随机积分的圆锥鞅

这个框架在理论上很有趣，但在实践中可能很难处理。为了说明这一点，假设我们想要构造一个鞅[0，1]。为此，我们可以选择Y∈ [0,1]，σ（t，x）=g（t）h（x）>0表示所有t>0和x∈ （0，1）其中h=0表示x/∈ (0, 1). 满足所需条件的一个简单的“光滑函数”是σ（t，x）=ηx（1）- x） 其中η是一个常数，证明满足定理3.1和Y的条件∈ [0,1]∈ [0, 1].这导致SDE:dYt=ηYt（1- Yt）dWt，Y∈ [0,1]（5.1）定理3.1确保该SDE允许一个解，根据推论4.2，该解是鞅。此外，因为σ（t，0）=σ（t，1）=0，对于x，σ（t，x）>0∈ （0，1），该过程的范围为[0，1]，前提是∈ [0, 1]; 因此，根据定义4.4，它是一个圆锥鞅[0,1]。然而，即使可以计算出数值格式来估计Yt的分布，这种非典型SDE的解析表达式可能并不容易找到（如果存在）。此外，从实际角度来看，此类方案需要确保Y的所有路径（对于蒙特卡罗模拟，或对于PDE解算器，分布范围）保持在与理论解相关的圆锥体中（人们可以从SDE中猜测）。一般来说，需要满足有界条件的隐式格式，但查找起来可能很繁琐。为了解决这两个问题，我们提出了一个特殊的构造方案，通过一些光滑泛函t=F（t，Xt），将圆锥鞅转化为一个更简单（无约束或“自由”）的过程X。

因此，Y的SDE和统计数据可以通过X的SDE和统计数据直接获得。下面我们首先展示如何创建具有锥S=[0,1]的一维鞅。5.1方法我们现在继续下一个结果，这是构造锥鞅的重要工具。我们需要一些条件来确保dxt=u（t，Xt）dt+η（t，Xt）dWt（5.2）形式的一般SDE解的存在性和唯一性，可以找到这些条件（例如，见Oksendal（2003），Kloeden和Platen（1999），（Jeanblanc等人，2007，第1.5.4和1.5.1节），（Revuz和Yor，1999，第四章，第3节）。在续集中，我们将几乎肯定地讨论属于[0，1]的过程。在这种情况下，我们将限制我们自己，以指定R+×[0,1]上的扩散系数σ（t，x）。当然，后者可以简单地扩展到x∈ R通过指示器函数1I{x∈(0,1)}. 这保留了过程的动态性，并允许我们依赖于存在性和唯一性结果，这需要为x定义SDE系数∈ R例如，参见推论4.2定理5.1（自治映射鞅）的证明。设F（x）：dom（F）→ [0,1]，x 7→ F（x）是C类的一阶导数有界的严格单调函数。注f（x）：=f（x）和f（x）=f（x）。设η为R+×dom（F）上定义的函数。假设存在一个进程X和R（Xt）∈ 随机微分方程（SDE）的dom（F）解dXt=η（t，Xt）ψ（Xt）dt+η（t，Xt）dWt（5.3），其中ψ（x）：=-f（x）f（x）是与f相关联的分数函数。然后，过程y=F（Xt），t>0是[0，1]中的鞅。如果X的范围与dom（F）重合，则Y的范围为[0,1]。在这种情况下，Y被称为锥[0，1]的圆锥鞅，或者等价地称为[0，1]鞅。证据

在[0，1]中取值的过程Y=F（Z）通过^o引理给出了动力学：dYt=F（Zt）η（t，Zt）dwt过程Y是有界局部鞅，因此是鞅。注意，因为F是一个双射，所以它是可逆的，Y的动力学变成了Y=Fo F-1（Yt）η（t，F-1（Yt））dWt=：σ（t，Yt）dWt（5.4），因此Y是一个微分。推论5.1。设F为C类的双射，X为式（5.3）的解。那么Y=F（X）是锥[0，1]满足SDE（5.4）的二次鞅。此外，Yt（FYt（y））的累积分布函数可以由潜在随机变量Xt的累积分布函数得到。特别是，如果Fis增加：FYt（y）=FXt（F-1（y）（5.5）备注5.1。函数F的简单候选函数是实线上定义的累积分布（或生存分布）函数，允许密度连续可微且可逆。5.2示例1。设F（x）=e-λx和η（t，x）=ηx。然后x满足Verhulst方程的一个变量：dXt=λ（η/2）Xtdt+ηXtdWt（5.6），其中解xt=Θt1- （λη/2）RtΘsds，Θt:=Xe-爆炸时间τ：=inf{t:RtΘsds=2/λη}之前的（η/2）t+ηWt（5.7）。过程Y定义为Yt=exp(-λXt），t6τ定义了一个鞅（在[0,1]中取值），其中sde由dyt=-ηln（Yt）YtdWt（5.8）注意，通过构造，inf{t:Yt∈ {0，1}}=inf{t:Yt=0}=:τ。未达到边界1（达到τ）和Yτ∨t=0.2。让我们回到SDE（5.1）。我们可以看到，它由式（5.4）组成，其中σ（t，x）=ηx（1）-x） 。在（5.3）中设置η（t，x）=η，看来我们必须有f（f）-1（y））=y（1）- y） 。

更改变量x=F-1（y）导致（逻辑）一阶非线性微分方程F（x）=dF（x）dx=F（x）（1）- 哪个解被证明是beF（x）=cex1+cex，ψ（x）=2F（x）- 1该函数是具有平均值的logistic随机变量的累积分布函数-ln（c）和方差π/3。换言之，通过简单地映射无约束（潜在）过程X（由SDE（5.3）定义）的上述（分布）函数，即可获得等式（5.1）定义的圆锥鞅过程Y（由SDE（5.3）定义），瞬时方差设置为常数η（t，X）=η，根据定理5.1，漂移由ηψ（X）给出，其中ψ（X）=-f（x）f（x）=2F（x）- 1=tanh（x/2）是与上述分布函数相关联的分数函数。在c=1的特殊情况下，潜在过程的SDE写为dxt=ηtanhXtdt+ηdWt（5.9）该方程的系数满足通常的条件，确保解X的存在性和唯一性，因此方程（5.8）的解Y存在且唯一。3.很明显，Y=F（X）的相同SDE可以从（X，F）的各种组合中获得。在上面的例子中，c可以被选择为任何正标量，但如果对X使用正确的漂移（分数函数），则对Y获得相同的SDE。同样地，一个给定的潜在过程需要注意，因为c eX=F（X）/（1- F（X））和dom（F）=[0，1]，我们必须有c>0。根据F的选择，X可以导出Y=F（X）的几个无漂移方程。这是因为不同的映射F可以导致相同的分数函数。因此，对于给定的迁移过程X，可以找到多个映射F，从而得到Y=F（X）的SDE是无裂缝的。

例如，设置F（x）=tanh（x/2）导致σ（t，y）=η（1）- y） ：dYt=η（1- F（x）=tanh（x/2）的得分函数也等于tanh（x/2），这与导致SDE（5.1）的ofF（x）=ex/（1+ex）的得分函数相同。考虑标准高斯情况，F（x）=Φ（x）。高斯分布的分数函数由ψ（x）=-φ（x）/φ（x）=x，其中φ（x）是标准正态密度函数，我们得到Y=Φ（x）是[0,1]鞅，前提是SDEdXt=η（t，Xt）Xtdt+η（t，Xt）dWt（5.11）有解，Y有扩散系数σ（t，Y）=φo Φ-1（y）ηt、 Φ-1（y）（5.12）5.3另一个圆锥鞅标准正态分布函数Φ可用于将任何It^o积分转化为[0,1]中具有给定初始值x的鞅∈ (0, 1).定义：z+Ztσsdwsz，其中z∈ R和σ适用于W的自然过滤。引理5.1。让x∈ （0,1）并设置z:=Φ-1（x）。对于Υ：=1/p1- [Z] 设置τ=inf{t:[Z]t=1}，随机过程M（Z）定义asM（Z）t:=Φ（ΥtZt），t<τ（5.13）是[0,1]中的一个初值为x的鞅。此外，如果R（Xt）=R，那么M（Z）是一个[0,1]鞅。证据很明显，M（Z）∈ [0，1]和M（Z）=x，因为Υ=1和Z=Z。从定理4.1，它仍然可以证明它是一个局部鞅。使用Φ（x）=-xΦ（x）=-xφ（x）和dΥt=Υtd[Z]t的事实。实际上，从它的^o引理，dM（Z）tφo Φ-1（M（Z）t）=ZtdΥt+ΥtdZt-ΥtZtΥtd[Z]t=Υtdztm映射将定义在R上的任何连续局部鞅Z转化为[0,1]-鞅（Z）t=Φ（Zt/p1）- [Z] t）使用函数Φ。这类似于Dol\'eans-Dade指数E，它将Z映射为非负鞅E（Z）t=exp{Zt-[Z] t/2}使用指数函数证明Z满足Novikov条件。这是因为这些函数的一阶导数和二阶导数之间存在联系。

从这个角度来看，鞅M（Z）可以被看作是e（Z）的等价物，但是对于[0,1]鞅，它不是R+-鞅。备注5.2。重要的一点是，当且仅当[Z]能达到1时，过程M（Z）才达到界。例如，假设恒定的扩散系数σt=η∈ R+。然后，[Z]t=ηt sothatZt√1.-[Z] 这是t<η的a.s.定义-2但M（Z）η-2.∈ {0，1}a.s.，即我们到达（并坚持）t=1/η的一个边界。另一方面，如果我们选择σt=σ（t）=ηe，M（Z）就不能到达边界-ηt/2incer∞σsds=1。此外，如果σt=σ（t）是时间的决定性函数，则过程M（Z）是一个微分。在这种情况下，M（Z）的扩散系数在等式（4.1）的意义上是可分离的，g（t）=σ（t）Υt=σ（t）/q1-Rtσ（s）ds和h（x）=φo Φ-1（x）.5.4实际考虑如上所述，圆锥鞅可以通过指定扩散系数σ（t，y）的形式获得。然而，由此产生的SDE通常在分析上不易处理，因此需要使用数值模式。上述考虑表明，最好首先（从分析或数值上）尝试求解基本自由过程X=G（Y）的SDE，然后通过映射F=G得到Y的解-1.如果以一种巧妙的方式选择G，那么第二个SDE可能更容易处理（更标准，在R中演变，而不是[0，1]）。至少我们可以得到正确的范围。这就是下一个定理的目的，它告诉我们如何选择G=F-因此，Xt=G（Yt）采用了一种特殊的、更具吸引力的形式。更具体地说，当瞬时波动率是可分离的（从等式的意义上来说），开发的方法允许我们编写SDE（2.1）的解（如果存在）。

（4.1））作为另一个过程的映射，具有特定的漂移，但扩散系数g（t）仅取决于时间。下面的定理说明了SDE（2.1）的解Y由F（X）给出的充分条件，其中X是所需的。此外，（i）我们被告知，为了Xt=F，我们必须选择哪个F-1（Yt）具有所需的动力学，以及（ii）X的SDE是完全特定的。定理5.2。以SDE（2.1）为例，其中扩散系数在（4.1）意义上是可分离的。假设函数g满足g（t）<∞ 对于所有的t和h（y）都是集A的严格正类\\A并在（现有）边界处消失A的A.设y=F（x） A如果ψ（x）=-F（x）/F（x）是Lipschitz连续的，那么（2.1）允许强路径唯一解yt=F（Xt），其中x是SDE（5.3）的唯一强解，初始值x:=F-1（Y），扩散系数η（t，x）=g（t）和漂移u（t，x）=-g（t）F（x）2F（x）=g（t）ψ（x）。证据首先，让我们证明C类非线性微分方程（5.14）的解y=F（x）是不可解的，因为所有x的h（x）>0∈ A和im（F） dom（h），F（x）=Rx-∞h（F（u））du+kis持续（严格）增加；因此F（x）是可逆的、连续的。此外，从h上的光滑条件来看，F的前三个导数是连续的：F（x）=F（x）=h（F（x）），F（x）=h（F（x））F（x）=h（F（x））h（F（x））和F（x）=h（F（x））h（F（x））+h（F（x））h（F（x））。因此，上述常微分方程的解具有函数形式h（x）=f（f）-1（x）），其中F具有使用^o引理所需的平滑度，并且是可逆的。它的引理产生了F的动力学-1（Yt），对应于SDE（5.3），其中η（t，x）=g（t）和u（t，x）=-g（t）f（x）f（x）。来自Kloeden和Platen（1999）的定理4.5.3（p。

131）此SDE，有限初始值X=F-1（Y）有一个强路径唯一解，因为系数满足标准要求（ψ（x）的Lipschitz连续性和t<g（t）的有界性）∞ 这意味着线性增长约束条件ong（t）ψ（x），因此漂移系数u（t，x）也是如此。最后，解Y由mappingF:Y=F（X）给出。例5.1。考虑波动率随时间变化的指数鞅的情况，SDEdYt=η（t）YtdWt。设置g（t）=η（t）和h（x）=x，我们发现F（x）=ex+k；u（t，x）=-η（t）/2。在η（t）=η的情况下，我们可以等价地选择g（t）=1和h（x）=σx，在这种情况下，F（x）=eηx+kandu（t，x）=-η/2.例5.2。在g（t）=η和h（x）=x（1）的情况下，这个技巧已经应用于SDE（5.1）- x） 。类似地，关于等式（5.10），我们可以设置g（t）=η和h（x）=（1）- x） /2；对ODE（5.14）的解导致F（x）=tanh（x/2）；因此，（5.10）的解由Y=tanh（X/2）给出，其中X是（5.3）的解。该常微分方程的解被证明具有一般形式y（x）=H（x+k），其中k是积分常数，H（x）是Rxinf dom（H）H（u）duRemark 5.3的逆。值得注意的是，虽然我们得到了X=F的SDE-1（Y）从Y的表达式中，取F的表达式-1不需要；它不进入X的SDE。X的漂移由F的核心函数决定，它求解ODE。6Φ-鞅：前面在公式（5.11）中对F=Φlead，η（t，x）=ηto dXt=ηXtdt+ηdWt进行的计算，即x是一个Vasicek过程xt=Xeηt+ηeηtZte-ηsdWs（6.1），具有恒定的扩散系数η、零长期平均值和负平均值回复速度η/2。注意，对于固定t，Xt与Xeηt+peηt具有相同的规律- 1Z（6.2），其中Z是标准高斯随机变量。

这导致了[0，1]鞅Y，其解析表达式为Φ（X），其中X=（Xt）t>0是Vasicek过程（6.1）。过程Y被称为Φ鞅。图1显示了从该精确解绘制的样本路径。备注6.1。已经证明，情况（5.8）也是可处理的，因为潜在过程X（以及Y=exp）有封闭形式的表达式(-λX）。接缝密度Θt，RtΘsdsYor于（Yor，1992年）研究了Xt法（见附录）。然而，在τ={t:RtΘsds=2/（λη）}和τ<∞ wp 1是一个接地的积极过程。这意味着相应的Yt=e-λXt，λ>0，也将在有限时间内崩溃为零。这不是Φ-鞅的情况，它只是渐近地坍缩到界，而是属于（0，1）Q-a.s.对于所有t>0（见第6.1.2节）。6.1统计和渐近在潜在过程X（其漂移由F暗示）的SDE有显式解的情况下，可以详细研究过程Y。例如，Ytas t的渐近分布→ ∞ 可以获得。此外，还可以研究Y的不相交增量的性质。根据鞅性质，它们的均值为零且不相关。它们的方差和分位数函数也可以计算。下面我们研究Φ-鞅的统计量。

为了比较，我们提到了指数鞅的相应结果。0.5，0.2）0 1 2 3 3 4 50.0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0不同扩散尺度η和初始条件Y的溶液Φ（X）当Y=Φ（X）时，其中X是一个Vasicek过程，具有瞬时方差η，零长期平均值和负平均值回复速度η/2，随机变量的方差Y为Yt- 你在哪里Yt=Zyf（F）-1（y））fXt（F-1（y））dy=ΦX，X；eηt-1eηt！=Φ十、 X；1.-E-ηt其中Φ（x，y；ρ）是具有相关ρ的标准二元正态累积分布。特别是limt→∞EYt- Y=Φ（X）- Y=Y（1- Y） 。根据鞅E[YsYt]=E的性质Y∧T因此，对于任何δ>0的情况，{Yt，Yt+δ}的自协方差等于Yt的方差。增量的方差由var[Yt+δ给出- Yt]=var[Yt+δ]- var[Yt]=EYt+δ- EYt= Φ十、 X；1.-E-η（t+δ）- Φ十、 X；1.-E-ηt它收敛到0，为t→ ∞. 直觉上，这意味着流程的“活动”（路径bypath）将随着时间的推移而减少，流程将收敛到某个恒定的水平。