股票交易的几何阶段

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英文标题：
《The geometric phase of stock trading》
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作者：
Claudio Altafini
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Geometric phases describe how in a continuous-time dynamical system the displacement of a variable (called phase variable) can be related to other variables (shape variables) undergoing a cyclic motion, according to an area rule. The aim of this paper is to show that geometric phases can exist also for discrete-time systems, and even when the cycles in shape space have zero area. A context in which this principle can be applied is stock trading. A zero-area cycle in shape space represents the type of trading operations normally carried out by high-frequency traders (entering and exiting a position on a fast time-scale), while the phase variable represents the cash balance of a trader. Under the assumption that trading impacts stock prices, even zero-area cyclic trading operations can induce geometric phases, i.e., profits or losses, without affecting the stock quote.
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中文摘要：
几何相位描述了在连续时间动力系统中，根据面积规则，变量（称为相位变量）的位移如何与经历循环运动的其他变量（形状变量）相关。本文的目的是证明离散时间系统也可以存在几何相位，甚至当形状空间中的周期面积为零时。这一原则适用于股票交易。形状空间中的零面积周期表示高频交易者通常执行的交易操作类型（以快速时间尺度进入和退出头寸），而相位变量表示交易者的现金余额。在交易影响股票价格的假设下，即使是零区域循环交易操作也可以在不影响股票报价的情况下诱导几何阶段，即利润或损失。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> The_geometric_phase_of_stock_trading.pdf (5.19 MB)

2022-5-11 01:21:52 上传

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关键词：股票交易 Quantitative Displacement Applications Computation

股票交易的几何阶段。瑞典林克平大学电气工程系自动控制高级研究所，SE-58183，林克平。电子邮件：克劳迪奥。altafini@liu.seMarch18，2016抽象几何相位描述了在连续时间动力系统中，根据面积规则，变量（称为相位变量）的位移如何与经历循环运动的其他变量（形状变量）相关。本文的目的是证明几何相位对于离散时间系统也是可以存在的，即使在形状空间中的周期面积为零。这一原则适用于股票交易。形状空间中的Azero区域周期代表高频交易者通常进行的交易操作类型（以快速时间尺度进入和退出头寸），而相位变量代表交易者的现金余额。在交易影响股价的假设下，即使是零区域循环交易操作也可能导致几何阶段，即盈利或亏损，而不影响股票报价。1简介几何阶段是“影响变化的周期”[1]。它们出现在一些变量（称为形状变量）的周期性变化导致其他变量（称为相位变量）发生非零净运动的系统中。它们是研究得很好的现象，例如经典和量子力学[2,3,4]、分子系统[5]、机器人学[6,7]和控制理论[8]。他们解释了一只坠落的猫如何能够始终站立着着陆[9]，细菌如何能够在高粘性液体中推进自身[10]，以及我们如何平行停放汽车[11]，见[12]的概述。它们最初由Berry[13]在量子物理学中介绍，通常与连续时间微分方程的不可积系统结合使用。

当在形状空间中生成一个周期性轨迹时，常微分方程的不可积性会导致一个在相空间中非周期性的运动，见图1（a）。这种相位位移的振幅与形状空间中循环路径的面积成比例。特别是，零面积循环的产量不是几何相位。然而，在一种情况下，即使是一个零面积循环，也可以诱导一个非平凡的几何相位，这是当我们考虑离散时间的微分方程时。自incontrol智能驭享理论几十年以来，不可积分离散时间动力系统的一些特性已经为人所知[14,15]。然而，据我们所知，离散时间几何相位的性质从未被研究过，更不用说零面积形状周期引起的相位运动的存在了。本文的目的是证明确实存在这样的几何相位，并给出一个应用，其中它们允许一个有用的解释。我们要讨论的应用是股票交易。在我们所考虑的理想化证券交易所中，我们可以把交易者持有的某一股票的数量和该股票的报价视为形状变量。对于我们的模型来说，构成感兴趣时间点的谨慎事件是与我们正在处理的股票有关的交易事件。对它们使用离散时间动力学是很自然的，尤其是考虑到快速时间尺度时。阶段变量是我们交易员的现金余额，它是买入/卖出多少股票的函数，也是买入/卖出股票的报价的函数。这两个量的乘积给出了建立不可积分微分方程组所需的非线性。

假设我们的交易员是我们股票市场上唯一的参与者，他的市场指令是根据限价指令簿执行的[16,17]。进一步假设交易影响价格，即购买订单推动价格上涨，而销售订单推动价格下跌。当我们的股票没有其他变化时，形状空间中的零面积循环轨迹是一个买入指令序列，然后是一个同等大小的卖出指令序列，见图1（b）。在周期结束时，股票报价（一个形状变量）不变，因为这两个价格影响相互补偿。然而，交易者的现金余额（阶段变量）在周期结束时不是零。事实上，购买股票时的报价并不包含由于购买行为本身而产生的价格变化。然而，这种价格影响被纳入了卖出时的报价中，这使得股票卖出时的报价高于股票买入时的报价，作为交易行为本身的一种影响。这是股票交易的几何阶段。在接下来的内容中，首先呈现了一个理想化的场景，以表明零面积形状轨迹的非平凡代数相位确实存在。然后，通过在模型中加入股票报价的买卖价差、佣金和股票报价漂移（代表同一股票的所有其他交易员的操作），在不改变刚才描述的几何阶段现象的性质的情况下，使场景变得更加现实。高频交易的典型模式是仓位的进入和清算，可能非常快（即快速计算机化交易，持有期短，无库存[18、19、20、21]）。

论文中显示，前跑（有时被归因于高频交易[22]）等做法包括将快速周期与较慢的“经典”交易者的操作交织在一起，本质上是一种在形状空间的周期中增加价格影响（以及几何阶段）的方法。2模型考虑了一个理想化的“证券交易所”场景，由一名交易员通过市场指令在一只股票上交易，并根据限价指令簿执行（[16]，下文给出了更多细节）。表示y（t）交易员在时间t和股票报价s（t）时拥有的股票数量。当交易者买卖股票时，他的现金余额z（t）会相应地变化。我们假设交易会影响价格：卖出股票会导致价格下跌，而买入股票则会导致价格上涨。在离散时间内，所考虑情景的基本模型如下：y（ti+1）=y（ti）+u（ti）（1）s（ti+1）=s（ti）+ru（ti）（2）z（ti+1）=z（ti）- s（ti）u（ti）。（3） 这里u（ti）=y（ti+1）-y（ti）是交易员在交易时买入（u（ti）>0）或卖出（u（ti）<0）的股票数量。在执行时，购买订单（u（ti）>0）会提高股票报价，即s（ti+1）>s（ti），而现金余额则会降低z（ti+1）<z（ti）。由（1）-（3）表示的事件都具有相同的时间戳ti，这意味着对于所有3个方程，变量都是形状空间相空间（a）形状空间相空间买卖（b）图1：连续和离散时间的几何相位。面板（a）：连续时间动力系统的经典图像伪计量相位：形状空间中的循环路径（橙色曲线）在相位变量（蓝色曲线）上诱导净运动，与形状空间中的循环面积成比例，有关显式模型，请参见附录。图（b）：混凝土时间动力系统的几何相位。

循环轨迹，即使是形状空间中的零区域（橙色），也会在相位变量（蓝色）中引发净非零运动。在股票交易应用程序中，形状变量是交易者拥有的股票数量和股票报价。阶段变量是交易者的现金余额。在下一时刻更新，ti+1。时间间隔的长度ti=ti+1- ticanbe非常小，前提是ti>0。该系数量化了价格影响，即订单对特定股票的影响程度。其价值（此处假设为常数）可能取决于股票总量、流动性、波动性等[23]，更一般的公式见下文。以向量形式调用x（t）=y（t）s（t）z（t）方程（1）-（3）可以写成x（ti+1）=x（ti）+R-s（ti）u（ti）。（4） 在（4）中，u（t）可以被视为系统的输入。假设交易者执行循环操作，包括在时间Tb购买一定数量的股票，然后在稍后的时间ts转售。这个“先买后卖”循环的事件展开时间如图2，面板（a）和（b）所示。表示t=0表示开始时间，并表示大于t的任何时间。买入然后卖出周期对应于输入模式（参见图。

2（a），顶部子地块）u（t）=0吨∈ [0，tb-1] k t=tb0 t∈ [tb+1，ts-1]-k t=ts0 t∈ [ts+1，倾向]。（5） 如果在时间间隔内没有其他交易操作发生，则状态向量的演化0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100time-101u0 10 20 30 40 50 70 90 100time00。51y0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100时间100105S0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100时间-100-500z（a）-100-801-60-40z-200.80200.6y00。42040s600。28010000120（b）0 1000 2000 3000 5000 9000 10000time-202u0 1000 2000 3000 4000 5000 9000 10000time-4-202y0 1000 2000 3000 5000 9000 10000time-80100S0 1000 2000 3000 9000 10000time-2000200400z（c）-300-200150-1000Z2003004004500S2 y050-2-40-6（d）图2：循环交易操作的影响。面板（a）：单次买卖周期变量的时间比例。面板（b）：相应的形状和相空间。当tb=20时，交易者购买一个单位的股票。由于操作的价格影响，股票报价s随之增加，而现金余额z变为负值。当ts=80时，股票被卖出，股票报价回到t=0时的水平。然而，现金余额为正值，因为股票的售价高于买入价。变量（y，s）的形状方向是循环的，且面积为零（面板（b）中的橙色曲线）。由于循环，相位变量z经历净位移，即产生几何相位（面板（b）中的蓝色曲线）；起点是绿点，终点是红点）。面板（c）和（d）：当股票报价由于其他交易者的操作而允许漂移时，交易者的周期性操作不再导致形状空间（y，s）中的循环轨迹。

然而，z变量中的几何阶段仍然存在，并且在交易者完成一个操作周期时不断累积。在图（c）中，SSS图以黑色显示没有交易周期的股票报价，以红色显示由于这些交易周期而产生的偏差，仅在股票持有（或做空，先卖出后买入）的时间间隔内可见。isx（t）=x（0）t∈ [0，tb]x（0）+krk-s（0）kT∈ [tb+1，ts]x（0）+rkT∈ [ts+1，倾向]。（6） 换句话说，周期结束时的存量净额等于开始时的存量净额：y（倾向）=y（0）。如果在时间间隔内没有其他操作发生，则s（倾向）=s（0）。然而，如果r>0，现金余额为正，即z（趋势）=z（0）+rk>z（0）。这种积极的现金余额完全是由于我们的交易员所做交易的价格影响。它与股票交易量的平方成正比。在先卖后买的周期中也会出现类似的结果，这也会导致z（倾向）>z（0），见图3。在这两种情况下，0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100时间-101u0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100时间-1-0.50y0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100时间9698100S0 10 20 40 50 60 70 80 90 100时间05010203040050Z6070-0.280090y100-0.42040s-0.66080-0.8100-1120（b）图3：一个先卖后买的周期。面板（a）：变量的时间比例。面板（b）：形状和相空间特性。

同样在这种情况下，交易者从循环操作中获得利润（面板（b）中的reddot位于绿点上方），因为股票的买入价格低于卖出价格。y（t）和s（t）完成了一个循环轨迹，返回到它们的起点，z（t）没有。理解为什么循环操作会产生非零现金流的关键在于微分方程（3）的非线性，即s（t）u（t）是双线性项，即在状态和输入下都是线性的，但同时也是线性的。这种非线性引入了一种不可积分向量场的典型行为[8,7]。几何相位的经典描述涉及非线性连续时间向量场，其中2个或多个变量（对应于y（t）和s（t））在ashape空间上演化，其余变量（此处z（t））在形状空间上方的相空间上演化，见图1（a）。形状空间中的循环轨迹在相位变量上产生净运动，该净运动与循环形状轨迹的面积成正比，当该面积为零时为零，见图S5。然而，在离散时间里，情况是不同的。如图2所示和（6）中明确计算的，即使形状空间中的零面积循环轨迹也会在相位变量上产生非零运动。在我们的具体例子中，非循环轨迹（进入然后退出头寸）导致的正现金流的起源是因为股票以较低的价格s（tb）买入，以较高的价格s（ts）卖出，见图2。股价上涨是因为我们假设股票交易会影响股票报价。如果周期包括先卖后买，则该论点类似：在这种情况下，卖出时的报价高于买入时的报价，见图3。市场漂移的影响。

现在让我们考虑一种情况，在这种情况下，股票价格由我们的交易者的操作驱动，但也由一个随机变量{w（ti）}∈ N（0，σ）代表我们正在考虑的股票的所有其他交易者的交易操作。系统（1）-（3）修改了asy（ti+1）=u（ti）（7）s（ti+1）=s（ti）+w（ti）+ru（ti）（8）z（ti+1）=z（ti）- s（ti）u（ti）（9），其中我们仍然假设我们的交易者的操作是循环的，并且遵循（5），但是等式（8）有一个额外的漂移项。在一个先买后卖的周期结束时，我们没有（6），而是：x（倾向）=y（0）s（0）+Pendi=0w（ti）z（0）+Psi=bw（ti）k+rk（10） 也就是说，持有区间内的股票趋势[tb，ts]也会影响我们交易员的现金流，但仅是周期内持有股票数量的一阶项，而不是非交换效应的二阶项。迭代我们的交易者的许多循环操作，在从泊松过程中提取的时间点{tb}开始，也提取{ts- tb}根据较短平均到达时间的aPoisson分布，则随机差异方程（7）-（9）是这样的，在倾向时，y（倾向）=y（0），而现在股票报价具有非平凡趋势（倾向）6=s（0）。从（10）中，股票趋势对现金余额的影响可以通过缩短时间间隔[tb，ts]的长度来实现，因此，无论提取项{w（ti）}的值如何，都可以获得z（tend）>z（0）=0。因此，如果周期以足够高的频率完成，周期本身引起的价格影响仍然可以主导市场施加的趋势。图2（c）和（d）显示了描述这种情况的样本轨迹。在图（c）中，在s的图中，仅由{w（ti）}驱动的股票报价以黑色显示。图中出现的红色偏差对应于我们的交易员进行的操作的价格影响。