期权定价混合方法的数值稳定性

我们回到（2.5）：通过隔离√vtdw在第二行和第三行，我们得到dyt=u（Vt，Xt，t）dt+ρpVtdWt+ρσVdVt+ρpVtdXt+dNt（3.11），其中u（v，x，t）=uY（v，x，t）-ρσVuV（V）- ρ√vuX（X）=σrx+νt- η -五、-ρσVκV（θV）- v） +ρκrx√v（3.12）（分别在（2.6）、（2.7）和（2.8）中定义了μY、μv和μX）。为了对（3.11）进行数值求解，我们主要利用噪声Wand N独立于过程V和X的事实。因此，我们采用近似树（^Vhn，^Xn）N=0,1，。。。，N-1如第3.1节所述，我们设置了（\'Vht，\'Xht）t∈[0，T]=（^Vh）t/h,^Xht/h)T∈[0，T]与（V，X）相关的时间连续c`adl`ag近似过程。然后，我们在（3.11）的系数中插入（V，X）的离散化（\'Vh，\'Xh）。因此，最终过程“Yh”近似Y设置为以下值：“\'Yh=Yand”表示t∈ （nh，（n+1）h]n=0，1，N- 1“Yht=”Yhnh+u（\'Vhnh，\'Xhnh，nh）（t）- nh）+ρq′Vht（Wt- Wnh）+ρσV（\'Vht-\'Vhnh）+ρq\'Vht（\'Xht-\'-Xhnh）+（Nt-Nnh）。（3.13）3.3 Monte Carlo方法让我们展示如何通过对耦合（V，X）使用树近似（3.9）和对Y分量使用Eu ler方案（3.13）f来模拟单个路径。设（^Yn）n=0,1，。。。，Nbe在时间nh，n=0，1，…，近似于Y的序列，N，根据（3.13）中的模式：^Yh=Yand代表t∈ [nh，（n+1）h]带n=0，1，N- 1然后^Yhn+1=^Yhn+u（^Vhn，^Xhn，nh）h+ρqh^Vhnn+1+ρσV（^Vhn+1）-^Vhn）+ρq^Vhn（^Xhn+1-^Xhn）+（N（N+1）h- Nnh），其中u在（3.12）中定义，以及, . . . , Ndenote i.i.d.标准正常r.v.，独立于驱动链条的噪音（^v，^X）。N（N+1）h的模拟-n这很简单：第一代泊松r.v.Kn+1hof参数λh，如果Kn+1h>0，那么对数振幅log（1+Jn+1k）fork=1，Kn+1模拟。

然后，复合泊松过程的观察跳跃被写为模拟对数振幅之和，因此^Yhn+1=^Yhn+u（^Vhn，^Xhn，nh）h+ρqh^Vhnn+1+ρσV（^Vhn+1）-^Vhn）+ρq^Vhn（^Xhn+1-^Xhn）+Kn+1hXk=1log（1+Jn+1k），（3.14），其中，如果Kn+1h=0，最后一个和被设置为0。上述模拟方案很简单：在每个时间步n≥ 1，让配对（V，X）在树上演化，并使用（3.14）模拟过程Y。我们将此过程称为混合蒙特卡罗算法，“混合”一词与考虑两个不同噪声源的事实有关：我们模拟空间中的连续过程（成分Y），从s空间中的离散过程开始（V，X的树）。为了建立计算期权价格函数的蒙特卡罗程序（2.10），将在下一节第6节中使用刚才描述的模拟。在美式期权的情况下，模拟与Longsta off和Schwartz在[33]中提出的蒙特卡罗算法相结合。4混合树/有限差分法（2.10）中的期权价格通常通过标准反向动态规划算法计算。所以，考虑将时间间隔[0，T]离散为N个长度为h=T/N的子间隔。然后，价格P（0，Y，V，X）通过（Ph（T，Y，V，X）=ψ（Y）和as n=n向后给出的量（0，Y，V，X）进行数值近似- 1.0，Ph（nh，y，v，x）=maxnbψ（y），e-（σrx+~nnh）他酸碱度（n+1）h，Ynh，y，v，x（n+1）h，Vnh，v（n+1）h，Xnh，x（n+1）ho、 （4.1）对于（y，v，x）∈ R×R+×R，其中bψ（y）=（在欧洲情况下为0，在美国情况下为ψ（y）。所以，我们需要的是对上述动态编程原理中出现的期望值的一个很好的近似。

这是我们首先处理的问题，从第3.4.1节中介绍的离散过程（\'Yh，\'Vh，\'Xh）开始，局部一维部分积分o微分方程“Yh”表示（3.13）中的过程。如果我们设置“Zht=”Yht-ρσV（`Vht）-\'\'Vhnh）- ρq\'Vhnh（\'Xht-\'-Xnh），t∈ [nh，（n+1）h]（4.2）那么我们有（μ在（3.12）中给出）d\'Zht=u（\'Vhnh，\'Xhnh，nh）dt+ρq\'VhnhdWt，+dNtt∈ （nh，（n+1）h]，\'Zhnh=\'Yhnh，（4.3）也就是说，\'ZH求解一个具有常数系数的跳跃扩散随机方程，时间从\'Yhnh\'开始。现在来看函数f：我们对计算感兴趣（f（Y（n+1）h）|Ynh=Y，Vnh=v，Xnh=x）。实际上，我们需要一个完整变量（y，v，x）的函数f，但目前变量y是最重要的一个，我们将在后面看到（v，x）的引入是简单的。因此，我们通过对近似过程的数值计算来计算上述期望，即Ef（\'Yh（n+1）h）| Yhnh=y，\'Vhnh=v，\'Xhnh=x= Ef（\'Zh（n+1）h+ρσV（\'Vh（n+1）h）-\'Vhnh）+ρq\'Vhnh（\'Xh（n+1）h-\'Xhnh]|\'Zhnh=y，\'Vhnh=v，\'Xhnh=x,其中我们使用了“Zhin（4.2）”流程。

由于（\'Vh，\'Xh）独立于布朗伊恩噪声，并且在复合泊松过程N驱动\'Zhin（4.3），我们有以下内容：我们设置ψf（ζ；y，v，x）=E（f（\'Zh（N+1）h+ζ）| Zhnh=y，\'Vhnh=v，\'Xhnh=x）（4.4），我们可以编写（f（\'Yh（N+1）h=y，\'nh Vhnh=x）=ψfρσV（`Vh（n+1）h-\'-Vhnh）+ρ√v（`Xh（n+1）h-“Xhnh”；y、 v，x\'Vhnh=v，\'Xhnh=x.（4.5）现在，为了计算（4.4）中的量ψf（ζ），我们考虑一个通用函数g和setu（t，y；v，x）=E（g（\'Zh（n+1）h）| Zht=y，\'Vht=v，\'Xht=x），t∈ [nh，（n+1）h]。通过（4.3）和Feynman-Kac表示公式，我们可以说明，对于每个固定的x∈ R和V≥ 0，函数（t，y）7→ u（t，y；v，x）是(tu（t，y；v，x）+L（v，x）u（t，y；v，x）=0y∈ R、 t∈ [nh，（n+1）h），u（（n+1）h，y；v，x）=g（y）y∈ R、 （4.6）其中L（v，x）是积分微分算子L（v，x）u（t，y；v，x）=u（v，x）余（t，y；v，x）+ρvyu（t，y；v，x）+Z+∞-∞[u（t，y+ξ；v，x）- u（t，y；v，x）]ν（ξ）dξ（4.7），其中u在（3.12）中给出，而ν是与复合泊松过程N相关联的L’evy度量，见（2.9）。我们在这里假设L’evy测度是绝对连续的（实际上，我们使用的是高斯密度），但很明显，我们将要描述的过程可以向前扩展到其他情况。4.1.1有限差分和数值求积为了数值计算nh时PIDE（4.6）的解，我们推广了[8,9]中已经开发的方法：我们将一步有限差分算法应用于问题的差分部分，现在使用求积规则来近似积分项。我们首先在y轴y={yi=y+i上定义一个有限网格y} 我∈Z、 与y=yi- 易-1.我∈ Z

对于固定n和给定x∈ R和v≥ 0，我们将（4.6）的离散解设置为（nh，yi；v，x）在网格Y的点yi上的时间nh处——为了简化符号，在后文中我们不强调对（v，x）的依赖性。首先，为了数值计算（4.7）中的积分项，我们需要将有限积分域截断为一个有界区间I，取足够大的值，以便ziν（ξ）dξ≈ λ. （4.8）就过程而言，这相当于截断大跳跃。我们假设ν的尾部迅速减少——这并不是真正的限制性，因为应用模型通常要求ν的尾部以指数形式减少。因此，我们取R∈ N足够大，集合I=[-Ry、 +Ry] 并以相同的步长应用于（4.8）网格y上的梯形规则y之前定义过。那么，对于ξl=ly、 l=-RR、 我们是h+RY-Ry[u（t，y+ξ）- u（t，y）]ν（ξ）dξ≈ yRXl=-R（u（t，y+ξl）- u（t，y））ν（ξl。（4.9）我们注意到yi+ξl=Y+（i+l）Y∈ Y、 因此，任何i，l的数值表格Y上都明确规定了u（t，yi+ξl）的值。这些是技术设置，可以针对不同的l’evymeasuresν进行修改和校准。但在实践中，我们无法在整个实线上解决PIDE问题。因此，我们必须选择特殊边界并施加数值边界条件。我们取一个正整数M>0，然后定义一个有限的网格YM={yi=Y+iy} 我∈JM，其中JM={-MM} ，我们假设M>R。注意y=yi∈ 然后（4.9）中的积分项分为两部分：一部分涉及落入数值域YM的节点，另一部分涉及脱离YM的节点。例如，在时间t=nh时，我们有rxl=-Ru（nh，yi+ξl）ν（ξl）≈RXl=-Runi+lν（ξl）=Xl:|l|≤R、 | i+l|≤Muni+lν（ξl）+Xl:|l|≤R、 |i+l |>Muni+lν（ξl），其中un·代表f或（未知）不属于有限数值域YM的值。

这意味着我们必须选择一些合适的艺术边界条件。在金融方面，文献[19]表明，边界条件的一个好选择是Payoff函数。虽然这是我们在数值实验中要做的选择，但为了通用性起见，我们在这里假设边值you tside ym将被确定为uni=b（nh，yi），其中b=b（t，y）是[0，t]×R中定义的固定函数。回到数值格式来求解方程（4.6）的微分部分，正如[9]中所述，我们采用隐式时间近似。然而，为了避免在每个时间步长上求解一个具有稠密矩阵的线性系统，非局部积分项无论如何都需要一个明确的时间近似。然后我们得到了[19]和[11]中提出的隐式-显式（以下简称IMEX）方案。请注意，可能会应用更复杂的IMEX方法，请参见f或实例[12,38]。让我们相信，这些技术可以用于我们的框架，更准确，但成本更高。如[9]所述，为了获得更高的精度，我们对空间中的一阶和二阶导数都使用了中心近似。然后，通过解决以下离散问题，根据时间（n+1）h的已知值un+1计算出UNA时间nh的离散解：∈ JM，un+1i- unih+~uY（v，x）uni+1- 大学-12y+ρvuni+1- 2uni+uni-1.y+yRXl=-Run+1i+l- un+1iν（ξl）=0。（4.10）然后我们得到解un=（un-MunM）t通过求解以下线性系统A un=Bun+1+d，（4.11），其中A=A（v，x）和B是（2M+1）×（2M+1）矩阵，d是（2M+1）维边界向量，定义如下。1.矩阵A。从（4.10）中，我们将A设为A给出的三对角实矩阵=1 + 2β -α - βα - β 1 + 2β -α - β.........α - β 1 + 2β -α - βα - β 1 + 2β, （4.12）α=h2yu（nh，v，x）和β=h2yρv，（4.13）u在（3.12）中定义。

我们强调的是，在每个时间步n，数量v和x都是常量和已知值（由（v，x）的树程序定义），然后α和β是常量参数。2.矩阵B。同样从（4.10）中，B是由B=I+h给出的（2M+1）×（2M+1）实矩阵Yν(0) - Λ ν(y） 。ν（R） y） 0ν(-y） ν（0）- Λ ν(y） 。ν（R）y） 。。。。。。。。。0 ν(-Ry） 。ν(-y） ν（0）- Λ, （4.14）式中，I是单位矩阵，∧=RXl=-Rν（ξl）。边界向量d，向量d∈ R2M+1包含数值边界值：d=anb+an+1b，（4.15），其中anb=（（β）- α） bn-M-1, 0, . . . , 0，（β+α）bnM+1）T∈ R2M+1和an+1b∈ R2M+1是这样的（an+1b）i=HY-M-我-1Xl=-Rν（xl）bn+1i+l，对于i=-M- M+R- 1,0表示i=-M+R，M- R、 hyRXl=M-i+1ν（xl）bn+1i+l，对于i=M- R+1，M- 1，其中我们使用了标准符号bni=b（nh，yi），i∈ 吉咪。在实践中，我们使用高效算法数值求解线性系统（4.11）（见nextRemark 6.2）。我们注意到（4.11）的解确实存在，因为对于β6=|α|，矩阵a（v，x）是可逆的（参见[14]中的定理2.1）。然后，在时间nh，对于每个固定的v≥ 0和x∈ R、 我们近似解y7→ 用离散解un={uni}i表示网格点yi上（4.6）的u（nh，y；v，x）∈JM，它反过来是根据值un+1={un+1i}i来写的∈JMat time（n+1）h.换句话说，我们setu（nh，yi；v，x）≈ 大学，我∈ JM，其中un=（uni）i∈jmsolved（4.11）（4.16）4.1.2最终的局部有限差近似我们现在准备好解决我们的原始问题：计算（4.4）中的函数ψf（ζ；y，v，x），从而可以数值计算（4.5）中的期望值。因此，在时间步n，在晶格Vn×Xn上选择对（v，x）：v=vnk，x=xnj为0≤ k、 j≤ N

当在（vnk，xnj）中计算时，我们称（4.12）中的矩阵A为Ank，j，在（4.15）中的时间步长n处的边界向量为dn。然后，（4.16）给出ψf（ζ；yi，vnk，xnj） uni，k，j，其中un·，k，j=（uni，k，j）i∈jm求解线性系统ank，jun·，k，j=Bf（y·+ζ）+dn。因此，通过取树跳跃的期望值w.r.t，（4.5）中的期望值最终根据上述近似值的平均值YM×Vn×XnB进行计算：E（f（\'Yh（n+1）h）| Yhnh=yi，\'Vhnh=vnk，\'Xhnh=xnj） uni，k，j，其中un·，k，j=（uni，k，j）i∈解线性方程组，jun·，k，j=Xa，b∈{u，d}pab（n，k，j）Bfy·+ρσV（vn+1ka（n，k）- vnk）+ρ√v（xn+1jb（n，j）- xnj）+ dn。最后，如果f是整个三元组（y，v，x）上的一个函数，则使用条件检验的标准属性（f（\'Yh（n+1）h，\'Vh（n+1）h，\'Xh（n+1）h）| Yhnh=yi，\'Vhnh=vnk，\'Xhnh=xnj） uni，k，j，其中un·，k，j=（uni，k，j）i∈解线性方程组，jun·，k，j=Xa，b∈{u，d}pab（n，k，j）Bfy·+ρσV（vn+1ka（n，k）- vnk）+ρ√v（xn+1jb（n，j）- xnj），vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j）+ dn。（4.17）4.2欧式和美式期权定价我们现在准备好根据动态规划原理（4.1）近似求解函数PHA。我们考虑第4.1节中讨论的离散化方案（\'Yh，\'Vh，\'Xh），并使用近似（4.17）f或必须在每个时间步n计算的条件期望。因此，对于每个点（yi，vnk，xnj）∈ YM×Vn×Xn，由（4.17）可知酸碱度（n+1）h，Ynh，yi，vnk，xnj（n+1）h，Vnh，vnk（n+1）h，Xnh，xnj（n+1）h 其中un·，k，j=（uni，k，j）i∈解线性方程组，jun·，k，j=BXa，b∈{u，d}pab（n，k，j）×Ph（n+1）h，y·+ρσV（vn+1ka（n，k）- vnk）+ρ√v（xn+1jb（n，j）- xnj，vnk，xnj），vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j）+ dn。（4.18）然后我们确定（y，v，x）的近似价格Ph（nh，y，v，x）∈ YM×Vn×Xnand n=0，1，Nas（~Ph（T，yi，vN，k，xN，j）=ψ（yi）和as n=n- 1.

0:Ph（nh，yi，vnk，xnj）=maxnbψ（yi），e-（σrxnj+~nnh）h＠uni，k，jo（4.19），其中＠un·，k，j=（＠uni，k，j）i∈jm是（4.18）中系统的解决方案，其中的phr替换为Ph。注意，（4.18）中的系统需要了解函数y7→不一定属于网格YM的Ph（（n+1）h，y，v，x）输入点y。因此，在实践中，我们通过线性插值来计算这样的函数，工作如下。对于固定的n，k，j，a，b，我们设置为，k，j，a，b（i），i∈ JM，作为指数yi+ρσV（vn+1ka（n，k）- vnk）+ρpvnk（xn+1jb（n，j）- xnj）∈ [yIn，k，j，a，b（i），yIn，k，j，a，b（i）+1），带In，k，j，a，b（i）=-M如果yi+ρσV（vn+1ka（n，k）-vnk）+ρpvnk（xn+1jb（n，j）-xnj）<-M和In，k，j，a，b（i）+1=Mif-yi+ρσV（vn+1ka（n，k）- vnk）+ρpvnk（xn+1jb（n，j）- xnj）>M.我们设置qn，k，j，a，b（i）=yi+ρσV（vn+1ka（n，k）- vnk）+ρpvnk（xn+1jb（n，j）- xnj）- 尹，k，j，a，b（一）y、 注意qn，k，j，a，b（i）∈ [0,1）.我们定义了（Ia，bPh）（（n+1）h，yi，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））=Ph（（n+1）h，yIn，k，j，a，b（i），vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））（1）- qn，k，j，a，b（i））+~Ph（（n+1）h，yIn，k，j，a，b（i）+1，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））qn，k，j，a，b（i），我们设置（n+1）h，yi+ρσV（vn+1ka（n，k）- vnk）+ρ√v（xn+1jb（n，j）- xnj），vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j）= （Ia，bPh）（（n+1）h，yi，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））。因此，从（4.18）开始，在实践中函数<<un·，k，j=（<<uni，k，j）i∈取JMin（4.19）作为线性系统的解，jun·，k，j=BXa，b∈{u，d}pab（n，k，j）（Ia，bPh）（（n+1）h，y·，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））+dn。（4.20）然后，我们可以陈述我们的最终数值程序：（~Ph（T，yi，vN，k，xN，j）=ψ（yi）和as n=n- 1.0:Ph（nh，yi，vnk，xnj）=maxnbψ（yi），e-（σrxnj+~nnh）huni，k，jo（4.21）~un·，k，j=（~uni，k，j）i∈JMS是系统的解决方案（4.20）。备注4.1在有限网格的情况下，即M=+∞, i 7→ In，k，j，a，b（i）是一种翻译：In，k，j，a，b（i）=In，k，j，a，b（0）+i。

所以，yi7→ （Ia，bPh）（（n+1）h，yi，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））只是yi7平移的线性凸组合→Ph（（n+1）h，yi，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））。5混合树/有限差分法的稳定性分析为了研究稳定性，我们考虑了（y，v，x）函数的一个范数，该范数在波动性和利率成分（v，x）方面是一致的，并且在y方向上与标准范数一致（见下文（5.6））。通过选择lnorm，可以在有限网格y={yi=y+i上的分量y中进行avon Neumann分析y} 我∈Z、 也就是说，在不截断域和不施加边界条件的情况下。因此，我们的稳定性分析没有考虑边界效应。这种方法在文献中被广泛使用，参见。g、 [21]，并给出了与边界条件无关的算法鲁棒性的良好标准。首先，让我们在有限网格Y={yi}i上明确地写下方案（4.21）∈Z.对于一个函数f=f（t，y，v，x），我们将g=f设为g=0，我们考虑由（Fh（t，yi，vN，k，xN，j）=f（t，yi，vN，k，xN，j）和as n=n给出的数值格式- 1.0:Fh（nh，yi，vnk，xnj）=maxng（nh，yi，vnk，xnj），e-（σrxnj+~nnh）huni，k，jo（5.1），其中un·，k，j=（uni，k，j）i∈zi是（αn，k，j）的解- βn，k）uni-1，k，j+（1+2βn，k）uni，k，j- （αn，k，j+βn，k）uni+1，k，j=Xa，b∈{d，u}pab（n，k，j）×h（Ia，bFh）（（n+1）h，yi，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））++hyXlν（ξl）（Ia，bFh）（（n+1）h，yi+l，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））- （Ia，bFh）（（n+1）h，yi，vn+1ka（n，k），xn+1jb（n，j））i、 （5.2）其中αn，k，jandβn，k，jare是（4.13）中定义的系数α和β，在成对（vnk，xnj）中进行评估。注意，（5.2）只是有限网格上的线性系统（4.20），带有dn≡ 0（不需要任何边界条件）。