随机积分的圆锥鞅

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英文标题：
《Conic Martingales from Stochastic Integrals》
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作者：
Fr\\\'ed\\\'eric Vrins and Monique Jeanblanc
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we introduce the concept of conic martingales}. This class refers to stochastic processes having the martingale property, but that evolve within given (possibly time-dependent) boundaries. We first review some results about the martingale property of solution to driftless stochastic differential equations. We then provide a simple way to construct and handle such processes. Specific attention is paid to martingales in $[0,1]$. One of these martingales proves to be analytically tractable. It is shown that up to shifting and rescaling constants, it is the only martingale (with the trivial constant, Brownian motion and Geometric Brownian motion) having a separable coefficient $\\sigma(t,y)=g(t)h(y)$ and that can be obtained via a time-homogeneous mapping of Gaussian diffusions. The approach is exemplified to the modeling of stochastic conditional survival probabilities in the univariate (both conditional and unconditional to survival) and bivariate cases.
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中文摘要：
本文引入了二次鞅}的概念。这类随机过程具有鞅性质，但在给定的（可能与时间相关的）边界内演化。我们首先回顾了关于无漂移随机微分方程解的鞅性质的一些结果。然后，我们提供了一种构造和处理此类过程的简单方法。特别注意$[0,1]$中的鞅。其中一个鞅被证明是可分析的。结果表明，在移位和重标度常数之前，它是唯一一个具有可分离系数$\\sigma（t，y）=g（t）h（y）$的鞅（具有平凡常数、布朗运动和几何布朗运动），并且可以通过高斯扩散的时间齐次映射获得。该方法在单变量（条件生存概率和无条件生存概率）和二变量情况下的随机条件生存概率建模中得到了示例。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Conic_Martingales_from_Stochastic_Integrals.pdf (971.38 KB)

2022-5-11 02:48:18 上传

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关键词：随机积分 Differential Mathematical Quantitative Applications

随机积分中的圆锥鞅*和Monique JEANBLANC+*卢瓦因天主教大学管理学院，比利时蒙斯7000号，Chauss\'ee de Binche 151和运营研究与计量经济学中心（CORE）比利时卢瓦因-纳乌夫201348+法国卢瓦因-纳乌夫大学，埃弗里-瓦勒-埃索纳数学研究与建模实验室埃弗里（LaMME）UMR CNRS 8071，埃弗里，法国十月21日，本文介绍了圆锥鞅的概念。这类随机过程具有鞅性质，但在给定的（可能与时间相关的）边界内演化。我们首先回顾了关于无漂移随机微分方程解的鞅性质的一些结果。然后，我们提供了一种构造和处理此类过程的简单方法。在[0,1]中特别注意鞅。其中一个鞅被证明是可分析可分的。证明了在移位和重标度常数之前，它是唯一具有可分离系数的鞅（具有平凡常数、布朗运动和几何布朗运动）*联系作者。电子邮件：弗雷德里克。vrins@uclouvain.be+Monique Jeanblanc的研究得到了ChaireMarch’es en突变（F’ed’Bancaire Fran,caise）的支持。σ（t，y）=g（t）h（y），可通过高斯微分的时间齐次映射获得。该方法以单变量（条件生存和无条件生存）和双变量情况下的随机条件生存概率建模为例。关键词：有界鞅、随机微分方程、扩散过程、随机生存概率1介绍和激励数学金融广泛依赖于鞅，主要是由于资产定价的基本定理。

例如，它们被用来代表（非股息支付）资产价格的动态，在适当的关联度量下以num’eraire为单位。因此，在真实鞅条件下，资产价格过程由条件风险中性的未来（贴现）现金流预期值控制。鞅也是度量变换技术（Viaron-Nikodym导数过程）的核心。根据情况，鞅过程可能会受到一些约束。贴现股票价格和Radon Nikodym衍生过程为正。因此，满足非负性约束的指数鞅是非常流行的工具。财务流程可能会受到其他约束，比如被限制在下方和上方。例如，在利率（短期利率）不能为负的情况下，贴现零息债券价格的情况就是这样：Pt（T）=E“exp-ZTtrsdsFt#几乎肯定属于[0，1]，因此鞅Pt（T）e也是如此-Rtrsds。同样，条件生存概率St（T）（从时间T看，默认事件τ在给定时间T后发生的概率），定义为生存指标St（T）=E的条件预期值1I{τ>T}|Ft（1.1）是[0,1]中的（Ft）t>0-鞅吗。注意，在这里，我们必须处理一组与参数T有关的鞅，并且对于任何T，St（T）必须相对于T递减。注意E[St（T）]=Q{τ>T}=S（T）。然而，令人惊讶的是，有界鞅很少受到关注。例如，在生存概率建模的情况下，实践者通常会忽略不一致性，转而使用高斯过程（不受单位时间间隔内演化的限制）（参见例如Cesari et al.（2009））。

这也适用于许多标准方法，其中移位的Ornstein-Uhlenbeck（赫尔白）或移位的平方根扩散（SSRD，也称为CIR++）被用作强度过程，并可能导致概率超过1。尽管有这些缺点，这些方法仍然很流行。我们认为，这是由于缺乏足够且易于处理的替代方案。我们在这里的目的正是为了弥补这一差距。我们引入了圆锥鞅的概念（我们在续集中证明了这一命名），这与“边界之间演化的鞅”的直观概念相对应。我们将看到如何处理和模拟这样的过程，使路径保持在边界内。我们进一步研究了隐含分布和渐近行为等性质。特别感兴趣的是通过将高斯过程映射到具有图像紧集的函数而获得的鞅。本文是Vrins（2014）的延伸；Vrins和Jeanblanc（2015），组织如下。我们首先在第2节中概述了模型设置，并回顾了第3节中与无漂移随机微分方程（SDE）的存在性、唯一性和鞅性质有关的一些结果。第4节介绍了锥鞅和锥鞅的概念。然后，我们将讨论如何在第5节中构建它们，并将重点放在一个特定的过程上（第6节）。最后，在结束前的第7节中，我们将此过程应用于单变量（条件和无条件）和双变量生存概率建模。2.我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 F=（Ft）t>0，Q），其中F是布朗过滤，因此，任何鞅都是连续的。在续集中，所有流程都在(Ohm, F） 。

我们研究了解Y对形式为DYT=σ（t，Yt）dWt，0 6 t 6 t（2.1）的“无漂移”SDE的可压缩性，其中W是适应于过滤F的Q-布朗运动，对于每个t，随机变量Y被限制在一定的区间内。在续集中，如果没有歧义，我们将省略规格“0 6 t 6 t”，以及有效函数σ（t，y）：[0，t]×R→ A. R总是假设在y中是连续的，在t中是可测量的。平方根过程中的偏移是为了确定CDS报价，并且可能确实影响结果随机强度的正性。过程Y是局部鞅，但可能不是鞅。需要额外的技术条件来防止使用“过于花哨”的扩散系数功能。然而，σ（，）不需要是（全局）鞅属性丢失的“幻想”。例如，如果σ（t，x）=x（几何布朗运动），则（2.1）的解是amartingale，但当σ（t，x）=x时，解是严格的局部鞅。局部鞅和全局鞅之间的区别在金融应用中至关重要，以防止套利机会和泡沫Cox和Hobson（2005），Protter（2013）。为了确定上述SDE的解是否确实是鞅，下面的平方可积条件可能是有用的（参见Karatzas and Shreve（2005）、Revuz and Yor（1999）和Shreve（2004）的第4.9节）定理2.1。随机过程r·σ（s，Ys）是[0，T]ifE“ZTσ（s，Ys）ds#<∞ （2.2）条件（2.2）可能很难检查，因为它需要一些关于SDE解决方案的信息（甚至可能不存在）。在这种情况下，在现阶段，关于Y的可移动属性没有多少可说的。

然而，根据差异系数σ（t，y）的形状，可以找到一些有用的结果，如下一节所述。3关于It^o随机积分鞅性质的一般结果在本节中，从确定性差分函数σ的性质讨论了Y的鞅性质。这方面的主要结果如下（Karatzas and Shreve（2005）中的定理2.9）：定理3.1。设σ（t，y）为y中所有t>0的Lipschitz。此外，假设σ满足子线性条件|σ（t，y）| 6c（1+| y |）（3.1）对于某些常数C<∞, 那么等式（2.1）有一个路径唯一的（因此是强的）解Y，满足ehrtysdsi<∞. 此外，Y是鞅。条件（3.1）旨在防止爆炸，而Lipschitz约束通常保证存在性和唯一性。特别是，（2.1）的解不会爆炸。这个结果确保了dYt=g（t）YTDW的解是[0，t]上有界函数g的鞅。然而，仅确保平方根无漂移SDEdYt=σ的解是不够的√YTDW也是一个鞅(√在任何包含0）的区间中，x都不能是Lipschitz。Zvonkin（1974）用Holder-1/2连续性代替Lipschitz连续性，正式证明了这一点。通过将全局Lipschitz条件替换为局部Lipschitz条件，可以显著扩展该定理中的容许扩散系数类。这涵盖了相当大的一类系数，因为每个连续可微分函数都是局部Lipschitz（见Kloeden and Platen（1999））。然而，另一个扩展仅依赖于山田渡边的情况（参见。

（Kloeden and Platen，1999）第4节。5 p.134-135和（Karatzas和Shreve，2005年）（Jeanblanc等人，2007年，第5.5.5节））。值得注意的是，当σ（y）=0时，时间齐次情形σ（t，y）=σ（y）中存在一个充分必要的条件。正过程r·∑（Ys）是一个鞅，当且仅当x/σ（x）不可近单位积分（见Carr等人（2007）、Delbaen和Shirakawa（2002））。然而，在本文的背景下，这些概括是不必要的。4随机过程的锥和锥鞅上述框架描述了与无裂纹SDE解的鞅性质相关的一般背景。现在我们想重点讨论有界过程，并介绍锥的概念。定义4.1（有界过程）。一个随机过程Y在[0，T]上有界，如果存在一个常数，使得∈[0，T]| Yt |<M。如果对于所有T>0，存在一个常数M（T），使得sups6t | Ys |<M（T），则它在R上是局部有界的。我们记得，随机变量X的范围R（X）是其分布的支撑（这是一个封闭集，参见（Dellacherie and P.-a.，1975，第3-50章））。通过扩展，我们定义了astochastic过程的范围包络。定义4.2（范围包络线）。范围包括：=R（Yt）t> 随机过程Y的0是（Yt）t>0的范围R（Yt）的时间索引序列。注意，通过连续性，连续过程的范围包络是一系列连接集。定义4.3（锥体）。

如果对于每个t>0，存在M（t）>0，那么R（Yt） [-M（t），M（t）]，序列R（Yt）在这个意义上增加，对于所有0<s6t，我们有R（Ys） R（Yt），我们说s是与随机过程Y有关的锥，或者简单地说，是Y的锥。注意，在定义中，Y的圆锥体定义为t>0；这是因为Yt的范围与常数Yat t=0非常接近。请注意，范围包络的概念不同于威尼斯两点（1979）中的包络概念。首先，后者是一个集值随机过程，其上界为| Yt |，概率为1，在任意有限的时间长度内，而前者是一个确定的时间索引紧集序列。其次，距离包络（如果存在）是唯一的，因为它在任何时间t都对应于概率为1的最小集。定义4.4（二次曲线过程）。如果随机过程的范围包络是圆锥，则称其为圆锥。当随机过程是一个鞅时，我们说它是一个二次鞅。在这种情况下，“圆锥曲线”一词指的是过程的范围是有界的，且不随时间递减，因此y的上限（或下限）随t增大（或减小）。请注意，只有有界到t的过程才允许圆锥。例如，在上述定义的意义上，布朗运动及其Dol’s-Dade指数都不是圆锥过程。在一维情形下，在时间a（t），b（t）的两个确定性实值函数之间演化的任意鞅满足-M<a（t）6 b（t）<M表示所有t∈ R+可以容纳一个圆锥体。下一个推论表明，二次曲线鞅和局部有界鞅实际上是一回事。推论4.1。任何二次鞅都是局部有界鞅。

反过来，任何局部有界连续鞅都是二次鞅。注意，在[0，T]上，圆锥鞅X是鞅，使得xts是有界的。证据第一个断言是显而易见的：实际上，根据定义，圆锥鞅Y是在边界之间演化的鞅-∞ < a（t）6 Yt6 b（t）<∞; 因此它是局部有界的。让我们来证明相反的说法。设Y是鞅，使得对于所有t>0存在a（t），b（t）∈ R:a（t）6 Yt6 b（t）。因为Y的路径几乎肯定是连续的，所以Y的支撑不能有“孔”，因此r（Yt）=[a（t），b（t）]是闭合的间隔。还有待证明，时间索引的范围序列正在增加。为此，假设存在一个∈ 对于某些t>s，不属于R（Yt）的R（Ys）。那么，要么Ys>supr（Yt），要么Ys<inf R（Yt）。在这两种情况下，E[Yt | Fs]6=ysas-Yt>ysor-Yt<yswithprobability one；Y不是鞅。因此，Y是鞅的一个必要条件是Y的范围是一个递增序列。为了使无漂移SDE的解Y存在，我们必须有σ（s，Ys）ds<∞ 几乎可以肯定。然后是局部鞅，参见Karatzas和Shreve（2005）。以下著名结果（Protter（2005）中的Th.5.1）填补了（全局）有界过程的特例中局部鞅和真鞅之间的差距。定理4.1。每个有界局部鞅都是鞅。在续集中，我们将重点讨论可分离的扩散系数，定义如下。定义4.5（可分离的扩散系数）。

如果微分系数σ（t，x）可以写成σ（t，x）=g（t）h（x）（4.1），且h连续，则称其为可分离的。显然，当扩散系数是可分离的，其中时间分量g是所有t>0的有界函数时，初始条件为Y的SDE（2.1）的解Y∈ [a，b]是[a，b]中的连续鞅，前提是函数h（x）在[a，b]上是连续的，且满足h（x）>0∈ （a，b）和h（x）=0表示x∈ {a，b}。显然，对常锥鞅的分析可以局限于标准锥鞅[0，1]，因为[a，b]中的任何鞅都可以从[0，1]中的鞅得到。因此，我们有以下推论。推论4.2。考虑式（4.1）中的可分离扩散系数，其中g（t）>0，h（x）>0∈]a、 b[和h（x）=0。那么，如果SDE（2.1）允许满足Y的唯一解∈]a、 b[，Y]∈ [a，b]。因此，它是一个有界局部鞅，从定理4.1来看，它是一个真鞅。证据SDE-dYt=g（t）h（Yt）1I{Yt∈[a，b]}dwtadmit提供了一个唯一的解决方案，这是一个马尔可夫过程。用τ表示边界的首次击中时间。在τ<∞, [τ]上一个明显的解Y，∞)给定的Yτ是Y=Yτ∈ {a，b}。因此，上述SDE的解Y是唯一的，属于[a，b]。因为∈ [a，b]Q-a.s.和h（a）=h（b）=0，dYt=g（t）h（Yt）1I{Yt的解∈[a，b]}dWt与dYt=g（t）h（Yt）dWt相同。5圆锥鞅的构造值得注意的是，对于一个随机变量ζ，任何锥在[0,1]中的鞅的形式为E[ζ| Ft]，其值在[0,1]中。然而，不可能计算此类鞅的扩散系数，因为这些鞅并不总是扩散过程。上一节展示了如何通过充分选择等式（2.1）中的微分项σ（t，x）来获得紧集[a，b]中演化的鞅。