最优投资中的凸对偶与企业的未定权益估值

这是[21]中获得的对偶表示的非流动离散时间版本；另见【5】。最优投资中的许多对偶理论只研究了作为初始禀赋函数的最优价值；参见例如[39]或[38]。例4（间接效用）。函数v（c）=ψ（c，0，…，0）给出了具有初始资本的代理的（ALM）的最佳值-没有未来的负债/捐赠。我们可以表示v asv（c）=infd∈C（C）EV（d），（4）其中C（C）={d∈ 马|（c，0，…，0）- D∈ C} 是否要求未来捐赠的集合无风险地覆盖C的初始付款。如果φ适当且低连续性（见定理5），则双共轭定理给定sv（C）=supq∈Qa{cq- φ*（q） }=supq∈R{cq- u（q）}其中u（q）=infz∈Qa{~n*（z） | z=q}。如果C是圆锥形的，我们可以用推论3把u写成类似于（4）asu（q）=infz的形式∈Y（q）EV*（z） ，其中Y（q）={z∈ C*| z=q}。即使φ是闭合的，也没有理由相信u也是较低的半连续的，也没有理由相信它的定义达到了极限。然而，在某些情况下，可以放大setY（q），使函数u变得更低，从而达到连续性和最大值；关于无约束的次线性双资产模型，请参见[17]。当V=δRT+1时-, 定理5的假设是自动满足的，因此我们得到了关于C组索赔的以下结果，这些索赔可以在没有成本的情况下被超边际化。推论7。如果{x∈ 钕∞| s∞(十）≤ 0}是一个线性空间，那么C是闭合的，它的衰退锥可以表示为asC∞= {c∈ 马|十、∈ 钕∞: s∞(x） +c≤ 0}.推论7的第一部分在[49，第4节]中给出，其中还表明线性条件由“稳健无套利条件”隐含，该条件简化为经典完美流动市场模型中的经典无套利条件。

结合Kreps–Yan定理，这给出了著名的Dalang–Morton–Willinger定理的快速证明。衰退锥C∞在或有索赔评估中，C的价值发挥着重要作用；见下文[51]和第6节。特别是，当c-αp∈ C∞∩(-C∞)对一些人来说∈ R见[51，定理4.1]。这将“可达性”的经典概念推广到非流动性市场模型。因此，在一般的市场模型中，完整性的概念（所有c∈ Ma）扩展到C的性质∞∩ (-C∞) 是Ma的一个极大线性子空间。最大值意味着如果p/∈ C∞∩ (-C∞), 然后是p的线性跨度∪ [C]∞∩(-C∞)] 这就是我的全部。在定理5的条件和V∞≥ 0，条件p/∈ C∞, 结果证明πs（`c，p；·）是Ma上的适当lsc函数是必要的和有效的；见下面的定理11。5最优性条件和影子定理在定理1和定理5的假设下，（ALM）的最优性值等于对偶问题的最优性值∈Qa，w∈NE（V）*（q） +TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1）- ctqt]）。最优q∈ Qa（如果存在）的特征是等式φ（c）+φ*（q） =hc，qi，这意味着q是c处的一个次梯度，即φ（c′）≥ ν（c）+hc′- c、 齐c′∈ 文科硕士最优对偶解∈ 因此，Qa可以被解释为索赔c的边际价格∈ 文科硕士特别是，如果φ恰好是Gateaux可微分atc，那么q是φ在c处的导数。我们将表示φ在c处的次微分，即次梯度集∈ 梅比~n（c）。很像[60]的共轭对偶框架，对偶解允许我们写下原始问题（ALM）解的最优性条件。第7.2节将给出以下证明。定理8。

让c∈ 文科硕士如果假设1-4成立且（w，q）∈ Qa×解对偶，然后是x∈ N解（ALM）当且仅当它是可行的且wt+1∈ 无损检测（xt），q∈ V（S）(x） +c），重量∈ （qtSt）(xt）。相反，如果x和（w，q）是满足上述系统的可行原对偶对，则x解原对偶，而在c处是闭合的。在经典线性模型中，其中St（x，ω）=St（ω）·x，定理8中的最优性条件简化了toEt（qt+1+1）∈ 无损检测（xt），q∈ V（s·x+c）。在不受约束的情况下≡ RJ，第一个条件意味着qs是鞅。另一方面，我们可以将最后一个条件写为wt=qt\'st，其中\'st∈ L(Ohm, Ft，P；RJ）是这样的∈ 圣(xt）。根据[17]，我们称这种过程为影子价格。根据[59，定理23.5]，我们可以这样写：xt∈ s*t（\'st）。如果S像[17]一样是正齐次的，这就变成了xt∈ 恩多姆S*t（\'st）。特别是，最优策略只有在/∈ int dom S*在这种情况下，增量XTS属于dom S的（向外）法线*答：这将互补条件从[17，定义2.2]扩展到多资产和一般次线性交易成本。此外，如果*（\'s）∈ Ma，\'x在（ALM）中是最优的，那么它在线性化问题中也是最优的x+c）超过x∈ ND，其中\'c:=c- s*（\'s）。事实上，如果x，（\'w，\'q）在（ALM）和对偶中是最优的，我们有S(\'x）+S*（\'s）=\'s·根据定理8中的最优性条件，它们满足线性化模型的最优性条件，对于线性化模型，它们也是可行的，因此，定理8的最后一部分给出了结论。情况十、∈ 恩多姆S*t（`st）与[19]的结果密切相关，后者发现在交易成本下，存在一个“无交易区域”，最优交易策略保持不变。在次线性的情况下，这个区域是doms的内部*T

还要注意，如果S恰好是严格凸的，s*是（最多）单值的（见[59，定理26.1和26.1]），因此影子价格是最优交易策略的唯一特征。[17]的第3节给出了一个例子，其中影子价格不存在，因此，在双表示法中，没有达到φ的上确界。以下给出了实现该目标的充分条件。回想一下，Mackey拓扑是与QA配对兼容的最强局部凸拓扑。定理9。在定理1的假设下，如果从上到下在c.证明的Mackey邻域上有界，则可获得对偶最优。根据定理1，对偶解在理论上与φ的次梯度一致。因此，该主张源自[60，定理11]。与[6，推论5.2]中的情况非常相似，在预期损失函数EV的适当连续性假设下，可以保证Qa中的双重实现。回想一下，如果Evercyclosed凸吸收集是原点的邻域，则局部凸拓扑向量空间是桶形的。根据[60，推论8b]，桶状空间上的下半连续凸函数在其域的代数内部（核心）是连续的。另一方面，根据[60，定理11]，连续性意味着次微分。Fr’echet空间，特别是Banach空间是桶装的。如果Mais在与Qa配对兼容的拓扑上是桶装的，我们会说Mais是桶装的。例5。假设Mais被枪杀了。如果EV在整个Ma和EV中是有限的，则Orem 9中的有界条件是满足的*在Qa上是合适的。在例2中，EV的完整性失败，但有界条件保持ifEVT（c+···+cT）<∞ 不管怎样，c∈ Maand洎或C7→ EVT（c+··+cT）在Ma上是下半连续的（见定理5）。证据根据[60，定理21]，EV是下半连续的，因此，根据[60，推论8B]，它在Ma上是连续的。

选择x=0，则给出φ（c）≤ EV（c），因此[60，定理8]意味着ψ是连续的，因此在整个Ma中可由[60，定理11]细分。与之类似，在示例2中，（c）≤ EVT（c+···+cT），因此，根据[60，推论8B]，这两个条件都暗示了或有权益估值的连续性。6二元性[51]的主要结果将会计价值和差异互换率与套利界限和经典的复制价值联系起来。[51]第6节给出了π和πs（`c，p；·）的下半连续性和性质的条件。本节定义了这些条件，并给出了π和πs（`c，p；·）的对偶表达式。我们从会计价值开始。6.1会计价值如导言所述，会计价值π将凸风险度量的概念扩展到没有完全流动现金账户的支付序列和市场。本节通过给出πS的对偶表示来扩展类比，当应用于具有完全流动性现金的单周期设置时，它可以简化为众所周知的风险度量的对偶表示。我们还给出了对偶表示中的共轭（“惩罚函数”）分为两部分的一般条件，一部分对应于市场模型，另一部分对应于代理人的风险偏好。这可以被视为具有完美流动性现金的模型中相应分离的延伸；见例[26，提案4.104]。注意，会计值可以表示为πs（c）=inf{α| c- αp∈ A} ，其中A={c∈ 马| ||（c）≤ 考虑到S和D所描述的非流动性市场中交易的可能性，0}由代理人可以用可接受的风险水平（以EV衡量）覆盖的金融头寸组成。这类似于[2]中凸风险度量与其接受集之间的对应关系，其中金融市场由一个完全流动的资产描述。

除了市场模型之外，这里另一个值得注意的扩展是，承兑集合由付款序列组成，而不是在单一日期付款。πsbelow的对偶表示涉及a的支持函数，该函数对应于凸风险度量的对偶表示中的“惩罚函数”；参见[26，第4章]及其参考文献。在mild条件下，支持函数分为两项：第一项是setB={c的支持函数∈ 马|埃夫（c）≤ 0}而第二个是索赔集合C的支持函数，它可以在没有成本的情况下被超边缘化。B只取决于代理人的风险偏好，C只取决于市场模型。定理10。如果F是微不足道的西格玛场，V∞≥ 0和第5项的假设成立，条件成立。πsis本征与下半连续，2。πs（0）>-∞,3.p/∈ C∞,4.对于某些q，q=1∈ domσCare等价并暗示对偶表示πs（c）=supq的有效性∈Qa{hc，qi- σA（q）|q=1}。如果inf~n<0，那么在定理1的假设下，σA=σB+σc和σB（q）=infα>0αEV*（q/α）。证据定理5中φ的封闭性意味着A的封闭性。根据附录中的引理18，对偶表示在前两个条件下有效，这两个条件都等价于p/∈ A.∞这就相当于q的存在∈ 含hp的domσA，qi=1。这里，假设hp，qi=qsincep=（1，0，…，0）和Fis是微不足道的西格玛场。由[57，推论6B]可知∞= {c∈ 马| |∞（c）≤ 0}. 当V∞≥ 0，则表示ν∞在定理5中，yieldsA∞= {c∈ 马|十、∈ 钕∞: s∞(x） +c≤ 0}，根据推论7，等于C∞. 因此，前两个条件都相当于3。引理18的另一个应用现在意味着3等同于4。这就完成了第一项索赔的证明。通过拉格朗日对偶（参见。

例1“在[60]的第45页上，conditioninf~n<0表示σA（q）=supc∈Ma{hc，qi|~n（c）≤ 0}=infα>0supc∈马奇- α~n（c）}=infα>0α~n*（q/α）=infα>0αEV*（q/α）+σC（q），其中最后一个等式来自推论3和σCis正齐次的事实。再次通过拉格朗日对偶，σB（q）=supc∈马{hc，齐| EV（c）≤ 0}.在假设2下，我们得到了所有的q∈ Qasupc∈Ma{hc，q/αi- EV（c）}=supc∈L{hc，q/αi- EV（c）}=EV*（q/α），其中最后一个等式来自交换规则[61，定理14.60]。定理10的第一部分类似于[24，第4.3节]中的推论1，该推论涉及一般单周期环境中的风险度量。第二部分中的双重表述类似于[26，命题4.104]中的表述，在具有投资组合约束和线性交易成本的单期设定中。另见[4，定理3.6]，它给出了两个凸风险度量的错误卷积的对偶表示。当C是锥时，定理10中的对偶表示可以写成πs（C）=sup{hc，qi- σB（q）|q∈ C*, q=1}。此外，如果EV是次线性的，那么B={c∈ 马|埃夫（c）≤ 0}是一个圆锥体，σB=δB*（极锥的指示函数），所以我们得到了更常见的表达式πs（c）=sup{hc，qi|q∈ C*∩ B*, q=1}。（5） 在完全规避风险的情况下，V=δRT+1-, 我们有B=Ma-andB*= Qa+。自从C* Qa+，我们因此恢复了超级对冲成本的双重代表性；参见例[49]。一般来说，B的解释很像好交易界限理论中的“合意主张”集合；参见[14]及其参考文献。在上面的对偶表示中，极锥B*限制索赔估价中使用的一组随机贴现因子，从而使价值低于超边际成本。

这只是[51]中纯代数参数得到的无套利界的对偶公式；见第2节。一般结构也类似于[23]、[43]及其参考文献中的“双价格经济”模型。尤其是，表达式（5）的形式与[43，第3节]中“要价”的双重表示形式相同，后者在有限概率空间的背景下处理了没有完全流动性数值的锥形市场。虽然定理10是针对空头头寸制定的，但它可以通过等式πl（c）直接转换为多头头寸的会计值=-πs(-c） 。特别地，πlin的对偶表示变成了πl（c）=infq∈Qa{hc，qi+σA（q）|q=1}，而在锥形情况下πl（c）=inf{hc，qi |q∈ C*∩ B*, q=1}。如果我们忽视金融市场（通过设置≡ 0），定理10的最后一部分给出了[27，定理4.115]对扩展的重值随机损失函数的多周期扩展。除了一般性，上面的凸解析证明要简单得多。6.2独立掉期利率本节给出了独立掉期利率πs（`c，p；c）的双重表示。所涉及的论点与前一节中的论点非常相似，我们注意到，差异互换率可以表示为πs（`c，p；c）=inf{α| c- αp∈ A（\'c）}，其中A（\'c）={c∈ Ma |Д（(R)c+c）≤ ？（\'c）}是一组声称当前财务状况为\'c\'的代理人∈ 考虑到他的风险偏好和在S和D所描述的非流动市场交易的能力，Madeems是可以接受的。类似于上一节中风险度量和会计价值的双重表示，πS（\'c，p；·）的双重表示涉及A（\'c）的支持功能。在温和的条件下，支持函数可分为两项。

其中一项仍然是集合C的支持函数，该集合C可以在没有成本的情况下被超边缘化，但现在第二项是集合B（`C）={C的支持函数∈ 毫安电子伏（\'c+c）≤ ~n（`c）}。这是一组具有财务状况“c”的代理人的索赔∈ Maand riskpreferences EV认为，在S和D.定理11所述的金融市场上进行交易的可能性至少是可取的。如果满足定理5的假设，则V∞≥ 那么，对于每一个“c”∈ dom~n和p∈ 妈，条件1。πs（`c，p；·）是真的，下半连续的，2。πs（`c，p；0）>-∞,3.p/∈ C∞,4.对于某些q，hp，qi=1∈ domσCare等价并暗示对偶表示πs（`c，p；c）=supq的有效性∈质量保证hc，齐- σA（`c）（q）hp，qi=1如果上述条件持续一段时间∈ dom，则每\'c∈多姆。如果inf~n<~n（\'c），则在定理1的假设下，σA（\'c）=σB（\'c）+σc，其中σB（\'c）（q）=infα>0α[EV*（q/α）- h′c，q/αi- ~n（`c）]。证据定理5中φ的封闭性意味着A（`c）的封闭性，然后是A∞（\'c）={c∈ 马| |∞（c）≤ 0}，由[57，推论6B]得出。第一个主张现在被证明，就像定理10一样。根据拉格朗日对偶性，条件inf k<k（\'c）意味着σA（\'c）（q）=supc∈Ma{hc，qi|~n（\'c+c）- ~n（摄氏度）≤ 0}=infα>0supc∈马奇- α[~n（°c+c）- ~n（\'c）]}=infα>0supc∈马奇- α[~n（c）- ~n（\'c）]}- h\'c，qi=infα>0α*（q/α）- ~n（`c）]- h\'c，qi=infα>0α[EV*（q/α）- ~n（`c）]- h′c，qi+σc（q），其中最后一个等式来自推论3和σCis正同质的事实。再次通过拉格朗日对偶σB（`c）（q）=supc∈马{hc，qi|EV（\'c+c）≤ ~n（`c）}=infα>0α[EV*（q/α）- ~n（`c）]- 就像定理10的证明一样。定理11的结构和假设与定理10基本相同。主要的差异在于解释。

虽然会计价值寻找的初始现金量最小，使人们能够找到可接受的对冲策略，但差异互换率比较了两种财务状况。差异体现在“接受集”B和B（\'c）的定义中，后者将索赔与进入金融市场的理性代理人的当前财务状况进行比较。专门研究具有完全流动现金的市场模型，我们获得了[45]和[8]中获得的非流动离散时间定价公式。例6（数值和鞅度量）。设p=（1，0，…，0），并假设St（x，ω）=x+~St（~x，ω）和Dt（ω）=R×~Dt（ω），具有次线性S和锥形D，如例2所示。就像在第3节的末尾一样，我们可以用概率度量写出对偶表示为π（`c；c）=supy∈C*h\'c+c，易- σA（`c）（y）hp，yi=1= supQ∈Psupα>0（EQTXt=0（\'ct+ct）- α“ETXt=0v*t（EtdQdP/α）- ~n（\'c）#）。这甚至可以作为定价公式的非流动离散时间版本[45，第7节]和[8，第4节]。7有物理交付的或有债权在本节中，我们研究了公式的问题(x+θ+c）除以x∈ ND，（ALM+），其中θ是RJ值的过程，可以解释为代理人除了现金结算的索赔外还必须交付的实物交付的或有索赔（投资组合价值的或有索赔）。研究了实物交付的或有索赔的超边缘，例如[36，53，41]。[28]研究了具有完全流动现金的无约束连续时间市场模型中超线性交易成本下的最优投资和超边际化。我们将用ā（θ，c）表示（ALM+）的最佳值。