信贷组合的稳健优化

（36）对于任何整数0≤ M≤ M、 默认状态z=0j，。。。，jm，定义3.1意味着反馈函数π*j、 j，。。。，jm（t）=··=π*jm，j，。。。，jm（t）=0。因此，对于0≤ M≤ M- 1，债券中尚未违约的最优策略，π*Jjm:=（π）*j、 j，。。。，jm）j/∈{j，…，jm}，由式（36）得出，由xj给出/∈{j，…，jm}hPj，j，。。。，jm（t）Bj，。。。，jm，j（t）Gi，j，j，。。。，jm（t）1 + Γπ*j、 j，。。。，jm（t）γ-1θ*,π*j、 j，。。。，jm=Bj，。。。，jm（t）Xj/∈{j，…，jm}Gi，j，j，。。。，jm（t）hj，j，。。。，jm（t）， 我/∈ {j，…，jm}。（37）注：在本文的其余部分中，为了便于记法，我们省略了上述量对j，jm，即违约的债务人。我们的下一步是以矩阵形式重写上述系统。设{jm+1，…，jm}:={1，…，M}\\{j，…，jm}。定义以下矩阵g（t）：=Gjm+1，jm+1（t）Gjm+1，jm+2（t）。Gjm+1，jM（t）Gjm+2，jM+1（t）Gjm+2，jM+2（t）。Gjm+2，jM（t）。。。。。。。。。。。。GjM，jm+1（t）GjM，jm+2（t）。GjM，jM（t）（M）-m） ×（m）-m） ，（38）和（t）：=hPjm+1（t）Bjm+1（t）0。00HPJM+2（t）Bjm+2（t）。0............0 0 . . . hPjM（t）BjM（t）（M）-m） ×（m）-m） 。（39）矩阵G（t）可以解释为债券折旧矩阵。该矩阵的每个条目都给出了一个在世债务人在另一个债务人违约的情况下承销的债券的减值。矩阵A（t）可以解释为违约风险调整矩阵。每个对角线条目根据一个因子来衡量一个活跃债务人的参考违约强度，该因子等于一个新债务人违约的增广违约状态中的价值函数。我们做出以下假设：（A1）对于t∈ [0，T]，矩阵G（T）具有满秩。这种假设意味着在任何时候都不存在多余的债券证券。换句话说，每一种债券都不能通过其他债券的线性组合来复制。

显然，在没有违约传染的情况下，它总是令人满意的，因为在这种情况下，对于每一次t，矩阵（38）都会变成非零项的对角矩阵。接下来是（y，x）∈ R+，我们定义了以下函数yy（x）：=xe-yxγ-1.（40）对于固定y>0，正函数x-→ Yy（x）是光滑的，并且在x上增加∈ R+，自γ∈ (0, 1). 这意味着它允许一个反函数x-→ Y-1y（x），x∈ R+，这也是平滑且不断增加的。设δ：=γ1-γ. ThenYy（x）=xe-yx-δ=xe-（y）-1/δx）-δ=y1/δy-1/δxe-（y）-1/δx）-δ=y1/δY（Y-1/δx）。因此，对于固定的x∈ R+正函数y-→ Yy（x）在y上也是平滑的∈ R+，而且它认为yyy1/δY-1（y）-1/δx）= y1/δYY-1/δy1/δY-1（y）-1/δx）= y1/δYY-1（y）-1/δx）= x、 因此，我们得到以下有用的关系-1y（x）=y1/δY-1.Y-1/δx. （41）这表明对于固定x∈ R+，正反函数y-→ Y-1y（x），y∈ R+也是平滑的。本文讨论函数x的导数的解析性质-→ Y-1y（x）。自Yy以来Y-1y（x）= x、 链式法则的应用导致Y-1y（x）x=Yy（z）Zz=Y-1y（x）。（42）因此，我们推断x-→Y-1y（x）x、 x∈ R+，是连续的，y-→Y-1y（x）x、 y∈ R+也是连续的。使用（33）和（40），它可以保持yπ*j（t）：=euj（t）B（t）Yuj（t）Bj（t）(1 + Γπ*j（t））γ-1.= euj（t）B（t）（1+Γπ）*j（t））γ-1e-uj（t）Bj（t）（1+Γπ）*j（t））γ=（1+Γπ*j（t））γ-1e-uj（t）Bj（t）（1+Γπ）*j（t））γ-B（t）=1 + Γπ*j（t）γ-1θ*,π*j（t）。（43）进一步定义以下矩阵：Yπ*（t） :=Yπ*jm+1（t）Yπ*jm+2（t）。。。Yπ*jM（t）（M）-m） ×1和B（t）：=B（t）hjm+1（t）hjm+2（t）。。。hjM（t）（M）-m） ×1。（44）然后，我们可以用g（t）A（t）Yπ给出的矩阵形式重写（37）*（t） =G（t）B（t），t∈ [0，T]。（45）这导致了下面的引理。引理4.1。在假设（A1）下，我们有Yπ*（t） =A-1（t）B（t），对于所有t∈ [0，T]，即针对eachj∈ {jm+1，…，jm}，Yπ*j（t）=B（t）hj（t）Bj（t）hPj（t）。（46）我们记得我们省略了下标j。

，以减轻符号。接下来我们使用上述引理来获得最优反馈函数。从（40）可以看出，正光滑函数x-→ Yuj（t）Bj（t）（x）在x上增加∈ R+，是γ∈ (0, 1). 因此，相应的正光滑反函数x-→ Y-1uj（t）Bj（t）（x），x∈ R+也在增加。此外，它从（40）和（41）中得出：↓0Y-1uj（t）Bj（t）（x）=0，且limx↑+∞Y-1uj（t）Bj（t）（x）=+∞. 使用（46），我们获得，代表j∈ {jm+1，…，jm}，1 + Γπ*j（t）γ-1=Y-1uj（t）Bj（t）hj（t）B（t）hPj（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）！。（47）接下来，定义以下内容（M- m） -最优反馈函数的π维列向量*（t） =（π）*j（t））j∈{jm+1，…，jm}，以及下面的（M- m） -维度列向量^Y（t）：=hY-1ujm+1（t）Bjm+1（t）hjm+1（t）B（t）hPjm+1（t）Bjm+1（t）e-ujm+1（t）B（t）我-1.- 1hY公司-1ujm+2（t）Bjm+2（t）hjm+2（t）B（t）hPjm+2（t）Bjm+2（t）e-ujm+2（t）B（t）我-1.- 1.hY-1ujM（t）BjM（t）hjM（t）B（t）hPjM（t）BjM（t）e-ujM（t）B（t）我-1.- 1.（M）-m） ×1。（48）然后我们得到以下主要结果。提议4.2。在假设（A1）下，最优反馈函数的向量为π*（t）=G-1（t）>^Y（t），t∈ [0，T]。（49）证据。插入Γπ的表达式*j、 z（t）与j∈ {jm+1，…，jm}由式（32）在式（47）中给出，weget，对于t∈ [0，T]，MXi=1π*iGi，j（t）=“Y”-1uj（t）Bj（t）hj（t）B（t）hPj（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）#γ-1.- 1. J∈ {jm+1，…，jm}。然后我们可以将上述方程改写为矩阵向量形式，并恢复π*（t） ，t∈ [0，T]作为线性方程组G>（T）π的解*（t） =^Y（t），其中>表示矩阵的转置。然后利用G的可逆性假设得出了结果。我们将在验证定理中证明：- m） -维向量π*（t） ，t∈ [0，T]，givenby（49）确实是时间T的最佳反馈函数，在默认状态下，命名为jm+1，j和j。

，他违约了。5 HJB方程本节专门分析HJB方程（34）。我们的目标是建立经典解的存在性和唯一性。在整个部分中，我们设置了θ*z（t）=θ*,π*z（t）表示方便。使用（31）和表达式forθ*,πj，z（t）在式（33）中给出，因此与最优反馈函数和最坏情况测度相关的哈密顿量由hπ给出*,θ*z（t，v）=U（v）Hπ*z（t），（50）式中，对于（t，z）∈ [0，T]×S，函数hπ*z（t）：=γBz（t）R-MXj=1Γπ*j、 z（t）（1）- zj）hj，z（t）+MXj=1（1- zj）hPj，z（t）uj，z（t）1.- θ*j、 z. （51）那么，HJB方程（34）等价于以下方程：Bz（t）+Hπ*z（t）=0，t∈ [0，T），Bz（T）=1.（52）接下来，我们分析了缺省态相关方程（52）解的存在性和唯一性。我们进行归纳，证明了对于一些正的缺省态相关常数θz<θz，Bz（T）∈[θz，\'-θz]，t∈ [0，T]是与默认状态z相关联的HJB方程（52）的唯一全局正解。o基本步骤：m=m。默认状态为z=0j，。。。，jM=1。通过定义可容许策略，最优反馈函数π*j（t）=π*j、 j，。。。，对于所有j=1，…，jM（t）=0，从（32）中，可以得出Γπ*j（t）=π*j、 j，。。。，对于所有j=1，…，jM（t）=0，M.使用公式（51），将HJB方程（52）简化为j，。。。，jM（t）+γrBj，。。。，jM（t）=t上的0∈ [0，T）和Bj，…，jM（T）=1。然后给出唯一解Bj，…，jM（T）=eγr（T）-（t）∈ [1，eγrT]，t∈ [0，T]。（53）因此，我们的声明成立默认状态为z=0j，。。。，JMM≤ M-1.根据归纳假设，存在θj，。。。，jm<θj，。。。，jm使得Bj（t）=Bj，。。。，jm，j（t）∈ [θj，…，jm，\'θj，…，jm]，t∈ [0，T]是与默认状态zj=0j，。。。，jm，j，j/∈ {j。

，jm}。基于这种归纳假设，我们证明了当默认状态为z时，HJBequation（52）存在唯一的全局正解。首先，通过定义可容许性，最优反馈函数π*j=π*j、 j，。。。，对于所有j，jm=0∈{j，…，jm}，因此对于所有的j/∈ {j，…，jm}，它认为Γπ*j、 j，。。。，jm（t）=Pi/∈{j，…，jm}π*i（t）Gi，j（t）。尽管如此，j/∈ {j，…，jm}，我们还有θ*j（t）=θ*j、 j，。。。，jm（t）=expn- uj（t）北京（t）1 + Γπ*j（t）γ- B（t）o、 （54）我们记得B（t）=Bj，。。。，jm（t），因为我们省略了对违约债务人的依赖。然后将HJB方程（52）简化为0=B（t）+γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}π*j（t）hj（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）[Bj（t）（1+Γπ]*j（t））γ-B（t）]o，（55），终端条件B（t）=1。接下来，我们推导公式（55）的等价表示，这对于分析解更方便。首先，使用（47）我们得到Γπ*j（t）=“Y”-1uj（t）Bj（t）hj（t）hPj（t）B（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）#γ-1.- 从（43）、（47）和引理4.1，可以得出θ*j（t）=Yπ*j（t）1 + Γπ*j（t）γ-1=hj（t）hPj（t）B（t）Bj（t）Y-1uj（t）Bj（t）hj（t）B（t）hPj（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）. （57）因此，哈密顿量Hπ*（t） 由（51）给出的公式可以改写为以下形式（注意，如前所述，我们省略了对z的依赖）：Hπ*（t） =B（t）γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}Cjt、 uj（t）Bj（t）；B（t）+Xj公司/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t），（58）其中，函数Cj（t，y；x），j/∈ {j，…，jm}，on（t，y，x）∈ [0，T]×R+定义为asCj（T，y；x）：=γhj（T）“y”-1yuj（t）hj（t）yhPj（t）juj（t）；十、!#γ-1+hj（t）y“y-1yuj（t）hj（t）yhPj（t）juj（t）；十、!#-1，（59）与函数J（a；x）：=xe-axfor（a，x）∈ R+。

然后我们得到了与原始HJB方程（55）等价的方程：0=B（t）+B（t）γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}Cjt、 uj（t）Bj（t）；B（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）。（60）给定t上的任何正连续函数f（t）∈ [0，T]允许严格正的下界，setmfT:=inft∈[0，T]f（T），MfT:=supt∈[0，T]f（T）。（61）然后0<mfT≤ MfT<+∞. 然后通过两个主要步骤证明HJB方程经典解的存在性。我们首先证明，如果一个解存在，那么它必须是有界的。然后，我们使用已建立的上下界来证明HJBequation解的存在性和唯一性。提议5.1。如果等式（60）允许唯一的全局解B（t），t∈ [0，T]，则存在两个正常数θ<\'θ，因此B（T）∈ [θ，\'-θ]对于所有t∈ [0，T]。证据首先我们注意到∈ R+，光滑函数J（a；x）=xe-Axx与x∈ R+supx∈R+J（a；x）=J（a；a）-1） =a-1e-1和边缘↓0J（a，x）=limx↑+∞J（a，x）=0。回想一下，正反函数x-→ Y-1uj（t）Bj（t）（x）正在增加。然后，固定（t，y）∈[0，T]×（0+∞), 为了所有的x∈ R+，“Y”-1uj（t）Bj（t）hj（t）hPj（t）Bj（t）juj（t）；十、!#-1.≥“是的-1uj（t）Bj（t）hj（t）hPj（t）Bj（t）juj（t）；u-1j（t）!#-1.≥“是的-1uj（t）Bj（t）e-1中断∈[0，T]hhj（T）hPj（T）uj（T）Bj（T）i#-1=：κTuj（t）Bj（t）,我们使用了Hj（t）hPj（t）Bj（t）J这一事实uj（t）；u-1j（t）= E-1hj（t）hPj（t）uj（t）Bj（t）。此外，数量κ是有限的，因为回顾（61）中引入的符号，我们有0<mhj/hPjTMujTMBjT≤ 监督∈[0，T]“hj（T）hPj（T）uj（T）Bj（T）#≤Mhj/hPjTmujTmBjT<+∞.使用上述给定的下界，我们得到所有x的以下下界∈ R+，Cjt、 uj（t）Bj（t）；十、≥ γhj（t）κTuj（t）Bj（t）1.-γ+hj（t）uj（t）Bj（t）κtuj（t）Bj（t）. （62）定义功能DMt、 uj（t）Bj（t），x:= γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}Cjt、 uj（t）Bj（t）；十、.

（63）然后它认为t、 uj（t）Bj（t），x≤ γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）- γXj/∈{j，…，jm}hj（t）κTuj（t）Bj（t）1.-γ-Xj/∈{j，…，jm}hj（t）uj（t）Bj（t）κtuj（t）Bj（t）=:\'Dm（t）。（64）注意严格正函数y-→ κT（y）在y>0时是连续的-→ Y-1y（x）对于固定x是连续的∈ R+使用（41）。然后是“DmT”≤ γr+Xj/∈{j，…，jm}MhjT- γXj/∈{j，…，jm}mhjT（infy）∈[mujTmBjT，mujTmBjT]κT（y））1-γ-Xj/∈{j，…，jm}mhPjTmhj/hPjTMujTMBjT（infy∈[mujTmBjT，mujTmBjT]κT（y））<+∞,自从γ∈ (0, 1). 利用等式（60）和不等式（63）的解的积分表示，可以得出B（t）=eRTtDm（u，uj（u）Bj（u），B（u））du+Xj/∈{j，…，jm}ZTthPj（s）uj（s）eRstDm（u，uj（u）Bj（u），B（u））duds≤ eM¨DmT（T-t） +Xj/∈{j，…，jm}ZTthPj（s）uj（s）eM¨DmT（s）-t） ds≤ eM¨DmT（T-t） “1+（M- m） （T）- t） MhPjTmujT#≤ eT M“DmT”1+T MMhPjTmujT#=：\'θ，（65）其中常数\'θ∈ R+。上图，M- m是活着的债务人的数量。从上述方程组中的第一个等式也可以看出，对于所有t，B（t）>0∈ [0，T]。这是因为Pj（t）和uj（t）在t上都是严格正的∈ [0，T]。接下来，我们使用上面建立的上界θ>0来推断解B（t），t的正下界的存在性∈ [0，T]。回想一下等式（32）中给出的Γπj（t）的定义。我们选择容许控制^π=（^πi（t，B（t））；我∈ {1，…，M}）满足以下关系：/∈ Γπj（t）=Γπj（t，B（t））：=Xi/∈{j，…，jm}πi（t，B（t））Gi，j（t）=B（t）Bj（t）γ- 1，j/∈ {j，…，jm}。（66）我们定义πi（t，B（t））=0表示i∈ {j，…，jm}。注意，这种容许控制的存在是由矩阵G（t），t的可逆性假设（A1）保证的∈ [0，T]，式（38）中给出。事实上，这个容许控制由^π=[^πi；i]给出/∈ {j，…，jm}]>=（G）-1（t））>[（B（t）/Bj（t））1/γ-1.j/∈ {j，…，jm}]>。重新排列等式中的术语。

（66），我们得到了bj（t）1+Γ^πj（t）γ- B（t）=0，j/∈ {j，…，jm}。上面的等式直接暗示了xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）Bj（t）（1+πj（t））γ-B（t）o=0。（67）对所有t使用B（t）>0∈ [0，T]，并回顾θ的表达式*j（t）在式（54）中给出，哈密顿量（51）满足π*（t） =γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}π*j（t）hj（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）Bj（t）（1+Γπ）*j（t））γ-B（t）o≥ H^π（t）=γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}πj（t）hj（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）Bj（t）（1+πj（t））γ-B（t）o=γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}πj（t）hj（t）= γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}”B（t）Bj（t）γ- 1#hj（t）≥ γB（t）r+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}θBj（t）γhj（t）≥ γB（t）r+Xj/∈{j，…，jm}mhjT-Xj/∈{j，…，jm}θmBjT！γ-MhjT=: B（t）KT。第三个等式是使用（67）得到的。第一个不等式如下，因为哈密顿量在最佳π处达到最大值*. 第二个不等式来自等式（65）中建立的B（t）的上界。最后一个不平等来自这样一个事实：根据定义（61），我们有mhjT≤ hj（t）≤ MHJT和Bj（t）≤ MBJTT∈ [0，T]。让b∈ （0，1）是一个任意常数。考虑以下方程：v（t）+v（t）KT=0，t∈ [0，T），v（T）=b。利用常微分方程的比较定理和不等式（68），可以得出q.（55）的解是上一常微分方程的解的下界，即b（T）≥ v（t）=beKT（t）-t） 对于t∈ [0，T]。此外，确定正常数θ：=b、 如果KT≥ 0，beKTT，如果KT<0。（69）然后我们得到B（t）≥ θ表示所有t∈ [0，T]。这就完成了命题的证明。利用以上建立的上下界，我们可以证明HJB方程解的存在唯一性的主要定理。定理5.2。存在唯一的解B（t），t∈ [0，T]到满足b（T）的HJB方程（60）∈ [θ，\'-θ]对于所有t∈ [0，T]。

我们记得，正常数θ和θ已在第5.1号提案中给出，见其中的方程式（69）和（65）。证据我们首先考虑以下截断HJB方程：0=Bθ（t）+Xj/∈{j，…，jm}C（θ）jt、 uj（t）Bj（t）；Bθ（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t），（70）与Bθ（t）=1。尽管如此，j/∈ {j，…，jm}和（t，x）∈ [0，T]×R+，我们定义了函数c（θ）jt、 uj（t）Bj（t）；十、:= xγr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}θ ∨ 十、∧θCjt、 uj（t）Bj（t）；θ ∨ 十、∧θ.使用（41）和（42），并回忆表达式（59），可以很容易地验证functionx-→ C（θ）jt、 uj（t）Bj（t）；十、, 十、∈ R+，在t中是均匀Lipschitz连续的∈ [0，T]。这意味着等式（70）解的存在性和唯一性，因为函数t-→Pj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）是连续的且在t上有界的∈ [0，T]。根据命题5.1，Bθ（t）∈ [θ，\'-θ]表示t∈ [0，T]。这就得到了c（θ）jt、 uj（t）Bj（t）；Bθ（t）= Cjt、 uj（t）Bj（t）；Bθ（t）. 那么等式（70）解的唯一性意味着B（t）=Bθ（t）是HJB方程（60）的唯一解。6验证理论在本节中，我们证明了最佳反馈函数由等式（49）给出。注意，根据等式（25），最优反馈函数立即产生最优债券投资策略。我们还证明了与控制问题相关的值函数由乘积U（v）B给出*z（t），（v，t，z）∈R+×[0，T]×S，其中B*z（t），（t，z）∈ [0，T]×S是式（52）的唯一经典解。定理6.1。对于t∈ [0，T]，让默认状态Z（T-) = 0j，。。。，jm，其中0≤ M≤ 这里，j，JMM表示承保风险债券的不同债务人。然后我们有了o如果m=m（即所有债务人都违约），风险债券中的时间t-最优策略由∧π给出*（t） =·π*M（t）=0。

相应的值函数由w（t，v）=U（v）eγr（t）给出-t） 对于（t，v）∈ [0，T]×R+。o如果0≤ M≤ M- 1，让（π）*j、 j，。。。，jm（t），B*Jjm（t））j/∈{j，…，jm}，t∈ [0，T]分别由（49）和等式（60）的唯一正有界解给出。那么以下几点就成立了：1。每个风险债券的时间t-最优策略由∧π给出*j（t）=0表示j∈ {j，…，jm}，和∧π*j（t）=π*j、 j，。。。，jm（t）代表j/∈ {j，…，jm}2。最优反馈函数π对应的时间t-最坏情况测度*θ*,π*j、 j，。。。，jm（t）：=θ*,π*j、 0j，。。。，jm（t）由（33）给出，其中π*= (π*j、 j，。。。，jm（t），t∈ [0，T]；j/∈ {j，…，jm}）已在上文中说明。3.与稳健优化准则（15）相关的值函数由wj，。。。，jm（t，v）：=wj，。。。，jm（t，v）=U（v）B*Jjm（t）代表（t，v）∈ [0，T]×R+。证据回想一下（31）给出的哈密顿量。然后，给定默认状态Z（t-) = z=0j，。。。，jm，0≤M≤ M- 1，（j，n）/∈ {j，…，jm}×{j，…，jm}，对于满足（35）的固定容许反馈函数π，它认为hπ，θj，n（t，v）：=Hπ，θ（t，v）θjθn=0，如果j6=n，Hπ，θj，j（t，v）=U（v）hPj（t）uj（t）θ-1j>0，（71）自θj>0。因此Hπ，θ（t，v）在θ和θ中是凹的*,π= (θ*,πj；j/∈ （33）给出的{j，…，jm}）是对应于π的最坏情况测度，即Hπ，θ*,π（t，v）≤ Hπ，θ（t，v），表示所有（π，θ）∈ U×V.（72）Fixθ*,π. 然后，对于默认状态z=0j，。。。，JM0≤ M≤ M- 1，（i，k）/∈ {j，…，jm}，和π满足（35），一个散列πi，k（t，v）：=Hπ，θ*,π（t，v）πiπk=Xj/∈{j，…，jm}`j（t，v）Gi，j（t）Gk，j（t），（73）其中所有j/∈ {j，…，jm}和（t，v）∈ [0，T]×（0+∞), 我们定义j（t，v）：=-γU（v）hPj（t）Bj（t）1+Γπj（t）γ-2θ*,πjh（1）- γ） +γuj（t）Bj（t）1+Γπj（t）γi<0。注意，`j（t，v）在整个域中是负数，使用（35）和γ∈ (0, 1).