随机积分的圆锥鞅

相比之下，指数鞅的方差Mt=Me-η/2t+ηwt随t:var[Mt]增加- Ms]=Eh（Mt）- Ms）i=E“MsMtMs- 1.#（6.3）=E太太EMtMs- 2 EMtMs+ 1.= XeηsEhe-（2η）/2s+2η√sZi×eη（t）-s） Ehe-（2η）/2（t）-s） +2η√T-sZi（6.4）-2 Ehe-η/2（t）-s） +η√T-sZi+1= Xeηseη（t）-（s）-1.由于Φ-鞅Y的路径在两个界之间演化，一个中心问题是确定它们是否崩溃到界，在这种情况下，Y的分布在（0，1）中的质量将越来越小，因为对于任意小的阈值 > 0和任何概率水平0<p<1，存在时间t这样，对于所有的t>t, Q{Yt∈ [0, ) ∪ (1 - , 1] }>p；Y以任何期望的置信区间在边界附近结束。这将在F=Φ且η（t）=η的情况下得到证明（第6.1.2节）。在更一般的有界鞅的例子中，附录（9.2）提供了一个直观的发展。这可能是一个论点，表明这种特定的设置在许多情况下是不合适的。然而，这种分布行为是相当流行的几何布朗运动所共有的。当t时，指数鞅的分布崩溃为0→ ∞ （参见图2以获得相应随机过程Mt，q（t，p）：=q:q{Mt6 q}=p的分位数图示）。对于这个过程，Mt+δ的方差- 尽管指数鞅分布的右尾是无界的，但随着时间的推移，MTI不会收敛到零。6.1.1指数鞅的渐近分布考虑上面介绍的指数鞅M。相应的分位数函数q（t，p）根据q{[Mt6 q（t，p）}=p isq（t，p）=exp定义η√tΦ-1（p）- η/2t对于0<p<1，limt→∞q（t，p）=limt→∞经验√t（a）- B√（t）至少-∞ < a:=ηΦ-1（p）<∞ 0<b:=η/2<∞.

对于t>t？：=最大值（0，a/b），RHS极限中的表达式相对于t严格减小到0。p=50%的情况（中值）精确地是最大的p，因此曲线到处都在减小。6.1.2我们得到的Φ-鞅Y（η（t）=η）的渐近分布→∞Q{Yt6 y}=limt→∞ΦΦ-1（y），Φ-1（Y）eηt/2，peηt-1.= 极限→∞ΦΦ-1（y）-Φ-1（Y）eηt/2√eηt-1!= 0 1I{y=0}+Φ-Φ-1（Y）1I{0<y<1}+1I{y=1}=（1）- Y） 1I{0<Y<1}+1I{Y=1}因此，yt在分布上收敛于伯努利（Y）作为t→ ∞. 值得注意的是，伯努利（Y）对应于[0,1]中的分布，对于给定的平均值Y，方差最大∈ [0,1]（这很有启发性，很容易证明）。这与“没有上升或下降趋势”的鞅的天真解释相矛盾；指数鞅确实有下降的趋势，因为Q{Mt+δ<Mt}>50%，但它的期望值不是E[Mt+δ]=E[Mt]。这反映了鞅M满足极限的事实→∞Mt=002030400 1234tq（t，p）（a）M=10102034000.0.20.40.60.81.0tq（t，p）的指数鞅● ● ● ● ● ● ● ● ●（b） Φ-Y=0.50 10 20 30 400.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0tq（t，p）的鞅●●●●●●●●●（c） Φ-Y=0.40 10 20 30 400.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0tq（t，p）的鞅●●●●●●●●●（d） Y=0.6的Φ-鞅图2：η=50%的指数鞅Mt和Φ-鞅Yt分布的分位数轨迹q（t，p）。曲线显示为p∈ {5%，10%，…，95%}概率水平（当然，相应的轨迹是自下而上排列的）。对于指数鞅情形，与中值相关的曲线是最大的递减曲线。对于有界鞅情形，分布崩溃为伯努利（Y）。中间值以洋红色显示，而- Y） -分位数用点强调。

如果Y=0.5，则分布被等分到边界。由于高斯解X不会爆炸，Φ-鞅的崩溃特征是无符号行为：Q{Yt∈ {0，1}}=0表示所有t>0。这与u=λη/2>0的情况（5.6）形成对比，其中过程Y=exp(-λX）在任何特定时间之前都有严格为零的正概率：t>0，Q{Yt=0}>0.6.2自治高斯鞅我们正在研究在这种情况下，一个连续的局部鞅Y，它是一个具有可分离扩散系数的扩散，可以写成aGaussian扩散X的时间齐次（即自治）映射F。定义6.1（高斯扩散）。高斯扩散是SDE（5.2）的唯一解X，其中漂移u（t，X）是X中的一个函数，u（t，X）=A（t）+b（t）X，扩散系数η（t，X）仅是时间的函数，η（t，X）=γ（t）<∞ 对于所有t.观察到并非所有高斯过程都是上述定义意义上的高斯微分。例如，SDE dXt=符号（Wt）DW的解X不是高斯微分，而是布朗运动（因此是高斯过程），分数布朗运动是高斯过程，甚至不是半鞅。定义6.2（自治高斯鞅）。如果（i）它可以通过一个自治映射F（X）映射一个高斯微分X得到，并且（ii）微分系数在（4.1）的意义上是可分离的，那么我们说鞅Y是自治高斯的。将Y-SDE（2.1）的（dt）项和（dWt）项与用t^o得到的F（t，Xt）项相等，我们得到（a（t）+b（t）x）Fx（t，x）+η（t）Fxx（t，x）（dt）=-Ft（t，x）γ（t）Fx（t，x）（dWt）=η（t）ho F（t，x）使用时间齐次映射得到F（t，x）=F（x），这意味着η（t）=γ（t）。然后（dWt）方程对应于等式。

（5.14）其解产生可分离扩散系数σ（t，y）=γ（t）h（y）的空间分量h（y）。然而，在本练习中，我们感兴趣的是F（x）的形式，它可以用来表示x是高斯过程，Y=F（x）是鞅。设置G（x）=Fx（x），则（dt）方程变成η（t）Gx（x）+（a（t）+b（t）x）G（x）=0这是一个一阶常微分方程，其解由G（t，x）=k（t）e给出-2a（t）x+b（t）x+c（t）η（t）F（t，x）=k（t）Zx-∞E-2a（t）u+b（t）u+c（t）η（t）du+k（t）（6.5）当我们考虑所有x的时间无关映射（F（t，x）=F（x）时，比率a（t）/η（t），b（t）/η（t），c（t）/η（t）和积分常数k（t），k（t）都需要是常数，以便得到Yt=F（Xt）SDE所需的形式。我们注意到它们a、b、c、k、k。显然，b<0的情况可以排除，因为等式（6.5）中的积分在这种情况下不收敛。因此，我们有三种主要的情况需要（a，b，c）来分析：o（0，0，c）：F（x）=ke-cx+k；映射是形式为F（x）=αx+β的函数（a<0,0,c）：F（x）=-柯-c2ae-2ax+k，映射是移位指数F（x）=-柯-c2ae-2ax+k=αξeξx+k，其中ξ>0.o（a，b>0，c）：F（x）=αΦ（x）-βξ）+kwhereα=kpπ/b ea/b-c> 0，β=-a/b和ξ=1/√2b。映射是正态累积分布函数的移位和重新缩放版本。当Xt是高斯扩散时，上述映射是唯一导致零dt项和可分离扩散系数forYt=F（Xt）的映射。这还规定了扩散系数的空间分量h（x）的形式，可以通过F（x）映射高斯过程获得。从（dWt）方程中，我们分别得到o因为a=b=0，X是一个重标度布朗运动（dhX，Xit=γ（t）dt），而Yt=αXt+k是一个重标度和重标度拷贝。特别地，h（x）=h=αoY是一个高斯过程的指数，其位移为：Fx（x）=αeξxso，即h（x）=Fx（F）-1（x））=ξ（x）- k） 。

由于ξ>0，连续性参数表明过程Y在k ifY>k以下有界。通过正态累积分布映射高斯过程X，重新缩放和移位，可以获得Y。得到的过程是[k，α+k]-鞅。在这种情况下，h（x）=αβφΦ-1.xα.我们在下面的定理中总结了这些结果。定理6.1（自治高斯鞅）。唯一的自治高斯鞅是（达到确定性移位和缩放系数）i）平凡鞅，ii）布朗运动，iii）几何布朗运动和iv）Φ-鞅。有趣的是，每个结果过程都有一个特殊的范围，即：常数、无界、单边有界和双边有界。这个结果表明，如果一个人想要构造一个连续的局部鞅Y，其分离系数σ（t，Y）=η（t）h（Y），并通过一个可逆的自治函数映射一个高斯扩散来在给定的集合中演化，那么没有太多的选择：只有一个映射族的范围类型。特别是，Φ-鞅Φ（X）是唯一具有可分离扩散系数的有界连续鞅，可以通过将高斯扩散X映射到光滑自治函数F（X）来获得。请注意，如果放松时间均匀性和可逆性约束，其他解决方案是可能的。例如，在a（t）=b（t）=0和η（t）=η（Xt=X+ηWt）的情况下，设置F（t，X）=X-ηt，我们得到Yt=Xt- [十] 这是一个著名的鞅（在R中）。在下一节中，我们将展示如何在信用风险建模应用程序中使用这些鞅。7生存概率的应用我们采用信用风险建模设置，重点关注一些参考实体的违约时间τ。在这个框架中，人们通常定义过滤F，它代表市场信息，不包括默认观察。

放大过滤通过包含与违约事件相关的明确信息获得：Gt=Ft∨σ（1I{τ>s}，06s6t）（具有右连续正则化）。例如，在Cox模型中，随机强度过程λ是F适应的，但条件是路径（λt）t>0，默认1I{τ6t}的发生是一个独立事件。更一般地说，后者是Gt可测量的，但不是Ft可测量的。关于信用风险建模的文献强调，在某些情况下，可以摆脱实际的违约建模；违约指标可以用随机违约概率代替，在有限过滤F而不是完全过滤G中工作。我们不输入这种建模方法的细节，但请读者参考Lando（2004）和Bielecki等人（2011）了解更多信息。7.1无条件生存概率和Az’ema supermartingaleWe现在转向等式（1.1）中定义的鞅St（T），T>0的建模。这在许多情况下都很有用，包括信用衍生产品的定价，或调整衍生产品组合的价格，以应对交易对手风险（信用价值调整），参见例如Cesari等人（2009年）、Brigo and Alfonsi（2005年）。作为上述方法的说明，我们设置St（T）：=Φ（Xt（T）），其中Xt（T）满足dxt（T）=（η/2）Xt（T）dt+ηdWt（7.1）。显然，St（T），T>0是一个初值为S（T）的鞅。假设提供初始生存概率函数S（t）（在信用衍生产品应用中，它是通过引导金融工具的市场报价获得的，如可违约债券或信用违约掉期）。对于所有t>0、0<S（t）<1的情况，它都在降低并满足要求，这意味着相关的危险率严格为正且有限。

这导致T（T）=Φ（m（T，T）+ηZt（7.2）Zt:=Zte（η/2）（T-s） dWs（7.3）m（t，t）：=X（t）e（η/2）t通常通过使用简单的高斯过程Cesari et al.（2009）或采用考克斯过程Brigo and Alfonsi（2005）对Az’ema supermartingale St:=St（t）t>0进行建模。然而，第一种方法显然违反了[0,1]条件，第二种方法对应于S是递减可预测过程的特定情况。然而，一般的Doob-Meyer分解（以其加法形式）表明，在所有一般情况下，我们有Bielecki et al.（2011），Profeta et al.（2010）dSt=dDt+DMTW，其中D是递减F-可预测过程，M是鞅。考克斯的设置只是其中一个特例。此外，很难找到一个正的随机强度模型，该模型允许对市场报价进行分析校准，同时防止出现负路径（特别是，为了校准目的，需要改变平方根扩散过程，以便产生的强度过程可能不再是正的）。这为其他建模设置提供了空间，Φ-鞅就是其中之一。相关的Az’ema鞅的动力学被证明为bedt=ζtdS（t）+ηφ（Φ-1（St）dWt（7.4）ζt:=φ（Φ-1（St））eη/2tφ（Φ-1（S（t））7.2无条件生存概率和Az’ema Supermartingalets时间t>t之前无违约的生存概率由Bayes规则获得：Qt（t）：=Eh1I{τ>t}Ft，{τ>t}i=Eh1I{τ>（t∨t） }FtiEh1I{τ>t}Fti=St（T）St（T）（7.5），几乎可以肯定属于[0,1]，并且在所有T>T的情况下，相对于T都在减小。ST0的密度。4 0.6 0.80.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5（a）ST。

直方图（10k路径，欧拉离散化）和理论密度，通过F=Φ和Xt微分FYtin（5.5）得到~N（m（t，t）+ηZt（红色）0 1 2 3 4 50.2 0.4 0.6 0.8 1.0tSt●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●（b） 采用解析解Φ（Xt）（青色）和欧拉离散化StSDE（7.4）（深蓝色）的Az’ema超级马丁格尔的样本路径图3:St参数的林分样本路径分布：η=0.15，S（t）=e-ht，h=8%，T=5。我们在图4中说明了与标准正态因子Z？相关的16点高斯-厄米特求积相关的16个节点的Qt（T）分布？t=ηZt/pv（t），其中Zt由式（7.3）给出，v（t）=eηt-1是ηZt的方差。如果Q（t，t；z）代表z上的Qt（t）值？t=z和（ωi，zi），i∈ {1，2，…，n}是n点高斯-厄米求积的权重和节点，然后Q{τ>T |τ>T}=E[Qt（T）]=E[Q（T，T，Z？T）]≈nXi=1ωiQ（t，t；zi）Q（t，t；z）：=Φm（t，t）+pv（t）zΦm（t，t）+pv（t）z(η→0)→我们考虑T=0生存概率曲线S（T）=e-Rth（s）Ds，其中分段常数危险率函数h（t）由阶跃函数{t，γ（t）}={（1,5%），（3,6%），（5,8%），（7,8.5%），（10,6.5%）}给出。我们可以看到，隐含的Q（t，t；zi）曲线可以根据驱动因子的值而有所不同，前提是Φ-鞅背后的高斯过程的扩散参数η足够大。

Qt（T）的累积分布函数FQt（T）（x）的边界条件为2 4 6 8 100.0 0 2 0.4 0.6 0.8 1.0TQ（T，T；z）（a）η=0.12 4 6 8 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0TQ（T，T；z）（b）η=0.25图4:S（T）（红色），S（T）/S（T）（绿色），Q（T，T；zi）（蓝色）和pi=1ΩiQ（T，T，T；zi）（洋红色）。FQt（T）（0）=0，FQt（T）（1）=1。为了x∈ （0,1），证明为（见附录9.3）FQt（T）（x）=Φ（z？）z在哪里？=Z（t，t，x，η）是函数g（z）：=xΦ的（唯一）根m（t，t）+pv（t）z- Φm（t，t）+pv（t）z7.3二元生存概率在高斯copula设置中，让我们定义τ>Tandτ>TasGt（~t）=Q{τ>t，τ>t | Ft}（7.6）我们采用copula框架，其中Gt（t，t）通过边际（随机和相关）分布St，t，St，和时间相关的参数集Θtw依赖于t，假设其具有有限的变化。特别是，copula如果固定，但其参数（例如相关性）可能与时间有关：Gt（~T）=C（St（T），St（T），ΘT）观察到，Gt满足多元累积分布函数的所有属性；这是由我们通过copula C（u，v，Θ）映射有效边距这一事实所保证的。然而，可以清楚地注意到，Si（t）=Si（t）=Q{τi>t | F}和Sit=Sit（t）=Q{τi>t | Ft}之间的差异来自等式（7.6），即G是鞅，因此G的SDE必须没有dt项。这对（元）参数Θt.It^o的引理yieldsdGt（~t）的动力学施加了一些限制=CudSt（T）+CvdSt（T）+CudhS·（T），S·（T）it+CvdhS·（T），S·（T）it+CUvdhS·（T），S·（T）it+CΘdΘtWe我们现在考虑二元高斯情形，其中相关Φ-鞅被插入一个Gaussiancopula：C（u，v，Θ）=ΦΦ-1（u），Φ-1（v）；R假设Sit（Ti）=Φ（Xit（Ti））dXit（Ti）=uiXit（Ti）dt+ηidWitdhW·，W·it=ρdt，那么Sit（Ti）都需要是鞅，因此ui=ηi/2。

允许高斯copula（相关）参数是时间r（t）的确定函数，Gt（~t）=ΦΦ-1（St（T）），Φ-1（St（T））；r（t）= ΦXt（T），Xt（T）；r（t）在这种特殊情况下，我们得到dgt（~T）=ΦxdXt（T）+ΦydXt（T）+ΦxdhX·（T），X·（T）it+ΦydhX·（T），X·（T）it+C十、ydhX·（T），X·（T）it+Φrdr（t）下列导数是有用的：dφ（x）dx=-xφ（x）Φr=Φ十、y=√1.- rφ（x）φY-rx√1.- R= g（x，y，r）=g（y，x，r）Φx=φ（x）ΦY-rx√1.- R= h（x，y，r）Φx=-xh（x，y，r）-rg（x，y，r）注意到dhXi·（Ti），Xj·（Tj）it=ρijηiηjdt，ρii=1，ρij=ρ，r（t）是r（t）的导数，Gt（~t）的动力学变成了dgt（~t）=ηhXt（T），Xt（T），r（T）dWt+ηhXt（T），Xt（T），r（T）dWt+r（t）+ρη- r（t）η+ηGXt（T），Xt（T），r（T）如果dt项为零，即isr（t）=2ρη+η+k eη+ηt（7.7），则保证dt的马丁尼性，因为第一项是常数，但第二项增长无界，r（t）∈ [-1，1]如果η和η不都为空，则条件施加k=0。因此，唯一有效的情况是，根据边际Az’ema超马尔可夫的最新过程的方差和相关性，将高斯copular相关参数设置为特定值2ρη+η。最后，二元的Az’ema上鞅具有动态Cdgt（~t）=dGt（~t）| ~t=（t，t）+ξtdS（t）+ξtdS（t）（7.8）ξt=euthΦ-1（街）号-1（St）、r（t）φΦ-1（S（t））（7.9）ξt=euthΦ-1（街）号-1（St）、r（t）φΦ-1（S（t））（7.10）式中，ξi是ζ的多元等价物，并确保e[Gt（t，t）]=G（t，t）=ΦΦ-1（S（t）），Φ-1（S（t）），r（0）（7.11）我们用图结束本节。