最优投资中的凸对偶与企业的未定权益估值

，0，cT）和p=p，差异互换率降低到熟悉的差异价格概念。在本节结束时，我们回顾了一些关于超边际的基本事实，以及会计价值和差异互换率的套利界限；详见[51]。我们有а（c）=infd∈CEV（c）- d） 。此外，φ，π和π（`c，p；·）是M上的凸函数，它们在衰退曲线的方向上是非递增的∞= {c∈ M|c+αc∈ C \'c∈ C、 C的α>0}∞. 显然，C∞是一个凸锥和C∞ 当C是圆锥体时，C相等（例如在比例交易成本和圆锥体约束下）。我们将给出C的显式表达式∞在市场模式方面（S，D）；见下面的推论7。会计价值可以限定在由πsup（c）=inf{α定义的超边际成本和次边际成本之间∈ R|c- αp∈ C} πinf（C）=sup{α∈ R |αp- C∈ C} 分别为。实际上，如果πs（0）=0，那么，根据[51，定理3.2]，πinf（c）≤ πl（c）≤ πs（c）≤ πsup（c）在c中具有等式- αp∈ C∩ (-C） 对一些人来说∈ 在这种情况下，πs（c）=α。类似地，差异互换率可以由πsup（p；c）=inf{α定义的上边缘互换率和下边缘互换率限定∈ R|c-αp∈ C∞} πinf（p；c）=sup{α∈ R |αp-C∈ C∞},分别地实际上，如果πs（`c，p；0）=0，那么，根据[51，定理4.1]，πinf（p；c）≤ πl（`c，p；c）≤ πs（`c，p；c）≤ 带等式的πsup（p；c）如果c- αp∈ C∞∩ (-C∞) 对一些人来说∈ 在这种情况下，πs（\'c，p；c）=\'α。最后一个条件将可复制性（可达到性）的经典条件扩展到非线性市场模型。

在[43，第2节]中∞∩ (-C∞) 被解释为“流动零成本可实现索赔”。回想一下，在锥形市场模型中∞= C.3最优投资的二元性我们的总体目标是推导最优价值函数、会计价值π和差异互换率πs（`C，p；·）的二元表达式，分析它们的性质，并将它们与文献中出现的市场模型和二元性理论的更具体实例联系起来。我们将使用凸分析的函数分析技术，其中对偶性来自凸函数的共轭概念；见[60]。更准确地说，我们应用了[48,54,9,56]的结果，其中Rockafellarwas的一般共轭对偶框架专门用于一般的凸随机优化问题。为了在第2节的设置中应用共轭对偶，我们从现在开始假设 L(Ohm, F、 P；RT+1）将二元性与另一个空间Q分离 L(Ohm, F、 P；在双线性形式下随机序列的RT+1），qi:=E（c·q），其中“·”表示通常的欧氏内积。我们还将假设M和Q在[58]的意义上都是可分解的，并且它们是更接近的自适应投影。可分解性是指cA+c′Ohm\\A.∈ 我永远是c∈ M、 c′∈ L∞还有∈ F.a c=（ct）Tt=0的自适应投影∈ 根据ACT:=Etct给出的（Ft）Tt=0自适应随机过程。在这里以及接下来的内容中，Et表示关于Ft的条件期望。回想一下（参见[11，引理1]）可分解性M和Q意味着∞ M 求出M的两个元素的点方向最大值都小于M。我们将分别用maan和Qa来表示M和Q的适应元素。由于M和Q在自适应投影下是封闭的，所以在（c，Q）7下，M和Q是分离对偶的→ hc，齐。

Qa的元素可以解释为“随机贴现因子”（或“状态价格密度”），它扩展了经典市场模型中鞅密度的概念。在没有完全流动的现金（或其他完全流动的数字）的市场中，需要更一般的双重目标才能体现货币的时间价值。在确定性设置中，双变量q∈ Qa代表利率的期限结构（零息债券的价格）。在[1，定理3.4]和[43，第3节]中，对偶变量q∈ Qa表示为鞅密度和可预测贴现过程的乘积；另见[67，第3.2节]。ψ：Ma的凸共轭→R关于MAA与QA的配对，定义如下：*（c） =supc∈马奇- ~n（c）}。Qa上函数的共轭定义类似。如果~n关闭且正确，则**= φ; 参见例[60，定理5]。换句话说，我们就有了对偶表示形式φ（c）=supq∈Qa{hc，qi- φ*（q） }。右边的最大化问题被称为对偶问题。如果ψ未关闭，则对于某些c∈ Mathe对偶最优值严格小于φ（c）（存在“对偶间隙”）。本节的主要结果给出了共轭φ的表达式*根据损失函数V和市场模型（S，D）。下面的第4节给出了封闭的充分条件。注意，如果V是P，则几乎可以肯定非正圆锥RT+1的指示器函数-, 然后，最优值函数ν与指示符函数δC（可在不产生成本的情况下进行超边缘处理的权利要求集合C）以及其与ν的共轭相一致*成为支持函数σC（q）：=supc∈Chc，齐。在这里，我们可以把C看作是一组经过修改的声明，它们可以在没有成本的情况下被超级化。

事实上，不难证明，如果一个人限制c被适应，上确界不受影响。当S为次线性，D为圆锥体时，集合C也是圆锥体，σcbe表示极锥的指示函数*:= {q∈ Qa | hc，qi≤ 0C∈ C} 。在经典的完全流动市场模型中，C*结果是鞅密度过程的正倍数；见推论3后的备注。结合Kreps–Yan定理，这给出了资产定价基本定理的快速证明。表示的表达式*下面的定理1适用于对随机支付序列表现出风险厌恶的损失函数V。假设2。电动汽车（交流）≤ EV（c）适用于所有c∈ M.显然，假设2也适用于所有t的Ft=F。如果V是形式（1），其中每个vt是凸正规Ft被积函数，因此存在q，则假设2也适用∈ Qaev*t（qt）<∞ 实际上，在这种情况下，假设2中的不等式就是凸正规被积函数的Jensen不等式；西。g、 [48，推论2.1]。我们使用符号（αSt）（x，ω）：=（αSt（x，ω）如果α>0δcl dom St（·ω）（x）如果α=0。在α=0的情况下，定义的动机是函数αSt（·ω）是ανSt（·ω）作为αν0的表观极限；这源于[61，命题7.29]以及真闭凸函数在有界集上从下一致有界的性质。根据[61，命题14.44和命题14.46]，αS是每个可测α的凸正规被积函数≥ 0.我们将用N表示适应的可积RJ值过程的空间。为了简化下面陈述中的表示法，我们使用Dummy变量wT+1∈ L(Ohm, F、 P；RJ）。自DT以来≡ {0}，我们有σDT≡ 0，因此wT+1的值不会影响任何表达式。第7.2节将给出以下证明。定理1。

如果V满足假设1和假设2，如果S（x，·）∈ Mafor allx∈ RJ，则（ALM）的最佳值函数的共轭可以表示为*（q） =EV*（q） +infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1]），其中每个q都达到了最大值∈ 质量保证。假设S（x，·）∈ 马福尔x∈ RJ是假设S（x，·）的推广∈ Lmade in[47]。还记得吗，妈 L.我们将在第5节中看到，关于S的更强假设可能允许我们建立对偶解的存在性和（ALM）最优性条件的必要性。假设S（x，·）∈ MAI也接近[6，假设3.1]，在完全流动的情况下，要求价格过程“局部”属于与优化效用函数相关的Orlicz空间。当V（·ω）=δRT+1时-对于P-几乎所有ω，定理1给出了[47，引理A.1]的以下isa变体。推论2。如果S（x，·）∈ Mafor all x∈ RJ，那么σC（q）=infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1）]）表示q∈ Ma+而σC（q）=+∞ 否则此外，每一个q值都达到了最大值∈ 文科硕士证据当V（·ω）=δRT+1时-, 假设1和2显然成立，我们得到了*= σC.自V*（·，ω）=δRT+1+，定理1给出*（q） =infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1）]）表示q∈ Ma+和ν*（q） =+∞ 问/∈ Ma+。当S是次线性，D是圆锥形时，我们有S*t=δdoms*tandσDt=δD*T

如果加上，S（x，·）∈ Mafor all x∈ RJ，所以dom St=RJand（qtSt）*（w） =δ（w | qts）*t） 推论2给出了极锥的以下表达式*= {q∈ Qa+|W∈ N:wt∈ qtdom S*t、 Et[wt+1]∈ D*tP-a.s.}。C的极锥也可以写成asC*= {q∈ Qa+|s∈ N:圣∈ 多姆S*t、 Et[（qt+1+1）]∈ D*tP-a.s.}。在St（x，ω）=St（ω）·x和Dt（ω）=RJ的无约束线性模型中，我们有doms*t={st}和D*t（ω）={0}所以c*= {q∈ Qa+| qs是一个鞅}，与[67，定义2.2]在无数值线性模型的情况下一致。在具有买卖价差的无约束模型中，dom*这是立方体-t、 s+t]与C*= {q∈ Qa+|s∈ N:s-T≤ 圣≤ s+t，qs是鞅}。上述过程对应于[17]意义上的“影子价格”；请参阅第5节了解更多详细信息。当卖空被禁止时，即当我们使用每一个dom选择器w*这是可积的。事实上，芬切尔说≤ sup | x|≤第一（x）+S*t（w），其中自S（x，·）起上确界是可积的∈ 文科硕士Dt=RJ+，条件Et[（qt+1+1）]∈ D*T意味着qs是一个超级艺人。在具有完全流动现金的模型中（参见示例2），C*可以用asC表示*= {q∈ Qa+|Q∈ P、 α≥ 0:qt=αEtdQdP}，其中P={Q<< P|~s∈~N:~st∈ dom~S*t、 EQt■st+1∈~D*tQ-a.s.}和ndente是一组适应的RJ\\{0}值过程。在无约束模型中，Pis是一组绝对连续的概率测度Q，允许dom S的鞅选择器*t、 在St（x，ω）=St（ω）·x的经典线性模型中，我们暗示有doms*t={st}所以集P成为s的绝对连续鞅测度集。利用推论2，我们可以更简洁地写出定理1，如下所示。推论3。在定理1的假设下*= 电动汽车*+ [55，引理3]在损失函数的更严格假设下给出了σC.推论3。

此外，[55，引理3]的证明基于[48，定理2.2]，它支持[9]中纠正的错误；参见[52]。4值函数的闭合性本节给出了φ闭合的条件，从而证明了双表示法的有效性**. 封闭条件将通过市场模型的渐近行为和损失函数给出。凸函数h的渐近行为可用其衰退函数h来描述∞这可以用灰烬来表达∞（x） =supα>0h（αx+-x）- h（\'x）α，其中上确界与\'x\'的选择无关∈ 多姆h；参见[59，定理8.5]。凸函数的衰退函数是凸且正齐次的。给定一个市场模型（S，D），函数S∞t（·ω）：=St（·ω）∞是一个凸被积函数和D∞t（ω）：=Dt（ω）∞是一个可测量的集合；参见[61，练习14.54和14.21]。这样，每个（S，D）都会产生一个锥形市场模型（S）∞, D∞). 类似地，凸损失函数V产生次线性损失函数V∞（·，ω）：=V（·，ω）∞. 注意，假设1中的增长特性意味着∞（c，ω）≤ 0代表全部c∈ RT+1-和{c∈ RT+1+| V∞（c，ω）≤0} = {0}. 我们的亲密度结果要求如下。假设3。{x∈ 钕∞| 五、∞（S）∞(x） )≤ 0}是一个线性空间。如果损失函数V满足{c∈ RT+1 | V∞（c，ω）≤ 0}=RT+1-, （3） 那么假设3意味着{x∈ 钕∞| s∞(十）≤ 0}是一个线性空间。这将经典的无套利条件从完全流动市场模型推广到非流动市场模型。尤其是当D≡ RJ（无投资组合约束），线性条件成为[66]中针对[36]的货币市场模型引入的“稳健无套利条件”的一个版本；有关无套利条件以外的详细信息和更多示例，请参见[49]。

{x的线性∈ 钕∞| s∞(十）≤ 0}可以被视为“有效摩擦”条件的放松，在当前设置中，这将要求该设置减少到原点；参见[10]了解有效摩擦条件的回顾，以及股息支付模型的扩展。条件（3）明确暗示了假设1。特别是当V是形式（1）时，它成立，其中Vt（·ω）是V的单变量非恒定损失函数∞T≥ 事实上，由于VT是不减损的，所以我们有V∞T≤ R上0-而非恒定意味着V∞当ct>0时，t（ct，ω）>0；参见[59，推论8.6.1]。如果VTC是可区分的且满足INDA条件，则条件（3）当然成立-∞V′t（c，ω）=0和limc∞V′t（c，ω）=+∞从那以后，V∞T≡ δR-.我们还需要一个关于损失函数的假设。假设4。存在λ6=1使得λdom EV* 多姆埃夫*.假设4尤其适用，如果V从下到下被一个可积函数限定，自那时起为0∈ 多姆埃夫*. 下面的引理4给出了更多的一般条件。这些条件将渐近弹性条件从[39]和[64]扩展到多元、随机和可能的非光滑损失函数。对于非变量损失函数v，条件可以表述为λ>1，\'y∈ 多姆埃夫*, C≥ 0:v*（λy）≤ 个人简历*（y） Y≥ \'y，（RAE+）λ ∈ （0,1），\'y∈ 多姆埃夫*, C>0:v*（λy）≤ 个人简历*（y） Y≤ y.（RAE）-)[39,64]中给出的确定函数的渐近弹性条件的各种重新表述，在附录中被推广到随机和非光滑损失函数。下面的引理给出了多元扩展。引理4。如果v*（η，ω）：=V*（ηy（ω），ω）每个y的满意度（RAE+）∈ 多姆埃夫*,然后λdom EV* 多姆埃夫*λ ≥ 1.如果v*（η，ω）满足度（RAE）-) 每一次∈ 多姆埃夫*, 然后λdom EV* 多姆埃夫*λ ∈ （0，1）。证据。

考虑到∈ 多姆埃夫*, 正规被积函数h=v*两种情况下的满足性附录中引理19的假设∈ 嗯。备注1。在单变量情况下，引理4中的径向条件由满足相应渐近弹性条件的损失函数满足。的确，如果V*满意度（RAE+）和y∈ 多姆埃夫*, 然后v*（η，ω）：=V*（ηy（ω），ω）满足（RAE+）的λ和C相同，但y被{y>0}y/y替换。对于（RAE+）类似-).我们现在准备陈述本节的主要结果。除了最优值函数的闭合性和最优交易策略的存在性外，它还给出了衰退函数的显式表达式。这些结果将有助于第6节中未定权益估值的分析。第7.2节将给出以下证明。定理5。假设1、3和4成立，并假设EV*（q） +infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）[wt+1]）∞对于一些问题∈ Q.那么φ是σ（Ma，Qa）-以Ma为单位闭合，所有c的上限（ALM）都是固定的∈ 马恩德∞（c） =infx∈NDEV∞（S）∞(x） +c）。在定理1的假设下，定理5中的最后一个假设成立，尤其是如果*这是恰当的。假设*如果V从下方被一个可积函数所限定，则自动保持适当的值，因为φ也是有界的，所以*(0) < ∞. 如果V从下面是无界的，则φ的适当性*这是一个更微妙的问题。在经典的线性模型中，如果存在鞅测度Q，这一点成立<< 具有密度过程q的P∈ Qaev*（q） <∞. 这类似于[65]中的假设1，假设市场是完全流动的，对偶问题是由过等价鞅测度表示的。一般来说，适当的*这意味着从下方开始，在麦基社区的起源地。

事实上，这意味着下半连续外壳在原点处是固定的，然后才是固定的*是正确的，根据[60，定理4]。如果在原点处是有限且连续的，这一点当然成立。第5节将给出充分的条件。以下结果总结了我们迄今为止的发现。将定理1、5和推论2与凸函数的一般双共轭定理相结合，给出了（ALM）的最优值函数的对偶表示。定理6。如果假设1-4成立，S（x，·）∈ Mafor all x∈ Rj和~n*isproper，则φ（c）=supq∈Qa{hc，qi- 电动汽车*（q）- σC（q）}，其中σCis由推论2给出。MAI上的Mackey拓扑是与带Qa的Pair兼容的最强局部凸拓扑。下面的例子将定理6专门应用于具有完全流动现金的锥形市场模型。例3。考虑例子2，假设D是圆锥的，S是次线性的，并且{x∈ ND|S(十）≤ 0}是一个线性空间（如果没有约束，尤其是在鲁棒无套利条件下；参见[49，第4节]）。如果VT（·，ω）是非常数的，则凸损失函数满足V∞≥ 0和（RAE+）或（RAE-), 那么φ（c）=supλ≥0supQ∈P（λeqtext=0ct- 电动汽车*T（λETdQdP））（参见C的表示*在第3节末尾）。这类似于[45]或[8]中针对连续时间模型推导的对偶问题。虽然这些参考文献研究了完全流动市场中随机捐赠的最优投资，但上述研究适用于离散时间的非流动市场。在指数形式下，casevt（c）=α（eαc- 1） ，λ>上的上确界很容易通过解析方法找到，并且可以得到φ（c）=αexp“supQ∈P{αEQTXt=0ct- H（Q | P）}#-α、 其中H（Q | P）表示Q相对于P的熵。