股票交易的几何阶段

事实上，结合（6）和（10）对于一个先买后卖的周期，持有区间[tb，ts]中s的值由s（ti）=s（0）+i给出-1Xj=bw（tj）k+rk，ti∈ [tb+1，ts]i。。e、 必须在{w（ti）}上加上额外的rk项。买卖价差的影响。在真实的证券交易所中，买入（市场）指令与限价指令簿相比较：具有最佳卖出价格的限价指令与市场指令相匹配，如果需要，该指令簿将“步行”到下一个卖盘，以此类推，直到指令完全执行（此处忽略了向其他证券交易所的指令重定向）[16,17]。因此，最好的要价和最好的出价之间的价格上涨和中间价（在我们的模型中是股票报价）之间的差距被推高。如果订单执行后没有其他情况发生，那么当试图完成周期时，最佳出价保持不变（并且低于新的和旧的原始股票报价），因此周期会导致净损失，而不是利润，如图4所示。然而，如果市场有足够的深度，在整个过程中，买卖价差很小，并且仍然很小，例如，因为双方的新限价指令不断到达（“锁定”或“几乎锁定”市场），那么可能仍然会发生股价上涨导致新的最佳买入价高于旧的卖出价（购买股票的价值），见图5。假设股票报价s（ti）等于最佳报价a（ti）和最佳报价b（ti）之间的中间价，并且围绕s（ti）的买卖价差q是常数（即a（ti）=s（ti）+q/2，买卖原始报价新报价图4：广泛买卖价差的影响）。购买订单清空限价订单簿上黑色阴影区域。股票报价（中间价）随之增加，而最佳出价（蓝色）保持不变。

完成该周期所需的卖出指令将ata价格结算到低于原始买入价格的水平，因此该周期将导致交易员净亏损。买卖原始报价新报价图5：小买卖价差的影响。在一个深度市场中，许多买入和卖出指令不断出现，中间价附近的价差仍然很小，即使在执行买入指令提高了股票报价之后也是如此。因此，购买订单的价格影响可能会导致新的最佳出价高于执行购买订单时的报价。在这种情况下，完成周期确实会带来净收益。b（ti）=s（ti）- 问题2）。为了在我们的模型中考虑买卖价差，等式（3）必须由z（ti+1）=z（ti）替换- v（ti）u（ti），其中v（ti）=（a（ti）如果u（ti）>0b（ti）如果u（ti）<0。（11） 在周期结束时，来自（11）的现金余额为z（趋势）=z（0）+rk- qk。如果我们把每个交易操作的费用也包括在内（假设为常数，等于c），那么z（倾向）=z（0）+rk- qk- 2c。（12） 因此，如果z（倾向），一个周期产生一个净利润-z（0）=rk-qk-2c>0。请参见图6，以了解扩展如何减少z（t）中的增益（或引起损失）。在（12）中，如果市场足够深且价差足够有限，那么z（趋势）- z（0）可以通过为k选择一个足够高的值而变为正值。

不管符号是什么，数量z（倾向）- z（0）仍然是一个几何相位，代表z（倾向）时的比例- z（0）>0或z（趋势）时的损失- z（0）<0.010 20 30 40 50 60 70 80 90 100次-101U010 20 30 40 50 60 70 80 90 100次。51y0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100time100105110s0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100time-100-500z（a）0 1000 2000 3000 5000 8000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000（或导致损失）。面板（a）：在（12）中，quotespread的存在会降低z的值（倾向）- z（0）。在z图中，如果绿色曲线对应于Q=c=0，则洋红色和棕色曲线对应于这些参数的不同选择。根据r、q和c的值，几何相位可以对应于一个比例（绿色和品红曲线）或一个损失（棕色）。几何阶段（以及相应的利润损失）在重复的交易周期中累积（面板（b））。对于短期交易周期，股票漂移的存在（面板（b））不会改变结果。在（7）-（9）中存在股价漂移项{w（ti）}的情况下，现金余额可以根据（10）asz（tend）=z（0）+rk+sXi=bw（ti）进行修改- QK- 2c。如前所述，当持有间隔[tb，ts]较短时，漂移项psi=bw（ti）k对现金余额最终值的影响也很小。图7显示了z（趋势）的值，当我们改变大量变现{w（ti）}的交易周期数和持有间隔的平均持续时间时。当在（12）这样的公式中，几何相位为正（z（Trend）>z（0）），则即使存在漂移，现金流也保持为正，至少只要[tb，ts]与σ相比足够短。

股票报价中的短期偏差足以表明我们在这里描述的非交换性效应。在图7中，请注意，与报价漂移相比，z（趋势）与[0，趋势]中执行的交易周期数有多大的相关性（从r为常数得出）。更复杂的价格影响公式的影响。本文讨论的所有模型都使用了一个线性常数公式来描述交易操作对股票报价的价格影响。然而，可以使用交易者指令的任何非线性函数来代替（2），例如（ti+1）=s（ti）+r（u（ti））（13），其中r（u）是u的任何时不变函数，使得（r（u）>0如果u>0r（u）<0如果u<0。（14） 如果r（·）是一个奇数函数，即r(-u） =-r（u），那么股票报价对cyclictrades的中立性被保留，也就是说，在没有漂移s（倾向）=s（0）的情况下，我们的论点仍然有效。100101102103104循环的平均持续时间-300-200-1000100200300400500z（a）0 10 20 30 50 60 70 90 100n。交易周期-300-200-1000100200300400500Z101102103104（b）（c）-200-100-100-200-300-400s-300-200-1000100200400500Z101102103104（d）图7：存在股票报价价差和报价漂移的一系列循环交易操作的终点。每个点是1000次模拟的结果，假设z（倾向）-z（0）≥当没有库存漂移时为0（公式（12））。循环操作的数量被视为一个随机变量（表示为“交易周期的n”），持有间隔的持续时间[tb，ts]（表示为“周期的平均持续时间”）也是如此。

对于短周期（关于股票漂移项的标准偏差σ），交易者总是获得一个收益（面板（a））。利润与交易者完成的交易周期数量成正比（面板（b））。当贸易周期的平均持续时间变大时（图（b）和图（c）中的红点），相关性趋于消失。对于短期周期，收益独立于股票趋势（图（d）中的蓝点）。此外，当贸易周期变长且利润可能损失时，z和s之间没有显著相关性（面板（d））。例如，将（13）-（14）与价差模型（11）和恒定交易费用cIELDSz（tend）=z（0）+（r（k）相结合- q） k- 2其中变为z（倾向）=z（0）+sXi=bw（ti）+r（k）- QK- 2当考虑漂移项{w（ti）}时。通过执行订单来获得阶段。当同时考虑多个交易者时，确保一个交易者有正现金余额的“简单”方法是让他提前处理其他人的订单，这一策略有时被归咎于某些积极的高频交易者[22]。考虑两个交易者，一个“经典”（用c索引）和一个高频（用h索引）。假设经典交易者输入的每个订单都是由高频交易者缓慢执行的。实际上，这可以通过在不同的实体证券交易所之间进行协同定位和订单重组来实现[22]。如果Cb和Tcs是经典交易者买卖订单的执行时间，那么letthb=tcb- τ和th=tcb+τ，τ，τ>0，是高频交易者的那些。如图8所示，由经典交易者发起的购买订单在thbanda触发第一次价格上涨，在tcb触发第二次价格上涨。如果高频交易者在tcb之后立即转售股票，那么他也可以从第二次涨价中获益，从而获得利润。

用类似于（1）-（3）的方程来描述系统：yα（ti+1）=yα（ti）+uα（ti），α={c，h}（15）s（ti+1）=s（ti）+Xα={c，h}ruα（ti）（16）zα（ti+1）=zα（ti）- s（ti）uα（ti），α={c，h}。（17） 在两个交易者的周期结束时（倾向于≥ 我们有yα（倾向）=yα（0），α={c，h}s（倾向）=s（0）zc（倾向）=zc（0）+rkc（kc）- kh）（18）zh（tend）=zh（0）+rkh（kc+kh）（19），其中kc和khar是周期内经典和高频交易的股票交易量。从（18）-（19）中可以看出，对于经典交易者来说，当高频交易者提前下单时，几何阶段在现金余额方面的“收益”会受到侵蚀。特别是，如果两个参与者的交易量相等，kh=kc，那么zc（tend）=zc（0）zh（tend）=zh（0）+2rkhi。e、 ，在循环操作中，经典交易者的价格上涨完全消失，这对高频交易者有利。如果kh>kc，那么周期总是导致经典交易者的损失：zc（倾向）<zc（0）。类似的考虑也适用于本文讨论的更复杂的模型，包括报价漂移和报价价差。3讨论附录中给出了模型（1）-（3）的连续时间等效物。因此，非周期输入轨迹会在形状空间中产生一条零区域循环路径，但这不会导致相位变量的整齐运动，见图9。只有当形状空间中的循环路径面积变为非零时，才会出现几何相位，但为了实现这一点，我们必须修改连续时间模型（例如，在股票报价的更新法则中添加时间延迟，参见图S610）。

这证实了本文中描述的几何相位本质上是一种离散时间现象，没有连续时间对应物。在快速时间尺度上重复多个周期是高频交易的一个标志，如今在某些股票市场，如美国股市，高频交易约占总交易量的50%[18,19,21]。除了每个交易周期必须累积的“便士”利润外，文献中对此类高频交易操作的利润来源[20、21、17、24、25]没有一致意见。几何相位的存在表明，原则上，z（倾向）时的微小利润（或损失）- z（0）<0）可以是0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100time-10010uucuh0 10 20 40 50 60 70 80 90 100time0510yycyh0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Time100200300S010 20 30 40 50 60 70 80 90 100time-200002 000ZZCZHZCO（a）0 1000 2000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00010000time-1000-5000500ZHZCO（b）图8：前台运行订单。一个高频交易者能够预测一个较慢的经典交易者的操作，除了他自己的交易引起的价格影响之外，还可以受益于后者产生的价格影响。几何阶段（以及任何可能的利润）倾向于从经典交易者转换为高频交易者。

对于经典交易者来说，在没有领先者的情况下，相对于同一条曲线（品红曲线），领先者在场时的利润减少（两个面板下方的蓝色曲线）。通过纯粹的投机，没有持有任何库存头寸，除非是在不知不觉中。如果有关于未来市场操作的信息（例如，当速度被用来提前处理即将到来的订单时），那么这可以通过将交易员的操作所引起的几何阶段合并到领先者的操作中来增加获利的机会。从我们的模型中得出的另一个概念性考虑是，只要考虑循环操作，原则上，股票交易可以以不影响股票市场主要可观察指标（即股票报价）的方式产生盈亏。做出这样的收益（或损失）并不需要任何市场基本面知识，因为几何阶段只是利用交易行为本身引发的价格动量，有点像一种自我完善的期权。尽管有“有效市场”理论，这一点仍然存在。附录连续时间几何相位的经典解释。（1）-（3）的连续时间等价物是下列常微分方程组：˙y（t）=u（t）（20）˙s（t）=ru（t）（21）˙z（t）=-s（t）u（t）。（22）对于模型（20）-（22），图1（a）所示结果的几何解释是∈ M 将投影排列到形状空间S Rπ：M→ Sx 7→Y然后，给定x（0），对于每条轨迹γ：[0，t]→ s 唯一的x（t）∈ 对于（20）-（22）的解，x（t）=π-1（π（x（t）），即对应于γ（t）的几何相位变量z（t）是唯一的。

特别是，如果Γ：[0，T]→ S是一条封闭的形状曲线，包围一个区域Ohm,然后，根据斯托克斯定理，z（T）=z（0）+IΓs-dyor的几何相位（或“全息性”[3,8]）Ohmd（s-dy）=z（0）+zOhmds dy=z（0）+ω（23），其中ω是Ohm. 因此，当循环轨迹Γin形状空间所包围的面积为零（即ω=0）时，相位变量z在循环结束时不得显示净位移。实际上，在系统（20）-（22）中，u（t）中的循环轨迹在形状空间S中诱导零面积循环，并且不会在z变量上产生任何运动，见图9。换句话说，本文描述的几何相位是一种纯粹的离散时间现象，没有连续时间对应物。为了在连续时间内获得类似的效果，有必要在形状空间（y，s）中产生非零区域的循环轨迹。例如，这可以通过在s的动态中引入延迟来实现，代表股票报价对买入/卖出订单的响应的延迟时间。如果我们专注于高频交易者喜欢的非常快的时间尺度，这种延迟似乎是合理的。如果我们用˙s（t）=ru（t）替换（21）- τ） （24）如果τ>0是一个时间延迟，则周期性u形轨迹在平面S中产生一个非零区域，并且每次循环轨迹完成时，z变量中的净运动累积，见图10。在离散时间的情况下，可以在模型中包含买卖价格之间的价差。在连续时间模型中考虑报价价差意味着将（22）替换为˙z（t）=(-a（t）u（t）如果u（t）>0-b（t）u（t）如果u（t）>0（25），由于利差会降低利润率，在无延迟连续时间模型（即等式（20）、（21）和（25））中，仅从循环操作中获得正现金流是不可能的（与离散时间情况不同），见图。

11.这证实了离散时间模型和连续时间模型给出的定性差异预测。请注意，在图11中，尽管形状空间中的循环区域为零，但（负）几何相位是如何产生的。然而，由于常微分方程（25）的不连续性，这是一种病态行为，当u（t）超过0时，（25）的解的唯一性损失是代价。在连续时间模型中加入延迟（即，考虑等式（20）、（24）和（25））时，根据参数r、τ和q的数值，再次可能出现正现金流，见图12.0 5 10 15 20 25 35 time-0.500.5u0 5 10 20 25 35 time-101y0 5 10 15 20 25 30 35 Time0100200 0 0 0 0 0 0 0 5 15 20 25 35 time-100-50050z（a）150-100-500Z50300 2001.5s10。5y1000-0.5-10-1.5（b）图9：连续时间股票交易模型：形状空间中零区域的周期（橙色曲线）面板（b））不产生几何相位。起点（图（b）中的绿点）和终点（图（b）中的红点）重叠。0 5 10 15 20 25 30 35时间-0.500.5u0 5 10 15 20 25 35时间-1-0.500.5y0 5 10 15 20 30 35时间0501000150S0 5 10 15 20 25 30 35时间-1000100200z（a）-150-100-50020050100Z150200S250100Y0。500-0.5-1-1.5（b）图10：连续时间股票交易模型：在其中一个ODE中添加一个时间延迟（此处为股票报价），足以在形状空间中产生一个非零区域，从而形成年龄计量阶段。参考文献[1]R.W.布罗克特。影响变化的周期。在国家研究委员会，编辑，运动，控制和几何学，Proc。一场研讨会的开幕式。国家科学院出版社，http://www.nap.edu/catalog/5772.html, 1997.[2] 贝里先生。几何阶段的预期。《今日物理学》，43（12）：34–401990。[3] J.E.马斯登和T.S.拉图。《力学和对称概论》，应用数学教材第17卷。Springer Verlag，第二版，1999年。[4] F.威尔切克和A。