信贷组合的稳健优化

右面板给出了同一反馈函数对惩罚参数（u1,00，u1,01）的联合依赖性。0 2 4 6 8 101.141.161.181.21.221.241.26μ1,00B00 t=0.000t=0.2400 2 4 6 8 101.141.161.181.21.221.241.26μ2,00B00 t=0.000t=0.240图4：左面板报告稳健值函数的时间分量对惩罚参数u1,00的依赖性。右面板报告了对惩罚参数u2,00.8的依赖性结论众所周知，违约风险的历史估计具有挑战性，并且往往容易被估计者发现。这是因为由于默认事件的罕见性，可用数据集受到限制。然而，目前关于最优信贷组合的文献都假设参考信贷模型是确定的。由于最优策略主要取决于风险中性和历史违约强度的比率（所谓的违约风险溢价）以及传染效应，因此在设计最优决策规则时，考虑信贷模型的形式特征非常重要。本文引入了一个新的动态框架，投资者可以选择最佳的投资策略，同时保护自己免受参考信用模型的误判。我们得到了风险债券中产生策略的最优反馈函数的显式特征。

后者被证明与鲁棒控制问题的值函数相耦合，我们已经证明它与相应HJB方程的唯一经典解相一致。引入的框架足够丰富，可以容纳违约风险的几个特征，但同时也很容易处理，因为最优反馈函数和价值函数都可以分别作为矩阵向量积和普通微分方程的解来恢复。第3节的证明我们给出了以下证明：我们首先有以下关于风险中性概率测度唯一性的引理。引理A.1。让矩阵Φz（t）=[（1- zj）Gi，j，z（t）]i，j=1，。。。，Mwith（t，z）∈ [0，T]×S.那么以下是等价的：（I）方阵ΦZ（T）（T）是可逆的a.S。；（二） 风险中性违约强度（hj，Z（t）（t））j=1，。。。，独一无二。证据让^Q~ P是一个风险中性概率测度，其相应的风险中性违约强度（^hi，Z（t）（t））i=1，。。。，Mwith t∈ [0，T]。然后在^Q下，^ξj（t）：=Zj（t）-Rt∧τj^hj，Z（u）（u）du是eachj=1，M.使用（20），在^Q下，我们得到Pi（t）+Di（t）π（t）-)= rdt+MXj=1Gi，j，Z（t）（t）（1）- Zj（t））^hj，Z（t）（t）- hj，Z（t）（t）dt+MXj=1Gi，j，Z（t-)（t） d^ξj（t）。因此，当且仅当ifPMj=1Gi，j，Z（t）（t）（1）时，折扣价格是（局部）^Q-鞅- Zj（t））^hj，Z（t）（t）-hj，Z（t）（t）= 0，a.s.对于所有i=1，M线性方程组允许唯一解^hj，Z（t）（t）-hj，Z（t）（t）=0，j=1，M当且仅当矩阵ΦZ（t）（t）具有满秩a.s。。接下来我们给出了第i个风险债券价格过程的风险中性动力学引理，这是证明引理3.1的一个关键结果。引理A.2。

第i个风险债券价格过程的风险中性动力学由DPI（t）给出=rPi（t）- (1 - Zi（t））Ci+Rihi，Z（t）（t）dt- π（t）-)dξi（t）+Pi（t）-)Xj6=iGi，j，Z（t-)（t） dξj（t），t∈ [0，T]，（89）其中，对于i，j=1，M、 函数Gi，j，z（t），（t，z）∈ [0，T]×S由（21）给出。为了证明引理A.2，我们需要以下辅助引理：引理A.3。违约前价格Fi，Z（t）（t），t∈ 第i个风险债券的[0，Ti]允许分解：Fi，Z（t）（t）=Fi，Z（0）（0）+MXj=1ZtFi，Zj（u）-)（u）- Fi，Z（u）-)（u）dξj（u）（90）+Zthr（1- Zi（u））Fi，Z（u）（u）+rZi（u）CiFbi，Z（u）（u）+Fci，Z（u）（u）- Ci（1）- Zi（u））idu，其中Fbi、z（t）和Fci、z（t）在公式（20）中定义。证据定义操作员Agz（t）=PMj=1（1- zj）hj，z（t）[gzj（t）- gz（t）]作用于任意可测函数gz（·）和z∈ 利用Feynman-Kac公式，我们得到了Fai，z（t），Fbi，z（t）和Fci，z（t）满足t+AFai，z（t）=r（1）- Fai，z（t），Fai，z（Ti）=zi，t+A联邦调查局，z（t）+（1）- zi=rFbi，z（t），Fbi，z（Ti）=0，（91）t+AFci，z（t）=rFci，z（t），Fci，z（Ti）=1- 子。然后，第i个违约前价格函数Fi，z（t）由（18）个满意度给出t+AFi，z（t）=Rit+AFai，z（t）+Cit+A联邦调查局，z（t）+t+AFci，z（t）=rRi（1）- Fai，z（t）+fbi，z（t）- Ci（1）- zi）+rFci，z（t）=r（1）- zi）Fi，z（t）+rziciffi，z（t）+Fci，z（t）- Ci（1）- )。（92）使用It^o公式，我们得到了Fi，Z（t）（t）=Fi，Z（0）（0）+Ztu+AFi，Z（u）（u）du+NXj=1ZtFi，Zj（u）-)（u）- Fi，Z（u）-)（u）dξj（u）=Fi，Z（0）（0）+MXj=1ZtFi，Zj（u）-)（u）- Fi，Z（u）-)（u）dξj（u）+Zthr（1）- Zi（u））Fi，Z（u）（u）+rZi（u）CiFbi，Z（u）（u）+Fci，Z（u）（u）- Ci（1）- Zi（u））iduwhich对应于（90）中的等式。引理A.2的证明。

使用（17）和It^o的公式，可以得出dpi（t）=（1- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）- Fi，Z（t）-)（t） 天子（t）+(1 - Zi（t））Fi，Z（t）（t）=（1）- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）- Fi，Z（t）-)（t） 天子（t）- Fi，Z（t）（t）dZi（t）=（1）- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）- Fi，Z（t-)（t） 天子（t）-Fi，Zi（t-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dZi（t），（93）在这里我们使用了等式Fi，Z（t）（t）dZi（t）=Fi，Zi（t-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dZi（t），这是因为我们的违约模型排除了同时违约的发生。使用引理A.3中的等式（90），我们得到（1- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）=（1）- Zi（t））hr（1- Zi（t））Fi，Z（t）（t）+rZi（t）ciffi，Z（t）（t）+Fci，Z（t）（t）- Ci（1）- Zi（t））i+（1- 子（t）-))MXj=1Fi，Zj（t）-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dξj（t）=r（1）- Zi（t））Fi，Z（t）（t）- Ci（1）- Zi（t））+（1- 子（t）-))MXj=1Fi，Zj（t）-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dξj（t）。由（93）可知，dpi（t）=（1- Zi（t））rFi，Z（t）（t）- 词dt- Fi，Z（t）-)（t） 天子（t）（94）+（1）- 子（t）-))MXj=1Fi，Zj（t）-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dξj（t）-Fi，Zi（t-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）天珠（t）。从下面的命题B.1-（I）中，我们知道Fi，zi（t）=riforall（t，z）∈ [0，Ti]×S。使用这个，以及Pi（t）=（1）的事实- Zi（t））Fi，Z（t）（t）和ξj（t）=Zj（t）-Rt（1- Zj（s））hj，Z（s）（s）ds，我们得到了预期的结果。B价格函数的显式递归表示调用（1）中zj的定义，我们将写出zj=0j，。。。，jm，jif z=0j，。。。，jm和j/∈ {j，…，jm}。然后是B.1提案。让i=1，M那么Fi，z（Ti）=Rizi+1- 齐兹∈ S、 和（t，z）∈ [0，Ti）×S，它认为（I）如果m=m，或者存在一个整数l=1，…，m，那么对于m=1，…，m，jl=I- 1，thenFi，j，。。。，jm（t）：=Fi，0j，。。。，jm（t）=Ri。（二） 如果m=m- 1，那么对于i=jM，Fi，j，。。。，吉咪-1（t）=exp(-中兴通讯嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds）（95）+ZTitCi+Rihi，j，。。。，吉咪-1（u）经验-祖特嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds杜。（三） 如果我/∈ m=0，1，{j，…，jm}。

M- 2，thenFi，j，。。。，jm（t）=exp-中兴通讯r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds+中兴通讯Ci+Rihi，j，。。。，jm（美国）经验-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)dsdu（96）+ZTitXj/∈{j，…，jm，i}hj，j，。。。，jm（u）Fi，j，。。。，jm，j（u）exp-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds杜。证据使用（92），Fi，z（t），（t，z）∈ [0，Ti）×S，tt+AFi，z（t）=r（1）- zi）Fi，z（t）+rziciffi，z（t）+Fci，z（t）- Ci（1）- zi），（97）和Fi，z（Ti）=Rizi+1- 齐兹∈ 因此，等式（97）可以改写为tFi，z（t）=r（1）- zi）Fi，z（t）+rziciffi，z（t）+Fci，z（t）- Ci（1）- (子)-MXj=1Fi，zj（t）- Fi，z（t）(1 - zj）hj，z（t）、（98）和Fi，z（Ti）=Rizi+1- 齐兹∈ 结论（I）可以直接从违约前功能的定义（18）中得出。接下来，我们考虑（II）。在本例中，唯一的jM名称是活动的。就（98）而言，我们有这一点/∈ {j，…，jM-1} （因此zi=zjM=0），Fi，j，。。。，吉咪-1（t）：=Fi，0j，。。。，吉咪-1（t），t∈ [0，Ti），满意度tFi，j，。。。，吉咪-1（t）=rFi，j，。。。，吉咪-1（t）- 词-Fi，1（t）- 菲，j，。。。，吉咪-1（t）嗨，j，。。。，吉咪-1（t）=嗨，j，。。。，吉咪-1（t）菲，j，。。。，吉咪-1（t）-Ci+Rihi，j，。。。，吉咪-1（t）, （99）和Fi，j，。。。，吉咪-1（Ti）=1。这里我们使用了（I），即Fi，1（t）=riforall t∈ [0，Ti]。然后是toEq的解决方案。（98）承认（95）为i=jM。最后，我们考虑（III）的证明。在这种情况下，所有的j/∈ {j，…，jm}名称是活动的，即所有j的zj=0/∈ {j，…，jm}。我们假设对于所有的j/∈ {j，…，jm}，Fi，j，。。。，jm，j（t）满足公式（98），在默认状态z=0j，。。。，jm，j.从公式（98）中得出，i/∈ {j，…，jm}，Fi，j，。。。，jm（t）：=Fi，0j，。。。，jm（t），t∈ [0，Ti），满意度tFi，j，。。。，jm（t）=r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，jm（t）菲，j，。。。，jm（t）-Ci+Rihi，j，。。。，jm（t）-Xj/∈{j，…，jm，i}hj，j，。。。，jm（t）Fi，j，。。。，jm，j（t）（100）和Fi，j，。。。，jm（Ti）=1，我们用Fi，j，。。。，jm，i（t）=riobtein in（i）。然后是toEq的闭式解。（100）由（96）给出。

接下来我们提供价格函数Fi，j，…，的下界，。。。，jm（t）假设Ci≥ 对于i=1，M.这种情况与经验证据一致。债券票面利率通常按发行时的现行市场利率（在我们的案例中由r代表）设定。由于Ri<1，这一假设显然是可以满足的。特别是，如果Ri=0，即债务人i违约时的回收率为零，考虑到息票率Ci，这一假设基本上是可以满足的≥ 引理B.2。让i=1，M、 还有j，吉咪∈ {1，…，M}\\{i}。然后Fi，j，。。。，jm（t）>所有t∈ [0，Ti）如果Ci≥ 瑞丽。证据从（95）开始，事实是≥ 和李一起∈ [0,1]，因此，对于所有t∈ [0，Ti），Fi，j，…，jM-1（t）≥ 经验(-中兴通讯嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds+RiZTit嗨，j，。。。，吉咪-1（u）经验-祖特嗨，j，。。。，吉咪-1(s)dsdu=Ri+（1）- Ri）exp(-中兴通讯嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds）>Ri。（101）接下来，假设m=0，1，M- 2.我/∈ {j，…，jm}，它认为Fi，j，。。。，jm，j（t）>Rifor allj/∈ {j，…，jm}。我们想证明Fi，j，。。。，jm（t）>Ri。使用（96），我们得到fi，j，。。。，jm（t）≥ 经验-中兴通讯r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds+里兹提嗨，j，。。。，jm（美国）经验-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)dsdu+ZTitRiXj/∈{j，…，jm，i}hj，j，。。。，jm（u）exp-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)dsdu=Ri+（1）- Ri）exp-中兴通讯r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds> Ri，（102）使用事实Ri∈ [0,1]再次，因此我们递归地证明/∈ {j，…，jm}，预设价格函数Fi，j，。。。，jm>Rifor all t∈ [0，Ti）。参考安德森，E.，L.P.汉森，T.J.萨金特。2000.稳健性、检测和风险价格。工作文件北卡罗来纳大学、芝加哥大学和斯坦福大学。安德森，E.，L.P.汉森，T.J.萨金特。2003.模型规格、稳健性、风险价格和模型检测的四个半组。J.欧元。经济。助理。

1 68–123.Belanger，A.，S.Shreve，D.Wong。2004.信用风险定价的一般框架。数学财务14317–350。比亚基尼，F.2010。资产定价的第二个基本定理。R.Cont编，《定量金融百科全书》。威利，1623-1628年。Bielecki，T.，I.Jang。2006.具有可违约证券的投资组合优化。亚太金融。市场13 113–127。Bo，L.，A.卡波尼。2014.传染风险下信用衍生品投资组合的最优投资。数学资金即将到位。坎贝尔，J.，J.希尔谢尔，J.西拉吉。2008年，寻找遇险风险。J.财务63（6）2899–2939。卡波尼，A.，J.E.菲格罗亚-欧佩兹。2014.具有可违约证券和注册切换的Dynamics投资组合优化。数学财务24（2）207–249。卡波尼，A.，J.E.菲格罗亚-欧佩兹，A.帕斯库奇。2014年，具有违约风险的隐藏体制转换市场中的电力效用最大化。金融随机论即将面世。周，Y.，H.泰彻。1978.概率论。纽约，斯普林格。杜菲，D.，L.塞塔，K.王。2006.具有随机协变量的多期公司违约预测。J.金融经济。83(3) 635–665.爱泼斯坦，L.，M.施耐德。2004.递归多重先验，J.Economo。理论。113(1) 1–31.费德里科，S.，P.加斯亚特，F.戈齐。2015.财富当前效用的效用最大化：HJB方程解的规律性。金融随机19 415–448。弗雷，R.，J.巴克豪斯。2008.具有交互违约强度的组合信用衍生工具的定价和对冲。埋葬J.Thero。阿普尔。财务11611-634。Gassiat，P.，F.Gozzi，H.Pham。2014.制度转换的非流动市场中的投资/消费问题。暹罗J.孔特。擎天柱。52(3) 1761–1786.格拉斯曼，P.，X.徐。2013.具有随机因素动态的鲁棒投资组合控制。奥普。第61（4）874–893号决议。吉尔博亚，身份证，施梅德勒。1989.具有非唯一先验的Maximin期望效用。J.数学。

经济。18 141–153.汉森，L.P.，T.J.萨金特，G.图尔穆罕姆贝托娃，N.威廉姆斯。2006.鲁棒控制和模型误判。J.Economo。理论。128 45–90.汉森，L.，T.萨金特。2007.无需承诺的递归鲁棒估计与控制。J.经济。理论。1361–27.杰蒙加尔，S.，G.西格洛。2012年，将风险和模糊厌恶纳入违约的混合模型。数学财务22 57–81。Jarrow，R.，F.Yu。2001.交易对手风险和可违约证券的定价。J.金融56 1765–1799。金，X.，A.张。2012.跳跃扩散模型中最优投资组合权重的分解及其应用。牧师。财务顾问。25 2877–2919.焦，Y.，I.哈鲁比，H.范。2013.多重违约风险下的最优投资：BSDE分解法。安。阿普尔。Probab。23(2) 455–491.卡夫，H.，M.斯特芬森。2005.投资组合问题在首次命中时停止，并应用于消除风险。数学冰毒。奥普。第63 123–150号决议。卡夫，H.，M.斯特芬森。2009年，带有传染和明确破产程序的资产配置。J.数学。经济。45 147–167.兰多·D·T·M·斯科德伯格。2002.通过连续观察分析评级转换和评级漂移。J.银行金融26 423–444。刘杰，潘杰，王婷。罕见事件溢价的均衡模型及其对期权价格的影响。牧师。财务顾问。18(1) 131–164.马恩霍特，第2004页。稳健的投资组合规则和资产定价。牧师。财务顾问。17(4) 951–983.马恩霍特，第2006页。均值回复风险溢价的稳健投资组合规则和检测错误概率。J.Economo。理论。128 136–163.普罗特，第2004页。随机积分和微分方程，第二版，纽约，斯普林格。罗杰斯，L.C.G.，D.威廉姆斯。2000.微分，马尔可夫过程和鞅，第一卷，第二版，剑桥大学出版社。

感谢分享