最优投资中的凸对偶与企业的未定权益估值

很明显，（ALM）的最佳值函数仅为（0，·）到Ma的限制。结合一些函数分析参数，这个简单的恒等式允许我们从相应的结果上推导出前面章节的主要结果。事实上，引入额外参数θ简化了分析，并提供了关于（ALM）的额外信息。7.1非适应性索赔我们从分析（ALM+）和可能的非适应性索赔（θ，c）开始。更准确地说，我们将研究空间u:=L上（ALM+）的最佳值（θ，c）∞(Ohm, F、 P；RJ（T+1））×Mof索赔处理u=（θ，c），其物理成分θ基本上是有界的，现金成分c属于M。在大多数情况下，一个是对调整后的索赔感兴趣，但我们的公式也允许投资者在未来某个时间之前可能不知道确切的索赔金额的情况（例如在大型金融机构的资产管理部门）。空间U是以Y=L分隔二元性的(Ohm, F、 P；RJ（T+1））×qun双线性形式下的hu，yi:=E（u·y）。我们将双变量y分成两个过程w和q，对应于u分成θ和c。一个眼角表示双线性形式ashu，yi=hθ，wi+hc，qi。以下结果表明，在假设1下，可以用损失函数和市场模型来表示的共轭。证据见附录。定理12。如果V满足假设1，那么（ALM+）的最优值函数与U和Y配对的共轭可以表示为*（y） =E（V）*（q） +TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1]）。下一个结果给出了闭合度为的充分条件以及衰退函数的表达式∞. 证据可在附录中找到。定理13。

如果假设1、3和4成立，并且存在y∈ 就是这样*（q） +TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）[wt+1]）∞,那么是σ（U，Y）-在U中闭合，所有U的in（ALM+）都达到最大值∈ Uandā∞（u） =infx∈内华达州∞（S）∞(x+θ+c）。当V=δRJ+1时-, 我们有δC，其中C:={（θ，C）|十、∈ ND:S(x+θ+c≤ 0P-a.s.}是一组多元索赔过程，可以在没有成本的情况下进行超边缘处理。然后，上述封闭性结果可以被视为[28，命题3.5]的离散时间版本，它解决了具有完全流动现金的无约束连续时间模型。当V=δRJ+1时-, 定理13的假设简化为{x∈ 钕∞| s∞(十）≤ 0}是一个线性空间；参见第4节假设3后的讨论。这在[28]的超线性增长条件下肯定成立，这（在例2的旋转中）意味着存在一个严格的正适应过程h，使得∧St（x，ω）≥ Ht（ω）|x |α~x∈ RJ。事实上，这意味着∞t=δ{0}所以线性条件意味着{（x，0）∈ ND|十、≤ 0}是一个线性空间。但这是显而易见的，因为x-1=0，DT={0}。请注意，与超线性增长条件不同，上述线性条件允许成本函数在某些方向上减少，这是自由处置资产的一个很自然的假设。在定理12和13的假设下，（ALM+）的最优值等于对偶问题minimize（w，q）的最优值∈叶（V）*（q） +TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1）- θt·wt- ctqt]）。从一般的共轭对偶理论中我们知道，对偶解是最优值函数u=（θ，c）的次梯度。与[60]类似，对偶变量可用于给出原始问题（ALM+）解的最优性条件。

然而，这里的情况略有不同，因为在（ALM+）中，原始解是在缺乏适当局部凸拓扑的向量空间n上寻求的。应用[9，第3节]中导出的凸随机优化的最优性条件，我们得到以下结果。附录中给出了证据。定理14。如果在（θ，c）处关闭，假设1保持不变，则x∈ N（ALM+）和y∈ 当且仅当对偶问题可行时，Y才解决对偶问题wt+1∈ 无损检测（xt），q∈ V（S）(x+θ+c），wt∈ （qtSt）(xt+θt）。相反，如果x和y是满足上述系统的可行原对偶对，则x解原对偶，（w，q）解对偶，且φ在（θ，c）处闭合。7.2适配索赔当索赔过程（θ，c）适配且损失函数满足假设2时，上述结果可以用适配对偶变量表示。我们将分别用U、Y和Ya表示适应过程的线性子空间。换句话说，Ua:=N∞*Maand Ya:=N×Qa。由于通过假设，M和Q在自适应投影下是闭合的，因此我们已经证明，在为UAN和Y定义的双线性形式下，UAN和YAN是分离对偶的。我们将表示“μ”对Uaby“μa”的限制。由于Uaby上的相对拓扑σ（U，Y）与σ（Ua，Ya）重合，定理13暗示“μais”与σ（Ua，Ya）是闭合的。从定义衰退功能开始，立即∞ais只是对的限制∞致Ua。为了将双变量限制为Ya，只需要一个简单的观察。如果ψ是U上的任何泛函，使得ψ（au）≤ ψ（u）表示所有u∈ U、 然后再找一个∈ Y、 ψ*（ay）=苏普∈乌胡，阿伊- ψ（u）}≤ 苏普∈U{hau，yi- ψ（au）}≤ ψ*（y） 。特别是，如果V满足假设1和2，则根据交换规则，EV*（aq）≤ 五、*（q） 所以V*满足假设2。

以下说明了假设2由继承*因此，关闭也是如此。定理15。如果V满足第1和第2项要求，则*（艾）≤ φ*（y） 为了ally∈ Y和*a=°~n*来吧。特别是，如果（θ，c）∈ 阿联酋∈ 所以，Y解决了这个问题∈ Yasolves和x的对偶∈ N解（ALM+）当且仅当它是可行的，并且满足定理14的s-ubdi微分条件。证据因为S是自适应的，S（0）=0，所以我们有[（qtSt）*（awt）+σDt（Et）awt+1）]≤ E[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）（wt+1）]，由Jensen的正规被积函数不等式得出；参见例[48，推论2.1]。因此，第一项权利要求源自“~n”的表达式*在定理12中*（aq）≤电动汽车*（q） 根据假设2。对任何人来说∈ Ya，可以将acan的共轭物表示为*a（y）=supu∈乌胡易- （u）}=supu∈胡易- （？+δUa）（u）}=cl-infy′∈Y{~n*（y）- y′）+δ（Ua）⊥ （y′）}=\'~n*（y） ，其中对y和U的配对进行闭包，并且第一个权利要求保持最后一个等式。定理1、5和8的证明现在是定理13和15的简单应用，以及以下事实的简单应用，即是（0，·）对适应现金价值索赔空间的限制。证据（定理1）定义γq:N∞→R乘以γq（θ）：=infc∈Ma{~na（θ，c）- hc，qi，我们有*（q） =-γq（0）和γ*q（w）=~n*a（w，q）这样-γ**q（0）=infw∈Nā*a（w，q），根据定理15，它是期望的表达式。因此，有必要证明γq（0）=γ**q（0），并且达到了最大值。根据[60，定理17]，如果γqis在原点的Mackey邻域上从上方有界，则成立。选择x=0和c=-S（θ），我们得到γq（θ）=infc∈妈，x∈NDE[V（S）(x+θ+c）- c·q]≤ ETXt=0qtSt（θt）。S（·，ω）的凸性与S（x，·）的假设∈ M代表所有x∈ RjImpless（x）∈ M代表所有x∈ L∞, 所以[60，定理22]暗示最后一个表现主义者麦基在L上是连续的∞就这样在theorigin的附近。证据

（关于定理5）当我们注意到а是а（0，·）对Ma的限制，σ（Ma，Qa）是σ（U，Y）在Ma上的相对拓扑时，定理5就源自定理13。证据（关于定理8）必须在θ=0时应用定理15。附录A集值映射ω7→ C（ω）是Ft可测的，是逆像C-1（U）：={ω∈ Ohm | C（ω）∩ U 6=}每一个开放的U RNFT是可测量的。一个推广的实值函数fon Rn×Ohm 如果集值映射ω7→ epi f（·ω）：={（x，α）∈ Rn×R | f（x，ω）≤ α} 是闭值且可测量的。关于可测集值映射和正规被积函数的更多细节，请参阅[61，第14章]。凸函数的组合将RMAN上的扩展实值函数g和Rn子集上的实值函数F定义为扩展实值函数（goF）（x）：=（g（F（x））如果x∈ 多姆F+∞ 如果x/∈ 多姆F。给定一个凸锥K 如果setepiKF:={（x，u）|x，则函数F称为K-凸∈ domf，F（x）- U∈ K} 它是凸的。如果epiKF是一个闭集，则称其为闭集。很容易验证（见下面引理16的证明），如果g是凸的，F是K凸的，则oF是凸的ifF（x）- U∈ K==> g（F（x））≤ g（u）十、∈ dom F.（6）对于这种组合，可以使用完整的次微分和衰退演算；见[46]。该成分在可测量性方面也表现良好。我们说一个{F（·，ω）}ω族∈Ohm如果epiKF（·，ω）是可测的，则闭K-凸函数的一个随机K-凸函数。引理16。设g为凸正规被积函数，F为随机Kconvex函数，使得（6）几乎肯定成立。如果(-（K）∩ {u|g∞（u，ω）≤ 0}是线性的，那么goF是Rn×上的凸正规被积函数Ohm.证据根据[61，示例14.32和命题14.44]，h（x，u，ω）：=g（u，ω）+δepiKF（·ω）（x，u），是正规被积函数。

生长条件为（goF）（x，ω）=infu∈Rmh（x，u，ω），而线性条件由[59，定理9.2]暗示，这个表达式是x中的lsc，因此是一个正规被积函数，由[61，命题14.47]可知。在第2节的市场模型中，函数S（x，ω）：=（St（x，ω））Tt=0，而dom S（·ω）：=\\t=0，。。。，Tdom St（·，ω）定义了一个K:=RT+1的随机K-凸函数-. 根据[59，推论8.6.1]，假设1意味着(-（K）∩{c∈ RT+1 | V∞（c，ω）≤ 0}={0}，所以引理16给出了以下结果。推论17。在假设1下，函数（x，c，ω）7→ V（S）(x、 ω））+c）是凸正规被积函数，尤其是B（RJ（T+1）×R（T+1）） 可测量的。7.3定理12、13和14的证明如[51]中所述，我们以[48,9]中更一般的参数随机优化格式分析（ALM+）。为此，我们将值函数表示为（u）=infx∈NZf（x（ω），u（ω），ω）dP（ω），其中N是适应的RJ值过程的线性空间，f是RJ（T+1）×R（J+1）（T+1）×上的扩展实值函数Ohm 定义的byf（x，u，ω）=V（S(x+θ，ω）+c，ω）+δD（ω）（x）。实际上，f是[61，命题14.44和命题14.45]和推论17的正规被积函数。对偶表达式涉及相关的拉格朗日积分l（x，y，ω）=infu∈R（J+1）（T+1）{f（x，u，ω）- u·y}=δD（ω）（x）- 五、*（q，ω）+TXt=0[xt·wt- （qtSt）*（wt，ω）]=δD（ω）（x）- 五、*（q，ω）+TXt=0[-xt·wt+1- （qtSt）*（wt，ω）]（7）和ff的共轭*（v，y，ω）=supx∈RJ（T+1）u∈R（J+1）（T+1）{x·v+u·y- f（x，u，ω）}=supx∈RJ（T+1）{x·v- l（x，y，ω）}=V*（q，ω）+TXt=0[σDt（ω）（vt+wt+1）+（qtSt）*（wt，ω）]。根据[61，定理14.50]，f*也是一个正规的被积函数。我们定义了一个辅助值函数~n~n（u）：=infu∈N∞Ef（x，u），其中N∞:= N∩ L∞, 本质上是有限的交易策略。证据

（关于定理12）自从{x∈ N∞| U∈ U:Ef（x，U）<∞} = N∞,[9]中的定理2说，可以用▽的共轭表示*（y） =- infx∈N∞El（x，y）=- infx∈N∞（ETXt=0[δDt（xt）- xt·Et[wt+1]- （qtSt）*（wt）]- 五、*（q） ）=E（TXt=0[σDt（Etwt+1）+（qtSt）*（重量）]+V*（q） ）其中第二个等式来自条件期望的性质，最后一个等式来自积分和最小化的交换规则；参见[61，定理14.60]。我们有Ef*（v，y）=*（y） 对任何人来说∈ Y和vt=Etwt+1- wt+1。因此，根据[9，定理2]*= ~φ*.证据（关于定理13）通过[56，定理5和引理6]，可以证明L:={x∈ N | f∞（x，0）≤ 0}是一个线性空间，存在（v，y）∈ N⊥带λ（v，Y）的×Y∈ 多姆Ef酒店*对于两个不同的λ>0。根据[59，定理9.3]和[46，定理7.3]，f∞（x，u，ω）=V∞（S）∞(x+θ，ω）+c，ω）+δD∞（ω） （x），所以L是假设3下的线性空间。理论中的假设意味着*（v，y）对于某些y和v=Et是有限的wt+1- wt+1。假设3，EV*（λq）对于某些非负λ6=1是有限的，因为*（v，y）=E[v*（q） +TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（vt+wt+1]是正齐次的，我们得到λ（v，y）∈ 多姆Ef酒店*.证据（指定理14）通过定理12，y解对偶当且仅当它使hu，yi最大化- φ*（y） 。在封闭条件下，这是等效的玩具∈  （u）。[9，定理8]的假设满足vt:=Etwt+1- wt+1。因此，x∈ N和y∈ 当且仅当Y可行且V∈ xl（x，w，q），（θ，c）∈ （w，q）[-l] （x，w，q）P——几乎可以肯定。查看l的最后一个表达式（7），我们发现这里的结论与声明中的第一个一致。

第二个inclusion表示c∈ 五、*（q） +d和x+θ=η（ηt，dt）∈ q、 w（qtSt）*（wt）。事实上，次微分和规则[59，定理23.8]适用于ω-wise sinceasumption 1，这意味着dom V*∩ RT+1++6= 而根据[59，定理6.6]，函数域（w，q）的相对内部→ （qSt）*（w，ω）包含a（w，q）和q∈ RT+1++。很容易检查（qtSt）*（wt）是集合Et的支持函数：={（η，d）|St（η）+d≤ 0}. 根据[59，定理23.5和p.215]，（ηt，dt）∈ q、 w（qtSt）*（wt）因此相当于（wt，qt）∈ 净（ηt，dt）。这意味着St（ηt）+dt<0和（wt，qt）=（0，0）或St（ηt）+dt=0和wt∈ （qtSt）（ηt）。因此，第二个包含意味着∈ V（c）- d） ，wt∈ （qtSt）(对于某些可测过程d，xt+θt）≤ -S(x+θ），使得q（S(x+θ+d）=0几乎可以肯定。由于V是非减损的，因此d=-S(x+θ）。在定理10和11的证明中使用了凸解析引理。引理18。让D Mabe是一个包含原点的闭集，设p∈ Maandπ（c）=inf{α∈ R|c- αp∈ D} 。然后是条件1。π（c）是闭的且正确的，2。π(0) > ∞,3.p/∈ D∞,4.对于某些q，hp，qi=1∈ domσd等价并暗示对偶表示π的有效性*（c） =supq∈Qa{hc，qi- σD（q）| hp，qi=1}。证据这在[50，命题4.2和定理5.2]中证明了D=C。同样的参数适用于任何凸D。随机损失函数的渐近弹性[54]的主要结果在[51]中用于给出（ALM）的最优值函数的下半连续性的条件。其中一个条件是函数从下面有界。虽然这在许多情况下是令人满意的，但它排除了等弹性效用函数。[56]中的定理5允许我们用[39]和[64]中介绍的更一般的“渐近弹性”条件替换下限。

我们进一步扩展了[39,64]的条件，允许非光滑和随机函数vt，并且不施加INDA条件，可以写成V∞t（·ω）=δR-. 事实上，在下面的引理中必须有一个条件。引理19。设h是实线上的凸正规被积函数。如果存在λ>1，`y∈ 多姆恩*C≥ 0这样*（λy，ω）≤ 中国*（y，ω）Y≥ \'y（ω）然后（在L中）λdom Eh* 多姆恩*λ ≥ 1.如果存在λ∈ （0,1），\'y∈ 多姆恩*C>0这样*（λy，ω）≤ 中国*（y，ω）Y∈ [0，`y（ω）]然后λdom Eh* 多姆恩*λ ∈ （0,1）.证明.让y∈ 多姆恩*. 在第一种情况下*（λy）={y≤\'y}h*（λy）+{y>\'y}h*（λy）≤{y≤\'y}max{h*（y） ，h*（λ\'y}+{y>\'y}h*（λy）≤{y≤\'y}max{h*（y） ，Ch*（\'y}+{y>\'y}Ch*（y） ，其中第一个不等式来自h的凸性*. 自从“y，y”∈ 多姆恩*,最后一个表达式是可积的。在第二种情况下，嗯*（λy）=E{y≤\'y}h*（λy）+E{y>\'y}h*（λy）≤ E{y≤\'y}h*（λy）+E{y>\'y}max{h*（y） ，h*（λ′y）}≤ E{y≤\'y}Ch*（y） +E{y>\'y}max{h*（y） ，Ch*（\'y）}，其中第一个不等式来自h的凸性*.以下引理给出了定理13证明中使用的EMMA 19中条件的替代公式。在这两个引理中，第三个条件分别扩展了[39]和[64]中引入的确定性效用函数的“渐近弹性”条件。引理20。给定实线上g（0）=0的非减量闭凸函数g，以下是β>1和¨y上的等价条件G*（`y） R+。G*（λy）≤ λββ-1克*（y）λ ≥ 1，y≥ y.（8）cy≤ββ - 1克*（y）Y≥ y，c∈ G*（y） 。（9） 赛≥ βg（c）C≥ G*（\'y），y∈ g（c）。（10） g（λc）≥ λβg（c）λ ≥ 1，c≥ G*（\'y）。（11） 证据。假设（10），我们有g（λc）≥ g（c）+R[c，λc]βg（s）sds，sog（λc）≥ g（c）+Z[c，λc]g（c）βsexp（Z[s，λc]βrdr）ds=λβg（c）由Gronwall不等式确定。为了你≥ y（ω），条件（11）给定*（y）≥ sup{cy- λ-βg（λc）}=λ-βg*(λβ-1y），这意味着（8）。

对于每λ>1，y≥ y（ω）和c∈ G*（y） ，c（λy）- y）≤ G*（λy）- G*（y）≤ (λββ-1.- 1） g*（y） 我们首先除以λ得到（9）- 1，然后让λ1。使用等价物∈ G*（y，ω）<==> Y∈ g（c）<==> g（c）+g*（y） 我们可以写条件（9）ascy≤ββ - 1（cy）- g（c））C≥ G*（\'y），y∈ g（c）等于（11）。引理21。给定实线上g（0）=0的非减量闭凸函数g，以下是关于β的等价条件∈ （0,1）和“y”表示哪种情况G*（`y） R-.G*（λy）≤ λ-β1-βg*（y）λ ∈ （0,1），y∈ （0，\'y]（12）cy≥-β1 - βg*（y）Y∈ （0，\'y]，c∈ G*（y） 。（13） 赛≥ βg（c）C≤ G*（\'y），y∈ g（c）。（14） g（λc）≥ λβg（c）λ ≥ 1，c≤ G*（\'y）。（15） 证据。假设（14），我们有g（c）≤ g（λc）+R[λc，c]βg（s）sds，sog（c）≤ g（λc）+g（λc）Z[λc，c]βsds=g（λc）（1）- ln（λ）-β)) ≤ λ-y的βg（λc）∈ （0，\'y]，条件（15）给定*（y）≥ sup{cy- λ-βg（λc）}=λ-βg*(λβ-1y），这意味着（12）。我们对每个λ都有∈ （0,1），y∈ （0，\'y]和c∈ G*（y） ，c（λy）- y）≤ G*（λy）- G*（y）≤ (λ-β1-β- 1） g*（y） 我们首先除以λ得到（13）- 1，然后让λ1。使用等价物∈ G*（y）<==> Y∈ g（c）<==> g（c）+g*（y） 我们可以写条件（13）ascy≥-β1 - β（cy）- g（c））C≥ G*（\'y），y∈ g（c）等于（14）。参考文献[1]Acciaio，B.，F–ollmer，H.，和Penner，I.2012。不确定性现金流的风险评估：模型模糊性、贴现模糊性和泡沫的作用。金融斯托赫。，16(4), 669–709.[2] Artzner博士、Delbaen，F.，Eber，J.M.，和Heath，D.1999。一致的风险度量。数学金融，9（3），203-228。[3] Artzner，Ph.，Delbaen，F.，和Koch Medona，第2009页。风险度量和资本的有效使用。Astin公告，39（1），101-116。[4] Barrieu，P.&El Karoui，N.2005。风险度量和最优风险转移的Inf卷积。《金融与随机》，9（2），269-298。[5] 贝切勒博士，2003年。