最优控制问题的高维一阶BSPDEs

本文将这种方法推广到多维状态空间，并给出了不同的证明，证明了这些方程解的存在性，以及基本控制问题的值函数满足这些方程的事实。似乎这种类型的第一个ord er BSPDE可以应用于许多其他问题。例如，考虑以下等式v（t，y，z）=Eξ（y，z）+LZTt（X（s）v′z（s，y，z）+v′y（s，y，z））+ds英尺, T∈ [0，T]。（6.1）根据我们的初步分析，这个新方程可以用于各种数学金融问题。首先，可以根据成交量加权平均价格（VWAP）对亚洲期权进行定价，非恒定和随机权重W（t）由持有人的消费率C（t）确定。相应的定价公式要求计算ERTW（t）X（t）dt- K+,其中w（t）=C（t）ZTC（s）ds-1，对于给定的随机过程C（t）≥ 0和X（t），这里X（t）是基础价格过程。对于（C，X）的典型分布类来说，这个定价问题相当麻烦。此外，很难证明关于C演化的特定假设是正确的。为了克服这一点，Dokuchaev（2013）建议将价格计算为supC（·E）RTW（t）X（t）dt- K+. 这就引出了最优控制问题ZTtW（s）X（s）ds- K+在C（·）上，其中W（t）=C（t）ZTtC（s）ds-1,C(s)∈ [0，L]。我们的猜想是，价格过程满足方程（6.1），边界条件为v（t，1，z）=0，v（t，y，z）=ξ（y，z）=（z/y）-K） +。相应的状态过程是y（t）=y+RtsC（q）dq和z（t）=z+RtsX（q）c（q）dq。此外，方程（6.1）的应用示例可以在投资组合选择问题中找到。考虑一个可以被称为股票投资组合的最优逐步清算问题。

让我们考虑一个单一风险股票价格为X（t）的市场，以及利率为零的阿里斯克自由债券或货币账户。设γ（t）为投资组合中的野兔数量。我们寻找一个过程γ（t），使得γ（0）=1，γ（t）=0，dγdt（t）∈ [-五十、 0]。最后一个条件意味着清算是渐进的，投资组合的变动率有限。例如，出于税收考虑，这可能是合理的。此外，我们希望从交易中获得一些额外的好处。这可以用以下最优控制问题来表示：ZTγ（t）dX（t）在γ（·）上，其中U是给定的单调非减损效用函数。我们的猜想是，这个问题的最佳值由方程（6.1）确定，边界条件为sv（t，1，z）=0，v（t，y，z）=ξ（y，z）=U（z）- X（0））。非线性方程（3.1）和（6.1）由优化问题引起，代表了Hamilton-Jacobi-Bellman方程的版本。还可以给出非平凡线性一阶BSDPESC的例子。特别是，对于具有恒定权重的经典亚式期权，方程（6.1）必须替换为一维空间域中的线性版本。例如，我们推测价格为RX（t）dt- K+对于给定的随机过程X（t），一个非常普遍的过程是v（0，0），其中v满足以下线性一阶方程v（t，z）=E（z）- K） ++ZtX（s）v′z（s，z）ds英尺, T∈ [0, 1].（6.2）这是将这一理论推广到相当普遍的模型上的一种方法。例如，一个可能的扩展适用于RTTU（s）ds上的约束被具有输入的更一般方程的解的约束所取代的情况。我们将其留给未来的研究。确认这项工作得到了澳大利亚ARC授予作者的DP120100928的支持。参考文献[1]E.Al\'os，J.A.Le\'on，D.Nualart。(1999).

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