最优控制问题的高维一阶BSPDEs

这种方法的一个优点是，它只寻求从特定y（0）开始的解，而上述HJB方法需要从所有起点计算解。这里提到的论文建议在一组被认为是拉格朗日独立变量的马氏体上运行蒙特卡罗。在定理4.1中，这意味着在集合v上最大化∈ 五、不幸的是，这一套太过宽泛了。另一方面，在一些已知的经验解的情况下，最优鞅对潜在的随机过程和最优值函数有着非常特殊的依赖性。例如，对于Bender和Dokuchaev（2016b）中考虑的一个相关问题，相应的最优鞅被发现为u（t）=DyJ（t，Y（t）），其中Y（t）是非最优状态过程J（t，Y）是最优值函数f，或者满足一阶BSPDE的问题是HJB方程的类似物（Bender和Dokuchaev（2016b）中的定理5.1）。这表明，一系列随机生成的m artin鞅在合理的时间内可能不会与最优鞅接近。定理4.1允许通过模拟更特殊的过程u（k）（t）来代替鞅的模拟- 1时间路径可微，具有绝对连续导数dk-1u（k）（t）/dtk-1.在离散化之后，这些过程可以表示为k阶误差范围减小的过程。这有助于减少计算时间。Davis和Burstein（1992）、Rogers（2002）、Andersen和Broadie（2004）、Haugh和Kogan（2004）、Bender（2011b）、Brown等人（2010）、Bender和Dokuchaev（2016a，b）研究了k=0对应鞅对偶的情况。5引理2.1的证明。对于g6=0的情况，证明遵循二次型的标准性质。

G=0的证明重复了Bender和Dokuchaev（2016a）的p roof。引理2.2的证明。为了证明陈述（i），必须观察| u（t）X（t）|≤ L | X（t）|如果G=0，那么对于g6=0，最优u不能太大。声明（ii）来源于J的定义和U的事实（t，by） U（t，y）。让我们来证明陈述（三）。设yj<byj，y=（y，…，yn）, by=（y，…yj）-1，裴勇俊，yj+1。。。，（伊恩）. 显然，J（t，by）≤ J（t，y）a.s.对于任何t.补充，J（t，y）≤ J（t，by）+ess supv∈U（t，y）：RTtv（s）ds-（作者-y）∈ΓEtZTt|X（s）v（s）|ds≤ J（t，by）+const·Etess sups∈[t，t]| X（s）|（裴勇俊）- yj）a.s。。这就完成了引理2.2的证明。引理2.3的证明。可以证明[J（y，t）+J（y，t）]≤ 我们有[J（y，t）+J（y，t）]=supu∈U（t，y）F（X，U，t）+supu∈U（t，y）F（X，U，t）=supu∈U（t，y），U∈U（t，y）[F（X，U，t）+F（X，U，t）]≤ 苏普∈U（t，y），U∈U（t，y）F（X，（U+U）/2，t）≤ 苏普∈U（t，（y+y）/2）F（X，U，t）=J（（y+y）/2，t）a.s.这就完成了引理2.3的证明。本节的剩余部分将用于证明定理3.1.5.1关于y的一些初步结果∈ Γ，t∈ [0，T]，θ∈ （t，t），设U（t，θ，y）为过程的集合U（s）=（U（s）。。。，n（s））：[t，θ]×Ohm → K适应于Fsand，使得y+Rθtu（s）ds∈ Γa.s。。引理5.1[动态规划原理]∈ [0,1]和任何时间θ∈ （t，t），J（t，y）=supu∈U（t，θ，y）EtZθtf（X（s），u（s），t）ds+J（y+νu，θ）.证据必须证明j（t，y）≤ 苏普∈U（t，θ，y）EtZθtf（X（s），u（s），s）ds+J（y+νu，θ）,你在哪里=Rθtu（s）ds。我们有j（t，y）≤ 苏普∈U（t，y）EtZθtf（X（s），u（s），s）ds+ZTθf（X（s），u（s），s）ds= 苏普∈U（t，θ，y）supv∈U（θ，T，y+νU）EtZθtf（X（s），u（s），s）ds+EθZTθf（X（s），v（s），s）ds= 苏普∈U（t，y）EtZθtf（X（s），U（s），s）ds+supv∈U（θ，T，y+νU）EθZTθf（X（s），v（s），s）ds！。这就完成了证明。

设tk=kT/N，N∈ {1, 2, ...}, k=0，1，2。。。，N.让UN（s，y）成为所有可接受文件的集合∈ U（s，N）使得U（t）≡ u（tk），t∈ [tk，tk+1），tk=kT/（N）- 1） ，k=0，1。。。，N- 1.乐视网（t，y）=内华达州∈ L(Ohm, Ftk，P，Rm），其中tk=max{tm:tm≤ t} ，使v∈ K a.e.，y+（tk+1- t） 五∈ Γa.s.o引理5.2假设X（t）=X（tk）表示t∈ [tk，tk+1），k=0，1，…，N- 1.那么，对于任何（s，y），在U（t，y）过程U中都存在最优解∈ 联合国（s，y）。此外，J（t，y）=ess supv∈V（t，y）h（tk+1- t） [X（tk）五、- 五、Gv]+EtJ（tk+1，y+（tk+1- t） v）i（5.1）代表t∈ [tk，tk+1]对应的v∈ V（t，y）对所有（t，y）都存在。引理5.2的证明。给k，t∈ [tk，tk+1]代表美国∈ U（t，tk，y），设νU=Rtk+1tu（s）ds，\'νU=EtνU，eνU=\'νU/（tk+1）- t） 。我们有j（t，y）=supu∈U（t，tk，y）EtZtk+1tf（X（s），u（s），s）ds+J（tk，y+νu）= 苏普∈U（t，tk，y）X（tk）νu- EtZtk+1tu（s）古（s）ds+EtJ（tk+1，y+νu）.（5.2）通过J（t，y）在y中的凹度，可以得出EtJ（tk+1，y+νu）≤ EtJ（tk+1，y+？/u）。根据f（x，u，s）在u中的共度，它遵循j（t，y）=supu∈U（t，tk，y）hX（tk）ν - （tk+1）- t） ε显然，任何Ftk可测量的单位∈[t，tk+1]对于（5.2）if（tk+1）是最佳的- t） v=νu=°νufor vbeing optimal for（5.1）。这就完成了引理5.2的证明。5.2分段常数XProposition的情况5.1假设X（t）=X（tk）表示t∈ [tk，tk+1）（即引理5.2的假设成立）。然后定理3.1成立。证明。

对于k=N- 1，N- 2.1,0，letVk={v∈ L∞（[tk，tk+1]，Rn）：v（t）∈ K} ，让函数Jk:[tk，tk+1]×Γ×Ohm → 因此，R被定义为确定（在给定Ftk的条件概率空间上）控制问题的值函数最大化EBJK+1（τx，sk，yx，s（τx，sk））+Zτx，sksf（x（t），v（t），t）dt除以v∈ Vk，受制于，sdt（t）=v（t），yx，s（s）=x，τx，sk=tk+1∧ inf{t>s:yx，s（t）/∈ Γ}.（5.3）HerebJk（t，y）= EtJk（t，y）。我们假设th atbJN（T，y）≡ 换句话说，Jk（y，s）=supv∈VkbJk+1（τx，sk，yx，s（τx，sk））+Zτx，sksf（x（t），v（t），t）dt！。假设X是分段常数，我们得到了th atFt=Ftk，t∈ [tk，tk+1）。（5.4）因此，Jk（t，·）对于t是可测量的∈ [tk，tk+1]。在给定Ftk的条件概率空间上，可以认为Jk（t，x）的值对于t是确定的∈ [tk，tk+1]。此外，我们还发现，每个jk都是问题maximizebjk+1（tk+1，yx，s（tk+1））+Ztk+1sf（X（t），v（t），t）dt除以v的值函数∈英国（s，x），受制于x，sdt（t）=v（t），yx，s（s）=x。这里是x∈ Γ，s∈ [tk，tk+1），bJk+1（t，y）=EtkJk+1（t，y），\'Uk（s，x）={v∈ L∞（[tk，tk+1]，Rn）：v（t）∈ K、 x+Ztk+1sv（r）dr∈ Γ}.通过引理5.1，我们得到，因此对于k=N- 1，N- 2.1,0，thatJ（t，y）=Jk（t，y），t∈ [tk，tk+1）。（5.5）以下证明适用于n=m，Xk（t）的特殊情况≥ 0，G6=0或K=Rn。让我们证明J=JK是边值问题的唯一粘性解Jt（t，y）+supv∈K（f（y，v，t）+vD+yJ（t，y）），t∈ [tk，tk+1]，y∈ Γ，J（tk+1，y）=bJk+1（tk+1，y），J（tk+1，y）|y∈Γ= 0.（5.6）本声明可能源于已知的具有一阶HJB方程的确定性受控方程理论。为此，我们需要HJBequations（5.6）的解的存在性，以及将它们与控制问题联系起来的验证定理。

到目前为止，我们无法确定一个覆盖我们案件的结果；最接近e的是Garavello（2003）的定理5.2；不幸的是，这个定理中的条件（iv）在我们的例子中并不成立。其他现有文献包括无边界域或有界域的d域；参见《狮子》（1982）。现有的一阶HJB方程可解性结果需要附加条件，如C-光滑边界函数；例如，见Bressan和Flores（1994年）、Crandall（1983年）、Dacorogna和Marcellini（1998年）。为了克服这些困难，我们直接使用特殊设置施加的特性，推导出了J=jk的下式（5.6）。设为（t，θ）=y+v（θ）- t） ，t∈ [tk，tk+1），θ∈ [t，tk+1），对于（5.1）中的最优v。显然，策略u（s）=v是问题（2.3）的最优解的[tk，tk+1]上的部分，t=tk。分别，过程（u（s），y（s））=（v，by（t，s））是问题（2.3）的最优过程的[tk，tk+1]上的部分。因此，v∈ V（t，y）是（5.1）的最佳点当且仅当，对于任何θ∈ [t，tk+1），这是p问题j（t，y）=ess supv的一个最大点∈V（t，y）h（θ）- t） [v]X（tk）- 五、Gv]+EtJ（θ，by（t，θ））i.（5.7）引理5.3假设t的X（t）=X（tk）∈ [tk，tk+1），k=0，1，…，N- 1.假设g6=0，K=Rn。那么下面的说法成立了。（i） （5.7）的唯一最佳点是v=G-1[X（tk）+D+yJ（θ，by（t，θ））]。（ii）对于任何t∈ [tk，tk+1），θ∈ [t，tk+1），J（t，y）=（θ）- t） [v]X（tk）- 五、Gv]+J（θ，y+v（θ）- t） ）=（θ- t） [v]X（tk）- 五、Gv]+J（θ，by（t，θ））。（5.8）（iii）对于t∈ [tk，tk+1），J（t，y）=Ztk+1tX（s）+D+yJ（s，y）G-1.X（s）+D+yJ（s，y）ds+bJk+1（tk+1，y）。（5.9）引理的证明5.3。陈述（i）-（ii）紧跟在（5.8）和v的最优性之后。

让我们展示一下atJ（t，y）=vZtk+1t十(s)- Gv+D+yJ（南、西）ds+bJk+1（tk+1，y）。（5.10）到（5.8），我们得到了dtj（t，y）=-X（tk）v+vGv公司- D+yJ（θ，y+v（θ）- t） )v=-X（tk）v+vGv- D+yJ（θ，by（t，θ））v、 由此得出D+yJ（θ，by（t，θ））v=D+yJ（θ，by（t，θ））v表示任意θ，θ∈ [tk，tk+1]。如果我们假设D+yJ有一些额外的规律性，我们就得到了D+yJ（t，y）v=D+yJ（θ，by（t，θ））因此，DtJ（t，y）=-五、（X（t）+D+yJ（t，y））+vGv=-X（t）+D+yJ（t，y）G-1.X（t）+D+yJ（t，y）.这给出了（5.9）。没有这些额外的规律性假设，我们证明（5.9）如下。我们观察到j（t，y）=vZtk+1t十(s)- Gv+D+yJ（tk+1，由（s，tk+1））ds+bJk+1（tk+1，y）=vZtk+1t十(s)- Gv+D+yJ（s+ε，by（s，s+ε））任意ε的ds+bJk+1（tk+1，y）∈ （0，tk+1）- tk）。HenceJk（t，y）=Ztk+1tX（s）+D+yJ（s，y）G-1.X（s）+D+yJ（s，y）ds+bJk+1（tk+1，y）+ξε（t，y），其中ξε（t，y）=Ztk+1tX（s）+D+yJ（s+ε，by（s，s+ε））G-1.X（s）+D+yJ（s+ε，by（s，s+ε））-X（s）+D+yJ（s，y）G-1.X（s）+D+yJ（s，y）ds。对于任意选择的η∈ L∞（0，1），设γε（t）=Rξε（t，y）η（y）dy。根据L-uzin定理，我们有γε（t）→ 0为ε→ 因此（5.10）成立。用最优v代换得到所需的公式。这就完成了引理5.3的证明。.LetbDyiJ（t，y）=h∈ [D+yiJ（t，y），D-yiJ（t，y）]使得| h+Xi（t）|=明∈[D+yiJ（t，y），D-yiJ（t，y）|g+Xi（t）|。显然，这个定义中的h是不独立的。引理5.4假设t的X（t）=X（tk）∈ [tk，tk+1），k=0，1，…，N- 1.假设k=[0，L]和G=0。

让我们∈ [tk，tk+1）和y∈ Γ被给予，让v∈ V（t，y）是（5.1）中的最优点，因此是（5.7）f中的最优点或所有θ∈ [t，tk+1]），其中by（t，θ）=y+v（θ）- t） ，t∈ [tk，tk+1），θ∈ [t，tk+1）。然后，在引理5.2的假设下，以下公式成立。（i）J（t，y）=vX（tk）（θ）- t） +J（θ，由（t，θ））表示t∈ [tk，tk+1）和θ∈ [t，tk+1）。（ii）如果vi=0，那么Xi（tk）+D+yiJ（θ，by（t，θ））≤ 如果vi=L，那么Xi（tk）+D+yiJ（θ，by（t，θ））≥ 0.（iii）如果vi∈ （0，L）然后Xi（tk）+bDyiJ（θ，y（t，θ））=0。（iv）对于t∈ [tk，tk+1），J（t，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+bDyiJ（s，y）+ds+bJk+1（tk+1，y）。（5.11）Le mma 5.4的证明。声明（i）紧跟在（5.7）之后，适用于最优性V。报表（二）如下（一）。考虑在给定Ftk的条件概率空间上进行优化。让我们回顾一下声明（三）。如果vi∈ （0，L）对于（5.7）是最优的，那么它对于由任何θ代替的k+1是最优的∈ （tk，tk+1），然后是0∈ [Xi（tk）+D+yiJ（t，by（t，θ）），Xi（tk）+D-yiJ（t，by（t，θ））]。HenceXi（tk）+bDyiJ（t，by（t，θ））=0。（5.12）让我们证明陈述（iv）。根据Bd的定义和J in yi的凹度，我们得出以下结论：如果Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））≥ 0，那么Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，θ））≥ 如果Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））<0，那么（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，by（t，θ））+=（Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，θ）））+=0。对于陈述（ii）-（iii）中列出的所有情况，我们有vi（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））=L（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））+。因此，对于陈述（ii）-（iii）中列出的所有情况，我们有vi（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））=L（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））+=vi（Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，θ））=L（Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，by（t，θ））+。通过陈述（i），我们得到了dtj（t，y）=-X（tk）五、- D+yiJ（θ，by（t，θ））v、 由此得出D+yJ（θ，by（t，θ））v=D+yJ（θ，by（t，θ））v表示任意θ，θ∈ [tk，tk+1]。

D+yJ的一些额外规律给出了D+yJ（t，y）v=D+yJ（θ，by（t，θ））因此，DtJ（t，y）=-五、（X（t）+D+yJ（t，y））。没有这些额外的规律性假设，我们证明（5.11）如下。我们观察到j（t，y）=vZtk+1tX（s）+D+yJ（tk+1，by（s，tk+1））ds+bJk+1（tk+1，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+D+yiJ（s+ε，by（s，s+ε））+ds+bJk+1（tk+1，y），对于任何ε∈ （0，tk+1）- tk）。HenceJk（t，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+D+yiJ（s，y）+ds+bJk+1（tk+1，y）+ξε（t，y），其中ξε（t，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+D+yiJ（s+ε，by（s，s+ε））+-Xi（s）+D+yiJ（s，y）+ds。对于任意选择的η∈ L∞（0，1），设γε（t）=Rξε（t，y）η（y）dy。根据L-uzin定理，我们有γε（t）→ 0为ε→ 因此（5.11）成立。这就完成了引理5.4的证明。.我们现在可以证明命题5.1。通过（5.6），我们得到了jk（t，y）=bJk+1（tk+1，y）+Ztk+1tsupv∈K[f（X（s），v，s）+vD+yJk（s，y）]ds，t∈ [tk，tk+1]，y∈ Γ，Jk（tk+1，y）|y∈Γ= 0.（5.13）这可以重写为jk（t，y）=EbJk+1（tk+1，y）+Ztk+1tsupv∈K[f（X（s），v，s）+vD+yJk（s，y）]dsFtk,T∈ [tk，tk+1]，y∈ Γ，Jk（tk+1，y）|y∈Γ= 0.（5.14）根据（5.5），（3.1）对J成立。这就完成了命题5.1的证明。.命题5.2，对于N=1，2。。。，考虑定义为asXN（t）=tk+1的分段常数过程- tkEtkZtk+1tkX（s）ds，t∈ [tk，tk+1），tk=T（k- 1） /（N）- 1） ，k=0，1，2。。。，N.设jn为X的相应函数J，用XN代替。ThenEZT | XN（t）- X（t）| dt→ 0作为N→ +∞,（5.15）JN（y，t）≤ J（y，t）a.s.f或所有t，JN→ J a.e.as N→ +∞,（5.16）D+yJN→ D+yJ a.e.作为N→ +∞.（5.17）证据。（5.15）中的限制来自于[0，T]×上应用于平均的条件期望的性质Ohm; 参见《束缚》（1977）。让我们证明一下（5.16）。

如果G=0，则它立即从定义开始，即∈U（t，y）EtF（XN，U，t）=ess supu∈UN（t，y）EtF（XN，u，t）=ess supu∈联合国（t，y）EtF（X，u，t）→ 苏普女士∈U（t，y）EtF（X，U，t）作为N→ +∞ a、 不管怎样。（5.18）如果G6=0，则必须观察该ETZTTU（s）XN（s）ds=EtZTt¨u（s）XN（s）dsand-中兴图(s)顾(s)ds≤ -中兴通讯(s)G’uN（s）ds a.s代表所有t，其中‘uN（t）=tk+1- tkEtkZtk+1tku（s）ds，s∈ [tk，tk+1）。让我们证明（5.17）。我们将使用下面的引理。引理5.5表示α∈ R和β∈ (α, +∞), 设f:[α，β]→ R和fN:[α，β]→ R可以是有界的、凹的、一致的Lipschitz函数，使得fN（s）→ f（s）as N→ +∞, 新界北（s）≤ f（s）代表所有s∈ [α, β]. 然后D+fN（s）→ D+f（s）代表a.e.s.作为N→ +∞.引理5.5的证明。对于s∈ （α，β）和h>0，使得s+h∈ （α，β），letb（2） 高频=f（s+h）- f（s）- D+f（x）h.根据卡丘罗夫斯基定理，我们得到了b（2） 高频≤ 0和b（2） hfN≤ 0代表所有h和N。让gN= F- fN。我们有f=fN+gNandb（2） hf=b（2） hfN+b（2） hgN。因此|（b）（2） hgN）-| ≤ |B（2） hf |适用于所有∈ （α，β），h，N，（5.19），其中（x）-= 最小值（x，0）。假设引理的陈述是不正确的。在这种情况下，存在一个区间（\'α，\'β） [α，β]，\'α<\'β，以及一个映射r:（\'α，\'β）→ (0, +∞) 使得r（s）>0和| D+gN（s）|≥r（s）代表所有s∈ (α,β). 显然，D+gN→ 0在L（‘α，’β）中弱地表示为N→ +∞. 因此，uN→ 0作为k→ +∞, 在哪里= 最大{124;β- α|; α ≤ α< β≤β，符号D+gN（s）=常数，s∈ (α, β)}.这种不断增加的gNimplies振荡（5.19）并不成立。这意味着（5.17），并完成了引理5.5的证明。对于任何给定的y=（y，…，yn）和任何j∈ 对于给定的（y，…，yj），路径f（yj）=J（y，t）和fN（yj）=JN（y，t）满足引理5.5的假设-1，yj+1。。。，yj的∈ [α，β]和一个区间[α，β]如y=（y，…，yj）-1，yj，yj+1。。。，（伊恩）∈ Γ. 这是命题5.2的完整证明。

我们现在可以完成定理3.1的证明了。定理3.1的证明。设XN=（XN1，…，XNn）而jn应该如命题5所述。2.从现在开始，我们将考虑子序列N=Nk，k=1，2。。。，这样XN→ Xa。E可以注意到，对于任何y，都有一个可积过程ξ（t，ω），使得| XN（t）|+| DyJN（t，y）|≤ ξ（t，ω）。假设K=[0，L]n，n=m，f（t，x，u）=uX.到（5.17），我们有t<t和a。e、 y∈ ΓthatEtZTtnXi=1（XNi（s）+D+yiJN（s，y））+！ds→ EtZTtnXi=1（Xi（s）+D+yiJ（s，y））+！dsa。e、 作为N→ +∞.通过（5.16），我们得到了这种情况下的定理陈述。对于g6=0的情况，证明是相似的。引理4.1的证明很简单，这里将省略d。它基于这样一个事实：根据鞅表示定理u（t）=RTtbu（s）dw（s），对于某些bu∈ 五、定理4.1的证明。第一个等式来自引理4.1。此外，我们还发现L（u，v）在u中是凹的∈ v中的U和a∈ 五、此外，L（u，v）是连续的∈ L（[0，T]×Ohm) 给定v∈ V，L（u，V）在V中是连续的∈ V给你∈ U.该定理的陈述遵循Ekland and Temam（1999）第六章中的命题2.3。陈述（ii）遵循Ekland and Temam（1999）第六章中的命题（i）和命题1.2。6讨论与未来发展本论文在不明确基本输入过程演化规律的情况下，考虑了环境中的随机控制问题。导出了HJBE方程的一阶BSPDEs表示式；它们代表了inBender和Dokuchaev（2016a，b）最初提出的概念的进一步发展。