期权定价混合方法的数值稳定性

让我们强调一下，在接下来的备注5.2中，我们将看到，由于βn，k≥ 0时，确实存在（5.2）的解决方案，至少对于“nice”函数f来说是这样。很明显，情况g=fis与美国算法有关，而情况g=0与欧洲算法有关：（5.1）给出了函数F（t，y，v，x）的数值逼近=EE-（σrRTtXt，xsds+RTt~nsds）f（T，Yt，y，v，xT，Vt，Vt，xT，xT）如果g=0，则supτ∈Tt，TEE-（σrRτtXt，xsds+Rτt~nsds）f（τ，Yt，y，v，xτ，Vt，vτ，Xt，xτ）如果g=f，（5.3）在网格Y×Vn×Xn点上的时间nh和d。5.1“折扣截断格式”及其最佳性能在我们的稳定性分析中，我们考虑了一个数值格式，它是（5.1）的轻微修改：我们定义了一个（可能较大的）阈值L>0，我们考虑了该方案FLh（T，yi，vN，k，xN，j）=f（T，yi，vN，k，xN，j）和as n=n- 1.0:FLh（nh，yi，vnk，xnj）=maxng（nh，yi，vnk，xnj），e-（σrxnj{xnj>-五十} 带g=f或g=0的huni，k，jo（5.4），其中un·，k，j=（uni，k，j）i∈将溶液Zis改为（5.2），将（Ia，bFh）替换为（Ia，bFLh）。让我们强调，只有当σr>0（随机利率）时，上述方案（5.4）才与（5.1）真正不同。在这种情况下，在贴现因子（5.4）中，我们不允许xnj在其网格上的任何地方运行：在原始方案（5.1）中，指数包含xnj项，而在当前方案（5.4）中，我们将xnj{xnj>-五十} 所以我们把网格上的点都杀掉了-实际上，（5.4）的目的是数值计算函数fl（t，y，v，x）=EE-（σrRTtXt，xs{Xt，xs>-五十} ds+RTt~nsds）f（T，Yt，y，v，xT，Vt，Vt，xT，xT）如果g=0，则supτ∈Tt，TEE-（σrRτtXt，xs{Xt，xs>-五十} ds+Rτt~nsds）f（τ，Yt，y，v，xτ，Vt，vτ，Xt，xτ）如果g=f，（5.5）在时间nh和网格Y×Vn×Xn的点上。回想一下，在实践中，h很小，但非常有限，因此在实践中有一个自然阈值（参见图1中的treegiven站姿）。

实际上，在我们的数值实验中，我们观察到了一个真正的稳定性。然而，我们将在后面讨论关于（5.1）的解，一个人可以松多少。对于n=n，0时，方案（5.4）返回变量（y，v，x）中的函数∈ Y×Vn×Xn。注意，Vn×Xn IVn×IXn，其中IVn=[vn，vnn]和IXn=[xn，xnn]，即时间步长n:vn处最小和最大节点之间的间隔=pV-σVn√H{√五、-σVn√h> 0}，vnn=pV+σVn√H, xn=-N√h、 xnn=n√h、 当n减小到0时，间隔Iv和Ixnar变得越来越小，在时间0时，它们分别向单点v=Vand x=x=0靠拢。因此，我们将要考虑的范数考虑了以下事实：在时间nh时，我们考虑φ=φ（t，y，v，x）的范数φ（nh，·）kn=sup（v，x）∈IVn×IXnkφ（nh，·，v，x）kl（Y）=sup（v，x）∈IVn×IXnxi∈Z |φ（nh，yi，v，x）|Y. （5.6）特别是，kφ（0，·）k=kφ（0，·，V，X）kl（Y）=xi∈Z |φ（yi，V，X）|Y1/2和kφ（T，·）kN≤ 辅助（v，x）∈R+×Rkφ（yi，v，x）kl（Y）=sup（v，x）∈R+×Rxi∈Z |φ（yi，v，x）|Y1/2.我们现在准备给出我们的稳定性结果。定理5.1设f≥ 在g=f的情况下，假设∈[0，T]| f（T，y，v，x）|≤ γT | f（T，y，v，x）|，对于某些γT>0。然后，对于每L>0，数值格式（5.4）相对于范数（5.6）是稳定的：kFLh（0，·）k≤ CN，LTkFLh（T，·）kN=CN，LTkf（T，·）kN，Hy、 我在哪里=e2λcT+σrLT-PNn=1~nnhhN→∞-→ CLT=e2λcT+σrLT-RT~ntdtif g=0，最大值γT，e2λcT+σrLT-PNn=1~nnhhN→∞-→ CLT=最大值γT，e2λcT+σrLT-RT~ntdt如果g=f，其中c>0表示plν（ξl）Y≤ λc.证明。为了弱化符号，我们设置了gni，k，j=g（nh，yi，vnk，xnj）和类似的Fni，k，j=FLh（nh，yi，vnk，xnj），（Ia，bFn+1h）i，ka，jb=（Ia，bFLh）（（n+1）h，yi，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））（我们也放弃了对L的依赖）。

该方案（5.4）表示，在每个时间点，n<n和d表示每个固定的0≤ k、 j≤ n、 Fni，k，j=maxngni，k，j，e-（σrxnj{xnj>-五十} +~nnh）huni，k，jo，（5.7），其中，根据（5.2），uni，k，jsolves（αn，k，j- βn，k）uni-1，k，j+（1+2βn，k）uni，k，j- （αn，k，j+βn，k）uni+1，k，j=Xa，b∈{d，u}pab（n，k，j）（Ia，bFn+1）i，ka，jb+hyXlν（ξl）（Ia，bFn+1）i+l，ka，jb-（Ia，bFn+1）i，ka，jb.（5.8）设Fа表示а的傅里叶变换∈ l（Y），也就是F~n（θ）=Y√2πXs∈Z k se-我知道 yθ，θ∈ R、 我指的是虚单位。我们从（5.8）中得到（αn，k，j）-βn，k）e-iθy+1+2βn，k- （αn，k，j+βn，k）eiθYFunk，j（θ）=1+hyPlν（ξl）（ei lθ）Y- 1)爸爸，b∈{d，u}pab（n，k，j）F（Ia，bFn+1）ka，jb（θ）。（5.9）注意|（αn，k，j- βn，k）e-iθy+1+2βn，k- （αn，k，j+βn，k）eiθy|≥重新（αn，k，j）- βn，k）e-iθy+1+2βn，k- （αn，k，j+βn，k）eiθY= 1+2βn，k（1- cos（θ）y） )≥ 1，对于每θ∈ [0，2π）（回想一下βn，k≥ 0). 和sincePlν（ξl）Y≤ λc，我们得到| Funk，j（θ）|≤1+hyXl∈Z | ei lθY- 1 |ν（ξl）Xa，b∈{d，u}pab（n，k，j）|F（Ia，bFn+1）ka，jb（θ）|≤ （1+2λch）Xa，b∈{d，u}pab（n，k，j）|F（Ia，bFn+1）ka，jb（θ）|。因此，kFunk，jkL（[0,2π），Leb）≤ （1+2λch）Xa，b∈{d，u}pab（n，k，j）kF（Ia，bFn+1）ka，jbkL（[0,2π），Leb）。我们现在使用Parseval恒等式kF k kL（[0,2π），Leb）=k k kL（Y），我们得到kun·，k，jkl（Y）≤ （1+2λch）Xa，b∈{d，u}pab（n，k，j）k（Ia，bFn+1）·ka，jbkl（Y）=（1+2λch）Xa，b∈{d，u}pab（n，k，j）kFn+1·，ka，jbkl（Y），这是继i 7之后的第一个等式→ （Ia，bFn+1）i，ka，jb是i7变换的线性凸组合→ Fn+1i，ka，jb（见备注4.1）。这给了SSUP0≤k，j≤nke-（σrxnj{xnj>-五十} +~nnh）hun·，k，jkl（Y）≤ （1+2λch）eσrLh-~nnhhsup0≤k，j≤n+1kFn+1·，k，jkl（Y）从（5.7）中，我们得到了SUP0≤k，j≤nkFn·，k，jkl（Y）≤ 最大值sup0≤k，j≤nkgn·，k，jkl（Y），（1+2λch）eσrLh-~nnhhsup0≤k，j≤n+1kFn+1·，k，jkl（Y）.我们现在继续假设g=f，情况g=0以类似的方式。

那么，sup0≤k，j≤nkFn·，k，jkl（Y）≤ 最大值γTkf（T，·）kN，（1+2λch）eσrLh-~nnhhsup0≤k，j≤n+1kFn+1·，k，jkl（Y）.对于n=n- 1然后我们得到SUP0≤k，j≤nkFN-1·，k，jkl（Y）≤ 最大值γTkf（T，·）kN，（1+2λch）eσrLh-~n（N）-1） hhkf（T，·）kN通过迭代上述不等式，我们最终得到kfk=kF·，0,0kl（Y）≤ 最大值γTkf（T，·）kN，（1+2λch）NeNσrLh-PNn=1~nnhhkf（T，·）kN.备注5.2在上述证明中，我们实际上已经证明，当n变化时，有限线性系统（5.2）内的解un·，k，jto确实存在，并且如果kf（T，·）kN<∞. 事实上，从等式（5.9）开始，我们定义了函数ψk，j（θ），θ∈ [0,2π），由（αn，k，j）-βn，k）e-iθy+1+2βn，k- （αn，k，j+βn，k）eiθYψk，j（θ）=1+hyPlν（ξl）（ei lθ）Y- 1)爸爸，b∈{d，u}pab（n，k，j）F（Ia，bFn+1）ka，jb（θ）。正如在命题5.1的证明中所注意到的，乘以ψk，j（θ）的因子不同于零，因为βn，k≥ 所以，定义ψk，jis适定，以及ψk，j∈ L（[0,2π，），Leb）。我们现在设置·，k，jasψk，j的逆傅里叶变换，即unl，k，j=Y√2πZ2πψk，j（θ）ei lθydθ，l∈ Z.简单的计算表明，un·，k，jful可以满足方程组（5.2）。当然，定理5.1给出了[9]中介绍的HestonHull White模型方案的稳定性（只取λ=0——不考虑跳跃）。此外，对于标准贝茨模型，即σr=0（确定性利率），定理5.1适用于原始（非受控）方案（5.1）。5.2回到原始方案（5.1），让我们现在讨论引入阈值L时可能发生的情况。我们记得原始方案（5.1）给出了（5.3）中函数F的数值近似，而折扣截断方案（5.4）旨在数值计算函数FLin（5.5）。下面的第5.3点表明，在标准假设下，FLF倾向于F作为L→ ∞ 非常快。

这意味着，在实践中，我们很少使用（5.4）来代替（5.1）。命题5.3假设f=f（t，y，v，x）在变量（y，v，x）中有一个多项式增长，在t中是一致的∈ [0，T]。设L>0的F和FL分别在（5.3）和（5.5）中定义。然后存在正常数CT和CT（y，v，x），每L>0 | F（t，y，v，x）- FL（t，y，v，x）|≤ σrCT（y，v，x）e-cT | L+xe-κr（T-t） |，每t∈ [0，T]和（y，v，x）∈ R×R+×R.证明。在下面的例子中，C表示一个正常数，可能在一行到另一行之间变化。我们有| F（t，y，v，x）- 飞行高度（t，y，v，x）|≤ σrCE监督≤U≤T | f（u，Yt，y，v，xu，Vt，vu，Xt，v）|×e-σrrutx，xs{Xt，xs>-五十} ds×E-σrrutx，xs{Xt，xs<-五十} ds- 1..集τt，x-L=inf{s≥ t:Xt，xs≤ -五十} 。一个有1{Xt，xs<-L}≤ 1{τt，x-L<s}所以，f或u≤ T，0≤ -σrZutXt，xs{Xt，xs<-五十} ds≤ σrZut | Xt，xs | 1{τt，x-L<s}ds≤ σrZTt | Xt，xs | ds 1{τt，x-L≤T}。那么，谢谢≤U≤Te-σrrutx，xs{Xt，xs>-五十} dsE-σrrutx，xs{Xt，xs<-五十} ds- 1.≤ eσrRTt | Xt，xs | dseσrRTt | Xt，xs | ds- 1.{τt，x-L≤T}≤ 2e2σrRTt | Xt，xs | ds{τt，x-L≤T}通过插入| F（T，y，v，x）- 飞行高度（t，y，v，x）|≤ σrCE监督≤U≤T | f（u，Yt，y，v，xu，Vt，vu，Xt，vu）| e2σrRTt | Xt，xs | ds{τT，x-L≤T}≤ σrCE监督≤U≤T | f（u，Yt，y，v，xu，Vt，vu，Xt，vu）| e4σrRTt | Xt，xs | ds1/2P（τt，x）-L≤ T）1/2。因为f在空间变量中有多项式增长，在时间变量中是一致的，根据标准估计，我们得到了th at supt≤U≤T | f（u，Yt，y，v，xu，Vt，vu，Xt，v）|拥有所有的时刻。此外，对于aBrownian运动W，sup0<s<T | Ws |具有任意阶的有限指数矩，这使得e4σrRTt | Xt，xs | ds具有任意阶的有限矩。

由此得出| F（t，y，v，x）- FL（t，y，v，x）|≤ CP（τt，x）-L≤ T）1/2。至于上述概率，回想一下Xt，xs=xe-κr（s）-t） +Rste-κr（s）-u） dWuso thatP（τt，x）-L≤ T）=P（infs∈[t，t]Xt，xs<-五十） =Pinfs∈[t，t]xe-κr（s）-t） +Zste-κr（s）-u） dWu< -L≤ P小吃∈[t，t]ZsteκrudWu> L+xe-κr（T-（t）≤ 2经验-|L+xe-κr（T-t） | RTte2κrudu.通过在上面插入，我们得到了结果。5.3进一步强调，引入阈值-我允许一个人修改折扣条款。为了让折扣消失，一种方法是使用由几位作者开发的转换函数（参见Haentjens和In\'t Hout[25]以及其中的参考文献）。这对于欧式期权（PIDE问题）来说是一个很好的事实，相反，在处理美式期权（障碍PIDE问题）时，这是一个非决定性的工具。让我们看看原因。首先，让我们回到三元组（Y，V，X）的模型，见（2.5）。独立发电机isLtu=σrx+~nt- η -五、yu+κV（θV）- v）似曾相识- κrx徐+五、yu+σVvvvu+xxu+2ρσVvy vu+2ρ√五、徐燕英+Z+∞-∞[u（t，y+ξ；v，x）- u（t，y；v，x）]ν（ξ）dξ。（5.10）我们设g（t，x）=EE-σrRTtXt，xsds.回想一下（参见[31]）g（t，x）=e-xσr∧（t，t）-σr2κr∧（t，t）-T+T）-σr4κr∧（t，t），λ（t，t）=1- E-κr（T-t） κr（5.11）和G解偏微分方程甘油三酯- κrxxG+xxG- σrxG=0，t∈ [0，T），x∈ R、 G（T，x）=1。（5.12）引理5.4让Lt表示最小的生成器in（5.10）。Setu=u·G-1.那么tu+Ltu- xu=Gtu+Ltu,式中Lt=Lt- σr1- E-κr（T-t） κrρ√五、y+十、.证据由于G只依赖于t和x，直接的计算给出tu+Ltu- xu=Gtu+Ltu+ xG（t，x）ρ√五、于+徐+ U甘油三酯- κrxxG+xxG- σrxG.根据（5.12），最后一项为空。下面的声明如下：xln G（t，x）=-σr1-E-κr（T-t） κr。

我们注意到，算子tin引理5.4是跳跃微分过程（Y，V，X）的最小生成器，它解决了（2.5）中的随机微分方程，具有相同的微分系数和跳跃项，但具有新的漂移系数uY（t，V，X）=uY（V，X）-σr1- E-κr（T-t） κrρ√v、 uv（v）≡ uV（V），uX（X）=uX（t，X）-σr1- E-κr（T-t） κr.让我们首先讨论g=0（欧洲选项）情况下F的方案（5.1）。引理5.4通过传递给关联的PIDE，表示F（t，y，v，x）=G（t，x）F（t，y，v，x），其中F（t，y，v，x）=E（E-RTt~nsdsf（T，Yt，y，v，xT，Vt，Vt，xT，xT））。因此，在实践中，必须对函数F进行数值计算。通过使用我们的混合树/单位差异方法，这意味着考虑（5.4）中的方案，使用新的系数αn，k，j（从新的漂移系数开始写入），但折扣仅取决于（确定性）函数ν，即-（σrxnj{xnj>-五十} +~nnh）由e-~nnhh。命题5.1的证明表明一个人得到skfh（0，·）k≤ 最大值γT，e2λcT-PNn=0~nnhhkf（T，·）kN。换句话说，通过使用适当的变换，欧洲方案总是稳定的，不需要任何保留。现在让我们讨论一下美国的情况，即g=f的方案（5.1）。我们可以考虑使用上述变换，以摆脱依赖于过程X的指数依赖。SetagainF（t，y，v，X）=g（t，X）-1F（t，y，v，x）。引理5.4通过使用相关的障碍PIDE问题，建议F（t，y，v，x）=supτ∈Tt，TE（e）-Rτt~nsdsf（τ，Yt，y，v，xτ，Vt，vτ，Xt，xτ）），其中f（t，y，v，x）=G-1（t，x）f（t，y，v，x）。因此，为了数值计算F，我们需要用新的系数αn，k，j建立方案（5.4），其中F替换为F，g=F，贴现因子e-（σrxnj{xnj>-五十} +~nnh）hredby e-~nnhh。因此，我们可以再次取消折扣的无限部分。

尽管如此，令人不快的一点是，即使kf（T，·）KNA是一个在N中是一致的界，那么kf（T，·）KNM可能没有，因为G-1（t，x）有一个包含x的指数，参见（5.11）。换句话说，无界性问题现在出现在障碍中。6.混合蒙特卡罗和树/有限差分法算法在实践中本节专门介绍我们的数值实验。我们首先恢复我们算法的主要步骤，然后介绍几个数值测试。6.1算法中主要计算步骤的示意图为了总结，我们在这里继续介绍两种算法的主要计算步骤。首先，关于二元树的构造，程序需要以下预处理步骤：（T1）在N个子区间[nh，（N+1）h]，N=0，N-1，h=T/N；（T2）对于过程V，设置二叉树vnk，0≤ K≤ N≤ N、 通过使用（3.1），然后计算跳跃节点ka（N，k）和跳跃概率pVa（N，k），a∈ {u，d}，由我们ing（3.3）-（3.4）和（3.7）；（T3）对于过程X，设置二叉树xnj，0≤ J≤ N、 通过使用（3.2），然后计算跳跃节点jb（N，j）和跳跃概率pXb（N，j），b∈ {u，d}，使用（3.5）-（3.6）和（3.8）；（T4）对于二维过程（V，X），合并二元树（vnk，xnj）中的二叉树，0≤ k、 j≤ N≤ N、 通过使用（3.9），然后计算跳跃N常微分（ka（N，k），jb（N，j））和跃迁概率pab（N，k，j），（a，b）∈ {d，u}，使用（3.10）。（V，X）的二元树现在已经确定。我们的混合树/有限差分算法可以如下所示：（FD1）为所有PID的解设置网格；（FD2）对于每个节点（vN，k，xN，j），0≤ k、 j≤ N、 计算每个yi，i的到期期权价格∈ YM，通过使用Payoff函数；（FD3）对于n=n-1.

0：对于每个（vnk、xnj），0≤ k、 j≤ n、 计算每种期权的期权价格∈ YM，通过求解线性系统（4.20）。注意，在每个时间步n，我们只需要时间间隔[nh，（n+1）h]内的一步PIDE溶液。此外，根据波动率和利率成分在二元树上的位置，在第n步中（常数）皮德系数和柯西最终条件都会发生变化。我们通过简要回顾混合蒙特卡罗方法的主要步骤得出结论：（MC1）让链（^Vhn，^Xhn）为n=1演化，N，遵循（T4）中的概率结构；（MC2）生成, . . . , 镍。i、 d.与驱动链条的噪音无关的标准正常r.v.（^Vh，^Xh）；（MC3）生成Kh，KNhi。i、 d.参数λh的正泊松r.v.，独立于链（^Vh，^Xh）和高斯r.v, . . . , N、 每N=1，N、 如果Knh>0模拟相应的振幅测井（1+Jn），对数（1+JnKnh）；（MC4）从^Yh=Y开始，计算近似值^Yhn，1≤ N≤ N，使用（3.14）；（MC5）遵循所需的蒙特卡罗方法（在美式期权的情况下，采用欧式或Longsta ff-Schwartz算法[33]），重复上述模拟方案，并计算期权价格。备注6.1在接下来的第6.2节中，我们还将在标准贝茨模型中进行数值实验，即在恒定利率下进行。回想一下，在标准贝茨模型中，动态降低了TODST-= （r）- η） dt+pVtdZSt+dHt，dVt=κV（θV- Vt）dt+σV√VtdZVt，（6.1）带S，V>0，r≥ 0常数参数，dhZS，ZVit=ρdt，|ρ|<1，这是第2节中已经介绍的复合泊松过程，见（2.2）。我们也可以将我们的混合方法应用于这种情况：除了为过程X构建二叉树之外，只需遵循上面列出的计算步骤即可。

因此，我们不需要（V，X）的二元树，具体地说，我们省略了步骤（T3）-（T4），并用（MC1\'）替换步骤（MC1），让n=1的链^Vhnevolve，N、 遵循（T2）中的概率结构。当然，在所有计算中，除了起始值r之外，我们将r的动力学参数设置为0。特别是，我们有σr=0和φt=r的eve ry t。备注6.2我们观察到，为了通过混合树/有限差分程序计算期权价格，在步骤（FD3）中，我们需要多次求解三对角系统（4.20）。这通常是通过O（M）操作中的LU分解方法解决的（回想一下，GridValue的总数是1）∈ YMis 2M+1）。然而，由于积分项（4.9）的近似，在每一个时间步n<n，我们必须计算sumXun+1i+lν（ξl），（6.2），这是算法这一部分中计算成本最高的一步：当直接应用时，需要O（M）运算。在Premia软件实现[37]之后，在我们的数值测试中，我们使用快速傅里叶变换来计算项（6.2），这一步的计算成本降低到O（M logm）。根据Bates（分别是Bates-Hull-White）模型，混合算法需要N（N+1）/2（分别是N（N+1）/2））个线性系统的分辨率，每个分辨率都具有线性复杂度。