏估计自然会导致不良的执行ce回测，因此建议的偏差校正应该会改善回测的结果。在这方面，请考虑以下标准（监管）回溯测试：V@R什么是基于例外率；seeGiot and Lau rent（2003年）。在第7节中，我们将展示，如果异常率的估计有偏差，基于异常率的回溯测试程序将表现不佳。基于此，我们系统地研究了风险估计器的偏差，并将我们的理论基础与经验证据联系起来。让我们从一个例子开始：考虑具有未知均值和方差的i.i.d.高斯数据，假设我们对估计有兴趣V@R在α级∈ (0, 1) (V@Rα). 表示byx=（x，…，xn）观测数据。这种情况下的无偏估计由^给出V@Ruα（x，…，xn）：=-\'x+\'σ（x）rn+1nt-1n-1(α)!, （1.1）其中t-1n-1是学生t分布n的累积分布函数的倒数- 1自由度，\'x表示样本平均值，\'σ（x）表示样本标准偏差。我们把这个估计器称为高斯无偏估计器，并在（1.1）中使用这个名称。请注意，t分布是自然产生的，因为它考虑了必须估计的方差，以及偏差修正系数ispn+1/n。将此估计值与此现象的另一个说明性和自解释性示例进行比较就是方差。虽然不可诱导，但它与平均值是可共同诱导的；seeLambert等人。

(2008).风险的无偏估计3估计器NASDAQ Simulatedexceeds百分比超过percentageGaussian插件^V@Rnormα241 0.061 221 0.056经验^V@Rempα272 0.069 253 0.064修改的C-F^V@RCFα249 0.063 230 0.058高斯无偏^V@Ruα217 0.055 197 0.050表1。估计V@R0.05forNASDAQ100（第一列）和正态分布随机变量样本的平均值和方差符合NASDAQ数据（第二列），均为4000个数据点。超过报告样本中实际损失超过风险估计的异常数。高斯无偏估计量很快就达到了0.05的期望值。纳斯达克数据的标准估计器提供了一些令人振奋的见解，我们将在下面的段落中详细介绍。回溯测试风险价值评估程序。为了分析各种风险价值估计器的性能，我们执行了一个标准的回溯测试程序。首先，我们使用一个学习阶段估计风险度量，然后在回溯测试阶段测试其充分性。测试基于标准故障率（异常率）程序；参见例如Giot和Laurent（2003）和d（BCBS，1996）。给定一个大小为n的数据样本，第一个k观察值用于估计α级的风险值。之后，我们计算了在接下来的时间里实际损失的多少倍- k观察值超过了估计值。对于好的估计量，我们期望（n）所划分的例外数- k） 应该接近α。更准确地说，我们根据1999年1月1日至2014年11月25日期间NASDAQ100指数的收盘价（调整后）考虑了回报。样本量为n=4000，与该期间的交易日数相对应。样本被分成80个独立的SUB集合，每个SUB集合包括连续50个交易日。

回溯测试程序包括使用i-thsubset来估计V@R0.05and计算（i+1）-thsubset中的异常数。79个时期的例外总数除以79·50。我们比较了高斯无偏估计的性能V@Ruα是三种最常见的风险价值估计量：经验样本分位数^V@Rempα（有时称为历史估计器）；改进的C ornish Fisher估计量^V@RCFα; 与经典高斯估计^V@Rnormα、 在正态条件下，通过将均值和样本方差插入风险值公式中获得：^V@Rempα（x）：=-x(H)+ （h）- H)（十）(h+1)- x(H)), (1.2)^V@RCFα（x）：=-\'x+\'σ（x）\'ZαCF（x）, (1.3)^V@Rnormα（x）：=-\'x+\'σ（x）Φ-1(α), （1.4）其中x（k）是x=（x，…，xn）的第k阶统计量Z 表示z的整数部分∈ R、 h=α（n）- 1） +1，Φ表示s标准正态分布的累积分布函数，ZαCFis是一个标准的康尼什-费舍尔α分位数估计器（详见示例（Alexander，2009，第IV.3.4.3节）。事实上，样本分位数估计器有很多种版本。我们决定采用R和S统计软件中默认使用的连续分布样本。风险的无偏估计4回溯测试的结果如表1第一部分所示。令人惊讶的是，标准估计器的表现相当糟糕。事实上，当使用估计值进行预测时，预计失败率为0.05V@R0.05and标准估计器明显低估了风险，即超出率高于预期率。只有高斯无偏估计量接近期望值，经验估计量的超越率在比较中高出25%。

还可以证明，与高斯无偏估计量相比，Student-t（插件）估计量的性能较差。为了排除高斯模型对数据的不良拟合或可能的依赖性对这些发现可能造成的干扰，我们另外进行了一项模拟研究：从一个正常分布的随机变量的i.i.d.样本开始，平均值和方差符合纳斯达克数据，我们对该数据重复了回溯测试；结果见表1的第二列。让我们首先关注插件估计器^V@Rnormα：预计超过200次（占4000次的5%），我们在纳斯达克数据本身上又经历了41次超过。在模拟数据上，我们可以排除由于厚尾、相关性等引起的干扰，仍然报告了21个意外超标，约为原始数据上额外超标的50%。这些超越是由于估计量的偏差造成的，可以通过考虑无偏估计量^来消除V@Ru从表1的最后一行可以看出α。其他估计器的结果证实了这些发现，与高斯无偏估计器相比，经验估计器的超越率高出28%，而高斯无偏估计器又完全满足α=0.05的水平。然而，正如Gneiting（2011）所指出的，必须谨慎对待完全基于回测的估计器性能结论，我们在第8节中提供了额外的证据。3.本文的结构如下：第二部分正式介绍了风险度量的估计。第3节讨论了插件估计器的常用概念。第4节介绍了本文的主要概念，即经济学意义上的无偏性，第5节给出了一些例子。

第6节考虑了渐近无偏估计量，而第7节概述了b ias估计程序以及无偏性和监管回溯测试之间的关系。第8节对建议的估计量进行了小规模的实证研究，我们得出结论9。2.测量风险在本节中，我们简要介绍了基础模型未知，因此需要估计的风险测量。我们的重点在于最流行的风险度量族，即所谓的法律不变风险度量。这些措施完全取决于潜在损失的分布，参见McNeil等人（2010），了解风险测量的概述和实际应用。例如，法律不变风险度量包含特殊情况下的风险值、预期短缺或光谱风险度量。我们考虑参数设置中的估计问题。如果p参数的速度是有限维的，这也包含问题的非参数公式。在这方面，让我们(Ohm, A） 是可测空间且（Pθ：θ）∈ Θ）是这个可测s步上的一系列概率测度，由θ参数化，θ是参数空间Θ的一个元素。为了简单起见，我们假设测度Pθ是等价的，这样它们的零集就重合了。另一方面，一些概率测度可能几乎肯定会被某些观察排除在外，这反过来又会导致不必要的复杂表达式。由L:=L(Ohm, A） 进一步的模拟表明，这些结果具有显著的统计学意义：例如，重复模拟10。000次允许计算表1中给出的估计器的平均异常率（括号中有标准误差）。

它们分别等于0.057（0.0026）、0.067（0.0028）、0.057（0.0028）和0.050（0.0027）。风险的无偏估计5我们表示实值函数和可测函数的（等价类）。在我们的背景下，空间通常对应于贴现现金流或财务头寸回报率。对于估计，我们假设我们有一个样本X，X，我们希望估计未来位置X的风险。有时，我们考虑X=（X，…，xn）来区分X的具体实现，xn来自样本随机变量。特别是，对于某些ω，我们知道xi=xi（ω）∈ Ohm.例2.1（i.i.d.-案例）。假设未来位置X以及历史观测值是独立且分布相同的（i.i.d.）。例如，在Black-Scholes模型中，当考虑日志返回时，情况就是这样。更一般地说，如果考虑的股价S遵循几何L’evy过程（见（Applebaum，2009，第5.6.2节）和其中的参考文献），这一点也适用。如果ti，i=0，n+1表示等距时间 = ti公司- ti公司-1，然后日志返回Xi:=log（Sti）- 日志（Sti）-1） ，i=1，n是i.i.d.，未来位置Stn+1的风险可以用X:=log（Stn+1）来描述- 日志（Stn）。量化与未来位置X相关的风险∈ 五十、 我们引入了风险度量的概念。定义2.2。风险度量ρ是Lto R的映射∪ {+∞}.通常，假设风险度量ρ具有其他属性，例如反单调性、凸性和平移不变性。有关详细信息，请参阅seeF¨ollmer and Schied（2011）及其参考资料。为简洁起见，由于我们对ρ估计相关的问题感兴趣，我们决定不在这里重复详细的定义。