最优控制问题的高维一阶BSPDEs

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英文标题：
《First Order BSPDEs in higher dimension for optimal control problems》
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作者：
Nikolai Dokuchaev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The paper studies the First Order BSPDEs (Backward Stochastic Partial Differential Equations) suggested earlier for a case of multidimensional state domain with a boundary. These equations represent analogs of Hamilton-Jacobi-Bellman equations and allow to construct the value function for stochastic optimal control problems with unspecified dynamics where the underlying processes do not necessarily satisfy stochastic differential equations of a known kind with a given structure. The problems considered arise in financial modelling.
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中文摘要：
本文研究了一阶倒向随机偏微分方程（BSPDEs）在有边界的多维状态域中的应用。这些方程代表了Hamilton-Jacobi-Bellman方程的类似物，并允许构造具有未知动力学的随机最优控制问题的值函数，其中基本过程不一定满足具有给定结构的已知类型的随机微分方程。考虑的问题出现在金融建模中。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> First_Order_BSPDEs_in_higher_dimension_for_optimal_control_problems.pdf (235.98 KB)

2022-5-11 02:16:27 上传

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关键词：控制问题 最优控制 SPD PDE Differential

最优控制问题Snikolai-Dokuchaev的高维一阶BSPDEs*提交日期：2016年3月22日；修订版：2018年10月25日摘要pa per研究了之前针对具有边界的多维状态域的情况提出的一阶BSPDEs（反向随机部分微分方程）。这些方程代表了Hamilton-Jacobi-Bellman方程的类似物，并允许构造具有非特定动态的随机最优控制问题的值函数，其中基本过程不一定满足已知类型的随机微分方程，且具有给定的结构。财务建模中出现了一些问题。关键词：随机最优控制，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，后向系统，一阶BSPDEs。数学学科分类（2010）：91G80 93E20，91G101简介在Bender和Dokuch aev（2016a，b）中，针对一维状态变量的情况，提出并研究了一些特殊的一阶倒向随机偏微分方程（BSPDE）。这些方程被用于在基础支付过程中假设非常温和的摇摆期权定价问题的最优值函数。本文将这些结果推广到多维情形。*Curtin大学电气工程、计算和数学科学学院，邮政信箱U1987，珀斯，西澳大利亚6845，电子邮件N。Dokuchaev@curtin.edu.auThis是发表在《暹罗控制与优化杂志》（2018）55（2），818-834上的一篇文章的扩展版作者。

在这个版本中，第6节已经扩展。随机偏微分方程（SPDE）在文献中得到了很好的研究，包括向前和向后方程的情况；例如，见沃尔什（1986年）、阿尔奥斯等人（1999年）、乔诺夫斯卡·米哈利克（1987年）、罗佐夫斯克·y（1990年）、周（1992年）、帕杜（1993年）、巴利等人（1994年）、乔诺夫斯卡·米哈利克和戈尔迪斯（1995年）、马斯洛夫斯基（1995年）、达·普拉托和图巴罗（1996年）、吉隆吉（1998年）、克雷洛夫（1999年）、马丁利（1999年）、杜安等人（2003年）、卡拉巴洛等人（2004年）、多库恰耶夫（2005年）、穆罕默德等人（2008年）、冯和赵（2012年），以及其中的参考书目。反向随机偏微分方程（BSPDE）代表了所谓的Bibi-Peng方程的版本，其中微分项不是先验的，而是需要找到的；参见胡和彭（1991年）、彭（1992年）、周（1992年）、多库恰耶夫（19921995200820011201120122015a，b）、杜和唐（2012年）、杜阿特（2013年）、胡等人（2002年）、马和勇（1999年），以及其中的b传记。文献中通常对矫顽力施加一些附加条件；参见罗佐夫斯基（1990）中的条件（0.4），C h.4。没有这些条件，抛物线型SPDEI被认为是d退化的。这些二阶退化方程（具有松弛守恒条件）也得到了广泛的研究；参见杜等人（2013）、杜和张（2013）、杜库恰耶夫（2015a）中的参考书目。对于整个空间中的退化后向SPDE，即无边界，在马和勇（1999）、胡等人（2002）、杜和唐（2012）、杜在等人（2013）中获得了正则性结果。Gikhman和Mestechkina（1983年）和Kunita（1990年）采用特征线法，以及Hamza和Klebaner（2006年）中考虑了一些无边界的特殊一阶正向SPD。

这些工作中开发的方法不能应用于有边界的区域，因为正则性问题阻止使用非退化算子近似微分算子。结果表明，畴中的简并SPDE理论比整个空间中的理论要困难得多，而且据我们所知，现有文献中尚未对其进行阐述，但Bender和Dok-uchaev（2016a，b）以及Dokuchaev（2015a）的研究除外。本文还考虑了这类问题。通常使用BSPDE作为反向Kolmogorov-Fokkerpanck方程或相关Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机模拟，这些方程已知用于受控马尔科夫扩散型过程。在非马尔可夫控制问题中，后向Hamilton-JacobiBellman方程必须用相应的后向SPDE代替；这是Peng（1992）在一个二阶方程的反向SPDE的环境中首次观察到的，即高阶系数的矩阵是正的。在Bender和Dokuchaev（2016a，b）中，引入了新的特殊第一批BSPDEs。他们给出了与连续时间内摆动期权定价相关的一些非马尔可夫随机最优控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的类似物。这些方程并不是完全不同的，因为它们的解在时间上可能是不连续的，并且它们允许对具有非特定动力学的随机过程施加非常温和的条件。更确切地说，该方法不必假定潜在过程的特定演化规律；基本过程不一定满足给定结构的已知类型的随机微分方程。

对于随机控制和HJBequations理论来说，这是一个不同寻常的背景。正如下面第4节所讨论的，e必须知道给定ftk和采样序列{tk}x（tk+1）的条件分布 [0，T]用于分析结果的数值实现。设一个正整数n。对于x=（x，…，xn）∈ Rnand y=（y，…，yn）∈ Rn，我们写x y当且仅当xi≤ 好吧，我来吧 Rn可以是一个闭凸二次曲线集，如果x∈ Rn，x bx和bx∈ Γ然后x∈ 对于任何x=（x，…，xn）∈ Γ和任何j∈ {1，…，n}，存在M>0这样的x=（x，…，xj+M，…，xn）/∈ Γ. 让bg∈ Rn是一个给定的正分量向量，设Γ=y∈ Rn:y=x+bg，x∈ Γ}.例2.1具体而言，以下Γ的选择是可接受的。（i） Γ={x=（x，…，xn）∈ 注册护士：xi≤ αi，i=1。。。，n} ，其中αi>0。（ii）Γ={x∈ Rn:xA.≤ 1} ，a∈ RNA是一个具有正分量的给定向量。（iii）Γ={x=（x，…，xn）∈ Rn:xaj≤ 1，j=1。。。，m} ，其中m>0，其中aj∈ r给定了非零向量和非负分量，这样，对于任何∈ {1，…，n}，存在j，使得aj的第i分量为正。让K 它可以是一个给定的凸集。为了你∈ 假设U（t，y）是过程的集合U（s）=（U（t）。。。，n（t））：[t，t]×Ohm → K与FTA相适应，因此y+RTtu∈ Γa.s.设函数f（x，u，t）：Rn×K×[0，t]→ R将被给予。我们考虑两种情况：（i）f（x，u，t）=u对于某些给定的L>0，x和K=[0，L]。（ii）f（x，u，t）=u十、- UGu，m=n，当G是对称正定义矩阵时，k=Rn。这些条件似乎非常特殊，但它们涵盖了数学金融中的许多重要优化问题。

G=0和n=1的特殊情况涵盖了Bender和Dokuchaev（2016a，b）中考虑的摆动选项的定价问题。2.1给定y的最优控制问题∈ Γ和t<t，我们考虑最大化EF（u，t）的问题∈ U（y，t）。（2.1）此处f（u，t）=ZTtf（X（s），u（s），s）ds。（2.2）设y为Ft可测随机变量，其值在[0,1]中，且letJ（t，y）=ess supu∈U（t，y）EtF（U，t）。（2.3）换句话说，这是问题（2.1）的值函数。这里Et=E{·| Ft}；我们使用这个符号是为了简洁。在Financin Bender和Dokuch aev（2016a，b）中的应用中，上述引入的优化问题（2.1）（n=1，K=[0，L]和G=0）给出了具有潜在支付过程X（t）的摆动期权定价问题的解决方案。在此设置中，u（t）是期权持有人选择的行使率。摆动期权持有人希望通过选择行使权的时间分布u（T）最大化预期累积收益。此外，这个问题可以用来近似多维美式期权的价格，选择L→ +∞. 类似地，n>1的问题（2.1）可以解释为消耗n种不同类型能量的摆动选项的定价问题。选择G6=0可以用来模拟对运动速度没有严格限制的环境，而不是对过度运动速度进行惩罚。同样，这些问题可以用来近似多维期权定价问题的经典解。

因此，我们可以考虑→ 0和K=Rn或G6=0，K=[0，L]n和L→ +∞.另一种可能的设置是，摇摆期权持有人必须最大化预期的累积收益，但有一个更好的行使率向量eu（t）；它可以是动态变化的技术或市场条件定义的可观察的随机过程。设X（t）为基础收益的当前向量。摆幅期权持有者设为最大化zt[X（t）u（t）- （u（t）- 欧盟（t））G（u（t）- eu（t））]dt。术语（u（t）- 欧盟（t））G（u（t）- eu（t）代表了与优惠利率eu（t）不匹配的一些惩罚。这相当于zt[X（T）的最大化u（t）+2eu（t）顾（t）- u（t）Gu（t）]dt=ZT[eX（t）u（t）- u（t）Gu（t）]dt，其中ex（t）=X（t）+2Geu（t）。这是上述问题的一个特例。Dokuchaev（2015c）开发了一些与最佳能源交易相关的设置。最优u的存在性和JLemma 2.1对每对（t，Y）的性质，其中t是一个停止时间，Y是一个Ft可测的随机向量，其值在Γ中，存在一个最优控制u∈ U（t，Y）。设ut，y（s）为（2.3）的最优控制（或最优控制之一）。t的引理2.2（i）∈ [0，T]和“y”∈ Γ，苏比∈Γ：\'yy、 t∈[0，T]ess supω| J（T，y）|≤ 康斯特。（ii）对于任何t∈ [0，T]和y，由∈ Γ以至于 我们有J（t，by）≤ J（t，y）a.s.（iii）对于任何t∈ [0，T]和j∈ {1，…，n}，J（t，y）几乎肯定是[0，t]×Γ的任意有界子集中y一致的Lipschitz。引理2.3函数J（t，y）在y中是凹的∈ Γa.s.为所有t∈ [0，T]。根据引理2.3，左手偏导数D-yjJ（t，y）和右手偏导数D+yjJ（t，y）存在且唯一定义。3主要结果用D±yJ（s，y）表示向量列{D±yiJ（s，y）}mi=1in。

我们表示（x）+=max（x，0）。允许Γ是Γ的边界。定理3.1值函数J满足（t，y）中的一阶BSPDE:J（t，y）=EZTtsupv∈K（f（X（s），v，t）+vD+yJ（s，y））ds英尺, t<t，y∈ Γ，J（t，y）|y∈Γ= 0.（3.1）特别是，如果f（t，x，u）=uX和K=[0，L]n，那么方程的形式是j（t，y）=LE（ZTtnXi=1（Xi（s）+D+yiJ（s，y））+！dst<t，y∈ Γ，J（t，y）|y∈Γ= 0.如果K=Rnand f（t，x，u）=u十、- U那么方程的形式是j（t，y）=eZTt（X（s）+D+yJ（s，y））G-1（X（s）+D+yJ（s，y））ds英尺,t<t，y∈ Γ，J（t，y）|y∈Γ= 0.注3.1定理3.1和引理2.1暗示问题（3.1）解的存在。然而，它并没有说明它的独特性。对于n=1和G=0的特例，唯一性在Bender和D okuchaev（2016b）中建立；这项任务需要大量的分析工作。我们将n>1的解的唯一性问题留待进一步研究。4.在马尔可夫模型的数值实现上，可以使用有限差分法求解相应的HJB方程。幸运的是，这种方法可能对描述马尔可夫模型动力学的大量参数无效。一阶BS PDE（3.1）的特性允许使用下面描述的一些替代方法。关于X（t）方程（3.1）的非特定动力学定律的数值可行性，可使用t和y中的一阶有限差在t中向后离散后求解，并通过蒙特卡罗方法计算每个步骤的条件期望。这种方法允许使用方程（3.1）的以下吸引人的特点：即使对于没有规定X（t）动力学定律的模型，也可以计算该方程的解。

为此，我们需要知道，对于时间离散序列{tk}，给定Ftk的X（tk+1）的条件分布。这样做的好处是，我们不需要关于X的动力学或其演化方程的假设，即如果它是一个it^o方程等。此外，还有一些模型，其中关于X（tk+1）分布的信息比关于动力学定律的信息更容易获取和可靠。一般来说，X的动力学定律更难建立，因为它对概率分布的变化不具有鲁棒性，从下面的例子可以看出。例4.1设X为维纳过程。这个过程可以用路径绝对连续过程Xε（t）来近似，因此，它在统计上与X不可区分，但具有非常不同的动态s定律，没有It^o’s过程的惊人特征。如果X（t）的动力学由一个特定的方程（如It^o方程）描述，那么方程的参数将确定结果的条件期望，但不必直接使用。在假设X（t）的动力学定律已知的情况下，有可能使用所谓的路径最优控制来估计J。在本节结束之前，我们假设{Ft}是维纳过程W（t）取Rn中的值产生的过滤。我们假设X（t）是一个适用于Ft的RCLL随机过程。考虑一个线性赋范空间\'X=L（[0，t]；L）(Ohm, FT，P；Rn））。设X为闭子空间，作为从X开始的关于{Ft}过程的所有渐进可测集合的闭包。为了你∈ Γ，让U（t，y）\'X是一组过程u（s）=（u（t）。。。，n（t））：[t，t]×Ohm → K可测量所有t，并且y+RTtu（s）ds∈ Γa.s.假设我们得到y∈ Rm。

让我们考虑一个最优控制问题，使EF（u，0）在u上最大化∈ U（y，0）。（4.1）设y（0）u=u，yku（t）=Rty（k）-1） u（s）ds，k=1，2，3。。。，式中，yu（t）=Rtu（s）ds。考虑一个线性赋范空间V=L（[0，T]；L）(Ohm, FT，P；Rn×n）。设V是从V开始的关于{Ft}过程的所有渐进可测集的闭包。引理4.1让我们∈\'U（0，y）。以下陈述是等效的：（i）u∈ U（0，y）。（ii）存在k>1使得y（k）u∈ 十、（iii）对于任何k≥ 0，y（k）u∈ 十、（iv）对于任何k≥ 0和任何v∈ V，EZTu（t）y（k）u（t）dt=EZTu（k）（t）u（t）dt=0。这里M（t）=Rtv（s）dW（s），u（t）=M（t）- M（t），u（0）=u，u（k）（t）=-RTtu（k）-1） （s）ds，k=1，2，3。。。。让k∈ {0, 1, 2, ..} 被选中。为了v∈ 设M（t）=Rtv（s）dW（s）。显然，M（T）∈ L(Ohm, FT，P）和M（t）=EtM（t）。设置u（t）=M（t）- M（t）。为了你∈\'U（0，y），v∈ V和u（k）=u（k）（·，V）如上定义，引入拉格朗日（u，V）=F（u，0）+EZTu（k）（t）u（t）dt。以下定理类似于Dokuchaev（2015a）的定理5.1。Bender和Dokuchaev（2016b）的定理5.1给出了一个相关结果。定理4.1supu∈U（0，y）EF（U，0）=supu∈\'U（0，y）infv∈VL（u，v）=infv∈Vsupu∈\'U（0，y）L（U，v）。（4.2）可以注意到，定理4.1没有证明鞍点的存在。然而，它可以用来估计supu的值∈使用u（k）的蒙特卡罗模拟和问题supu的路径解得出UEF（u，0）∈UL（u，v）遵循Dav-isand Burstein（1992年）、Rogers（2007年）、Andersen and Broadie（2004年）、Haugh and Kogan（2004年）、Bender（2011年）、Brown等人（2010年）、Bender和Dokuchaev（2016a，b）中制定的方法精神；在预测控制类中使用路径优化可以找到这个上限∈“‘U’不需要调整。