期权定价混合方法的数值稳定性

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英文标题：
《Numerical stability of a hybrid method for pricing options》
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作者：
Maya Briani, Lucia Caramellino, Giulia Terenzi, Antonino Zanette
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We develop and study stability properties of a hybrid approximation of functionals of the Bates jump model with stochastic interest rate that uses a tree method in the direction of the volatility and the interest rate and a finite-difference approach in order to handle the underlying asset price process. We also propose hybrid simulations for the model, following a binomial tree in the direction of both the volatility and the interest rate, and a space-continuous approximation for the underlying asset price process coming from a Euler-Maruyama type scheme. We show that our methods allow to obtain efficient and accurate European and American option prices. Numerical experiments are provided, and show the reliability and the efficiency of the algorithms.
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中文摘要：
我们发展并研究了随机利率下Bates跳跃模型泛函的混合逼近的稳定性，该模型在波动率和利率的方向上使用树方法，并使用有限差分方法来处理标的资产价格过程。我们还提出了该模型的混合模拟，遵循波动率和利率方向的二叉树，以及来自Euler Maruyama型方案的基础资产价格过程的空间连续近似。我们证明了我们的方法可以获得有效和准确的欧洲和美国期权价格。数值实验表明了算法的可靠性和有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：期权定价 稳定性 Quantitative Applications Computation

pricin g optio nsMaya-Briani混合方法的数值稳定性*Lucia Caramellino+Giulia TerenziAntonino Zanette§Abstracts我们开发并研究了Batesjump模型泛函的混合近似的稳定性性质，该模型具有随机利率，在波动方向上使用树方法，并使用利率和有限差分方法来处理基础资产价格过程。我们还提出了该模型的混合模拟，遵循波动率和利率方向的二叉树，以及来自Euler Maruyama型方案的基础资产价格过程的s步连续近似。我们通过计算欧洲和美国的期权价格来检验我们的数值模式。关键词：随机波动；跳跃扩散过程；欧洲和美国的选择；树方法；有限的差异；数值稳定性。2000理学硕士：91G10，60H30，65C20。1简介继[8,9]中的工作之后，我们进一步开发和研究了混合树/有限差分法和混合蒙特卡罗技术，以便对期权价格进行数值评估。我们在这里关注的是对欧式期权和美式期权数值格式稳定性的理论研究。此外，在本文中，我们通过考虑Bates模型[7]来强调该模型（以及相关的数值过程），该模型可能与Vasicek动力学[41]之后的随机利率相耦合，我们将整个模型称为Bates-Hull-White。我们处理的期权定价树/有限差分法源自于对波动率和利率成分的方向应用简单（重组二项式）树方法，而资产价格成分则通过一维部分积分差分方程（PIDE）进行局部处理，其中应用了有限差分方案。

在这里，来自jum ps的非局部项的数值处理涉及隐式-显式技术以及数值模拟。该程序适用于其他相当普遍的随机波动模型（见[10]）或保险问题（见[23]）。我们在这里把注意力集中在*卡尔科洛应用研究所，罗马中央电视台-m。briani@iac.cnr.it+马特马蒂卡大学、罗马维加塔大学和因达姆·格南帕大学caramell@mat.uniroma2.it罗马维加塔大学马特马蒂卡分校和巴黎东部大学喇嘛分校terenzi@mat.uniroma2.it§乌迪内大学经济统计科学研究所-安东尼诺。zanette@uniud.itBates-赫尔-怀特模型，并给出了数值稳定性的结果。让我们提到，出于这个目的，我们从不要求波动过程的Cox-Ingersol-Ross（CIR）动力学[18]的Feller条件有效。在普通欧式期权的情况下，傅立叶反演方法[15]导致了在贝茨模型下计算价格的闭式公式。对于美式期权，数值方法通常基于动态规划原理的使用，该原理适用于数值分析和/或树方法或蒙特卡罗技术中的PIDE解决方案的确定性方案。

我们的方法是树方法和确定性数值方法的混合，特别适合使用反向动态编程原理。让我们回顾一下，文献中已经提出了赫斯顿模型的树方法。例如，Akyildirim、Dolinsky和Soner[1]最近提供了一个四元组离散Markovapproximation，它可以推广到其他具有因子方程的随机波动率模型。Lo、Nguyen和Skindilias[32]提出了基于三项式树的马尔可夫链近似，同样适用于其他随机波动率模型。Vellekoop和Nieuwenhuis[40]引入了一种二叉树，它是根据Lord、Koekkoek和Dijk[34]的完全截断方案构建的。赫斯顿模型的其他TreeApproach可用（参见[40]中引用的参考文献）。通常，CIR波动率方程的Offeller条件是必需的，无论是出于理论目的还是为了该方法的数值效率。另一个工具是PDE的离散化。当不考虑跳转时，在[8,9]中调用可用的引用。在标准贝茨模型中，用于解决与期权定价问题相关的二维PI DE的有限差分方法可以基于隐式、显式交替方向隐式方案。隐式格式要求每个时间步求解一个稠密稀疏系统。Toivanen[39]提出了一种用于公共选择的组件分割方法。在Ballestra和Cecere[10]中，这个问题是通过使用一种特殊的伪谱方法来处理的。Chiarella、Kang、Meyer和Ziogas[16]开发了一种直线法算法，用于定价和对冲美式期权，再次使用标准的贝茨动力学。

Itkin[28]最近提出了一种统一的方法来处理与列维的金融兴趣模型相关的PIDE。从模拟的角度来看，主要问题在于波动过程的循环动力学处理。已经专门为CIR路径的模拟开发了几种高效准确的方法，如阿方西[2]、安徒生[3]、洛德、科克科克和迪克[34]奥卡尔和杰克尔[29]。我们在这里提出了一种混合蒙特卡罗技术：我们将波动率和利率成分的近似树模拟与基础资产价格的标准模拟结合起来，基于布朗增量和跳跃的直接处理。在美式期权的情况下，这与Longstaff和Schwartz算法[33]有关，允许处理动态规划原则。数值结果与Alfonsi的三阶模拟格式进行了比较。论文的结构如下。在第2节中，我们将介绍贝茨-赫尔-怀特模型。第3节我们调用了波动率和利率对的树形过程（第3.1节），描述了对数价格过程的离散化（第3.2节）和混合蒙特卡罗模拟（第3.3节）。第4节介绍了混合树/有限差分法：我们为相关的局部PIDE问题（第4.1节）设置了数值模式，并将其应用于整个定价方案的解决方案（第4.2节）。第5节致力于分析结果树/有限差分法的数值稳定性。第6节介绍了我们方法的实际应用。

本文广泛讨论了数值结果和比较。2贝茨-赫尔-怀特模型贝茨模型[7]是一个随机波动率模型，具有价格跳跃：基础资产价格的动态由赫斯顿随机波动率[26]和默顿[35]最初引入的复合泊松跳跃过程驱动。我们允许利率遵循一个随机模型，我们假设它是一个广义的Ornstein-Uhlenbeck（以下简称OU）过程。更准确地说，股票价格S的风险中性度量、波动过程V和利率r下的动力学由以下跳差模型给出：dStSt-= （rt）- η） dt+pVtdZSt+dHt，dVt=κV（θV- Vt）dt+σV√VtdZVt，drt=κr（θr（t）- rt）dt+σrdZrt，（2.1），其中η表示连续股息率，S，V，r>0，ZS，zv和zr是相关的布朗运动，H是强度为λ的复合泊松过程，i.i.d.跳跃{Jk}k，isHt=KtXk=1Jk，（2.2）k表示强度为λ的泊松过程。我们假设泊松过程K，振幅{Jk}和三维相关布朗运动（ZS，ZV，Zr）是独立的。正如Grzelak和Oosterlee在[24]中所指出的，控制成对（S，V）和（S，r）的噪声之间存在显著的相关性。因此，正如在[9]中所做的，我们假设这对（ZV，Zr）是Rand zs中的标准布朗运动，是R中的布朗运动，它与ZV和Zr都相关：dhZS，ZVit=ρdt和dhZS，Zrit=ρdt。我们记得，波动过程V遵循CIR动力学，平均逆转率κV、长期方差θ和σV决定了vol（波动的波动性）。我们假设θV，κV，σV>0，并且我们强调，我们在本文中从未要求CIR过程满足Feller条件2κVθV≥ σV，确保过程V永远不会达到0。

所以，我们允许波动率V达到0。利率RTI由广义OU过程描述，特别是θris随时间变化但具有确定性，满足零息票债券市场价值，详情参见[13]。正如在[27]中已经做过的那样，我们将过程r写为：rt=σrXt+int（2.3），其中xt=-κrZtXsds+Zrtand~nt=re-κrt+κrZtθr（s）e-κr（t-s） ds。（2.4）从现在开始，我们设置zv=W，Zr=W，ZS=ρW+ρW+ρW，其中W=（W，W，W）是标准的布朗运动，相关参数ρ由ρ=q1给出- ρ- ρ, ρ+ ρ≤ 1.通过将第一个分量中的对数Y=ln S，通过考虑上述相关性，并考虑（2.3）-（2.4）中的过程X，我们得到了由dyt=uY（Vt，Xt，t）dt给出的三重（Y，V，X）+√及物动词ρdWt+ρdWt+ρdWt+ dNt，Y=ln-S∈ R、 dVt=uV（Vt）dt+σV√VtdWt，V>0，dXt=uX（Xt）dt+dWt，X=0，（2.5），其中uY（V，X，t）=σrx+νt- η -v、 （2.6）uv（v）=κv（θv）- v） ，（2.7）uX（X）=-κrx，（2.8）和nTi是通过泊松过程K写成的复合泊松过程，强度为λ，和i.i.d.跳跃s{log（1+Jk）}K，即不=KtXk=1log（1+Jk），回想一下，K，跳跃振幅{log（1+Jk）}和三维标准布朗运动（W，W，W）都是独立的。我们还记得，与N相关的L′evy度量是由ν（dx）=λP（log（1+J）给出的∈ dx），当log（1+J）是绝对连续的时，则ν也有一个密度：ν（dx）=ν（x）dx=λplog（1+J）（x）dx，（2.9）plog（1+J）表示log（1+J）的概率密度函数。例如，在默顿模型[35]中，假设log（1+J）具有正态分布——这是我们将在数值实验中进行的选择，正如Chiarella等人[16]所做的那样。但可以选择其他跳跃幅度测量。

例如，在Kou模型[30]中，对数（1+J）定律是指数定律的混合物：plog（1+J）（x）=pλ+e-λ+x{x>0}+（1）- p） λ-eλ-x{x<0}，表示A的指示函数。这里，参数λ±>0分别控制负跳跃和正跳跃分布尾的减少，p是正跳跃的概率。我们将转换为Y=ln S。如果ψ（Y）表示写在原木价格上的支付，则期权价格P=P（t，Y，v，x）由欧洲价格给出：P（t，Y，v，x）=EE-RTt（σrXt，xs+~ns）dsψ（Yt，y，v，xT）,美国价格：P（t，y，v，x）=supτ∈Tt，TEE-Rτt（σrXt，xs+~ns）dsψ（Yt，y，v，xτ）,（2.10）式中，Tt，t表示所有停止时间的集合，取[t，t]上的值。此后，（Yt，y，v，x，Vt，v，Xt，x）表示从时间t开始在点（y，v，x）处的跳跃扩散动力学（2.5）的解。3离散化过程我们首先设置我们将考虑的三重（y，v，x）的离散化。3.1（V，X）的二维t树我们考虑（2.5）中的对（V，X）在时间间隔[0，t]上通过二维计算简单树的近似。这意味着我们构造了一个运行在二维重组二元晶格上的马尔科夫链，在每个时间步，马尔科夫链的两个分量只能向上或向下跳跃。我们考虑了Nelson和Ramaswamy[36]提出的“多次跳跃”方法，该方法是在[？]中为CIR过程广泛开发的。我们在这里给出了建立整个算法的主要思路。我们首先考虑N个子区间[nh，（N+1）h]，N=0，1，…，中时间区间[0，T]的离散化，N、 h=T/N。对于n=0，1，N，考虑由vn={vnk}k=0,1，。。。，nwith vnk=pV+σV（2k）- n）√H{√V+σV（2k）-n）√h> 0}，（3.1）Xn={xnj}j=0,1，。。。，n带xnj=（2j- n）√h、 （3.2）分别。注意，v0,0=Vand x0,0=0=X。

对于每个固定的vnk∈ VN和xnj∈ Xn，我们通过vn+1ku（n，k）和vn+1kd（n，k）以及Xn+1ju（n，j）和Xn+1jd（n，j）来确定“向上”和“向下”ju mp。通过应用“多重跳跃法”，将指数ku（n，k）、kd（n，k）、ju（n，j）、jd（n，j）中的跳跃定义为ku（n，k）=min{k*: k+1≤ K*≤ n+1和vnk+uV（vnk）h≤ vn+1k*}, （3.3）kd（n，k）=max{k*: 0≤ K*≤ k和vnk+uV（vnk）h≥ vn+1，k*}, （3.4）ju（n，j）=min{j*: j+1≤ J*≤ n+1和xnj+uX（xnj）h≤ xn+1j*}, （3.5）jd（n，j）=max{j*: 0≤ J*≤ j和xnj+uX（xnj）h≥ xn+1j*}, （3.6）其中uVanduXis分别是V和X的漂移（见（2.7）和（2.8）），理解ku（n，k）=n+1，分别是kd（n，k）=0，如果（3.3）的r.h.s.中的设置分别是emp-ty（3.4），对于juand jd也是类似的。V的转移概率定义如下：从节点（n，k）开始，在时间步n+1将过程ju mps到ku（n，k）和kd（n，k）的概率设置为aspVu（n，k）=0∨uV（vnk）h+vnk- vn+1kd（n，k）vn+1ku（n，k）- vn+1kd（n，k）∧ 1和pVd（n，k）=1- pVu（n，k）（3.7）。组件X也有类似的定义：从（n，j）开始，过程在时间步长n+1 arepXu（n，j）=0时跳到ju（n，j）和jd（n，j）的概率∨uX（xnj）h+xnj- xn+1jd（n，j）xn+1ju（n，j）- xn+1jd（n，j）∧ 1和pXd（n，j）=1- pXu（n，j）（3.8）。对（V，X）的树程序是通过连接为V和X构建的树来获得的。即，对于n=0，1，N、 考虑晶格vn×Xn={（vnk，xnj）}k，j=0,1，。。。，n、 （3.9）图1：流程V（左）和X（右）的树。

图中显示了上下ju mps的可能实例。从节点（n，k，j）开始，该节点对应于位置（vnk，xnj）∈ Vn×Xn，我们在时间n+1通过以下四个节点确定四种可能的跳跃：（n+1，ku（n，k），ju（n，j）），概率为puu（n，k，j）=pVu（n，k）pXu（n，j），（n+1，ku（n，k），jd（n，j）），概率为pud（n，k，j）=pVu（n，k）pXd（n，j），（n+1，kd kd（n，k），ju pxw）概率为pdu（n，k，k），（n，k），（n，k）pxw）概率为pdu（n，k），（n，k），（n，k），（n，k），（n，k）pxw），其中上述节点ku（n，k）、kd（n，k）、ju（n，j）、jd（n，j）以及上述概率pVu（n，k）、pVd（n，k）、pXu（n，j）、pXd（n，j）在（3.3）-（3.4）、（3.5）-（3.6）、（3.7）和（3.8）中定义。（3.10）中跳跃概率的因式分解源自驱动这两个过程的噪声的正交性。这个过程产生一个马尔可夫链（^Vhn，^Xhn）n=0，。。。，n弱收敛于路径空间，如h→ 0到扩散过程（Vt，Xt）t∈[0，T]溶液todVt=uV（Vt）dt+σVpVtdWt，V>0，dXt=uX（Xt）dt+dWt，X=0。这可以通过使用标准结果（例如，参见[36]中的技术）和[5]中证明的波动过程的链应用的收敛性来证明。这与费勒条件2κVθV的有效性无关≥ σV.关于将该程序扩展到更一般情况的详细信息和d r标记，可在[9]中找到。特别是，如果眉毛运动驱动（V，X）之间的相关性不为零，则可以通过匹配局部交叉力矩（见[9]中的备注3.1]）来确定跳跃概率。3.2我们在这里描述了如何通过考虑对（V，X）的树过程来管理（2.5）中的Y分量。