期权定价混合方法的数值稳定性

因此，总体复杂度为O（NM log M）（分别为O（NM log M））。6.2数值结果我们开发了几个数值结果，以评估杂交树/有限差分法和混合蒙特卡罗法在普通香草选项情况下的效率和稳健性。Monte Carlo结果源自我们的混合模拟，对于美式期权，Longstaff和Schwartz在[33]中使用了Monte Carlo算法。我们首先提供了标准贝茨模型的结果（见备注6.1），其次，对于假设利率过程是随机的情况，请参见（2.1）。根据Chiarella等人[16]，在我们的数值测试中，我们假设对数返回的跳跃是正常的，即对数（1+J）~ Nγ -δ, δ, （6.3）N表示高斯定律（我们还注意到[16]中的结果对应于选择γ=0）。在第6.2.1节中，我们首先将我们的结果与Chiarella等人[16]提供的结果进行比较。在第6.2.2节中，我们研究了大到期日和伐木条件未满时的期权。最后，第6.2.3节介绍了随机利率贝茨模型中欧式和美式期权的测试实验。这些代码是用C++语言编写的，所有的计算都是在一台2.9 GHz、内存为8 Gb的PC机上以双精度进行的。6.2.1标准贝茨模式lWe指（6.1）中的标准贝茨模式。在我们正在处理的欧洲和美国期权合同中，我们考虑了以下一组参数，这些参数已经在Chiarella等人提供的数值结果中使用。

[16] ：初始价格S=80、90、100、110、120，履约价格K=100，到期日T=0.5；（不变）利率r=0.03，股息率η=0.05；初始波动率V=0.04，长期平均值θV=0.04，平均回复速度κV=2，vol-volσV=0.4，相关性ρ=-0.5, 0.5; 强度λ=5，跳跃p参数γ=0和δ=0.1（回忆（6.3））。众所周知，ρ>0的情况可能会导致断层爆炸，请参阅。e、 g.[4]。然而，为了与Chiarella等人[16]的研究进行比较，我们在这里也报告了该病例的结果。为了使用有限差分格式数值求解PIDE，我们首先将变量和积分项局部化到边界域。为此，我们使用Voltchkova和Tankov[42]给出的局部化域和大跳跃截断的估计。例如，对于前一个模型参数，PIDE p问题在有限区间[ln S]内求解- 1.59，Lns+1.93]。混合树/有限差分法HTFD的数值研究分为两种情况：时间步长Nt=50和可变网格y=0.01,0.005,0.0025,0.00125；HTFDb：时间步长Nt=100和可变网格y=0.01,0.005,0.0025,0.00125。关于蒙特卡罗方法，我们给出了第3.3节混合模拟方案的结果，我们称之为HMC。我们给出了CIR随机波动过程的精确三阶阿方西[2]离散格式和利率的精确格式的比较。此外，我们还以标准方式模拟了跳跃分量。由此产生的蒙特卡洛方案在这里被称为AMC。

我们考虑了不同次数的蒙特卡罗迭代和两种情况下的时间离散化步骤迭代：HMCa和AMCa:Nt=50和NMC=10000、50000、100000、200000；HMCb和AMCb:Nt=100和NMC=10000、50000、100000、200000。所有蒙特卡罗结果包括相关的95%置信区间。表1列出了欧洲看涨期权的价格。与[15]中使用卡尔·马丹定价公式CF获得的基准值进行了比较，该公式应用了快速傅立叶变换方法（参见Premia软件实现[37]）。在表2中，我们提供了美式看涨期权价格的结果。在这种情况下，我们将通过使用[17]中的线方法（称为MOL）获得的值与网格参数200个时间步长、250条波动线、2995个资产网格点进行比较，并将带有网格参数1000、3000、6000的PSOR方法（Chiarella等人[16]将其用作真解）进行比较。此外，我们考虑了AMC和HMC的Longstaff-Schwartz[33]蒙特卡罗算法。特别是RHMCLSA和AMC LSa：10个锻炼日期，Nt=50，NMC=10000、50000、100000、200000；HMCLSb和AMCLSb：20个锻炼日期，Nt=100，NMC=10000、50000、100000、200000。表3和表4给出了ρ=-欧洲和美国分别为0.5。为了研究我们的方法HTFD的收敛行为，我们考虑了[20]中提出的收敛性，定义为比率=PN-PNPN- PN，（6.4），其中PN表示通过N=时间步数获得的近似价格。重新调用PN=O（N-α） 意味着比值=2α。表5表明，HTDF bis的收敛率近似线性。表1-4中的数值结果表明，在Bates模型中，HTFD对于欧洲和美国的价格期权是准确、可靠和有效的。

此外，我们的混合蒙特卡罗算法HMC似乎与AMC具有竞争性，即阿方西[2]的模拟结果：数值结果在精度和方差方面相似，但从计算时间的角度来看HMC确实更好。此外，由于其简单性，HMC代表了AMC的一个真实而有趣的替代方案。为了进一步证明我们的混合方法的准确性，在图2和图3中，我们使用HTFDa和HMCa研究了隐含波动率微笑在货币和到期日T之间的形状。我们将图s与基准值CF的结果进行比较。

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